1、平面几何中的常用向量结论ABDC第1页/共20页三角形四心的向量表示外外重重第2页/共20页三角形四心的向量表示内内垂垂第3页/共20页例例1、已知、已知O是平面上一定点，是平面上一定点，A,B,C是平面上不是平面上不共线的三个点，动点共线的三个点，动点P满足满足则则P点的轨迹一定通过点的轨迹一定通过ABC的（的（）A 外心外心 B 内心内心 C 重心重心 D 垂心垂心)(ACABOAOP点拨：由点拨：由得出得出 由平行四边形法则和共线定理可得由平行四边形法则和共线定理可得AP一一定经过定经过ABC的重心。的重心。)(ACABOAOP)(ACABAPC第4页/共20页变式变式1、已知、已知P是
2、平面上一定点，是平面上一定点，A,B,C是平面上不是平面上不共线的三个点，点共线的三个点，点O满足满足则则O点一定是点一定是ABC的（的（）A 外心外心 B 内心内心 C 重心重心 D 垂心垂心点拨：点拨：由由得出得出 故故O是是ABC的重心。的重心。300POPAPBPCPOPAPOPBPOPCAOBOCO 13POPAPBPC 13POPAPBPC C第5页/共20页变式变式2、已知、已知O是平面上一定点，是平面上一定点，A,B,C是平面上不是平面上不共线的三个点，动点共线的三个点，动点P满足满足则则P点的轨迹一定通过点的轨迹一定通过ABC的（的（）A 外心外心 B 内心内心 C 重心重心
3、 D 垂心垂心)0)sinsin(，CACACBABABOAOP第6页/共20页点拨：在点拨：在ABC中，由正弦定理有中，由正弦定理有令令则则由平行四边形法则和共线定理可得由平行四边形法则和共线定理可得AP一定经过一定经过ABC的重心。的重心。CACBABsinsinCACBABtsinsin)0)(，tACABtOAOP)(ACABtAP)0)sinsin(，CACACBABABOAOPC第7页/共20页例例2、已知已知O是平面上一定点，是平面上一定点，A,B,C是平面上不共是平面上不共线的三个点，动点线的三个点，动点P满足满足则则P点的轨迹一定通过点的轨迹一定通过ABC的（的（）A 外心外
4、心 B 内心内心 C 重心重心 D 垂心垂心)0)coscos(2，CACACBABABOCOBOP第8页/共20页点拨：取点拨：取BCBC的中点的中点D D，则，则由已知条件可得由已知条件可得又因为又因为所以所以所以所以DPDP是是BCBC的垂直平分线，所以的垂直平分线，所以P P点的轨迹一定经过点的轨迹一定经过ABCABC的外心。的外心。2OCOBOD)0)coscos(，CACACBABABDP()()0coscos-+AB BCAC BCBC DPBCBCABBACC DPBC)0)coscos(，CACACBABABDPA第9页/共20页外心的向量表示外心的向量表示结论2：ABC所在
5、平面一定点O，动点P满足 P点轨迹经过ABC的外心结论结论1：O是三角形的外心是三角形的外心 或或OCOBOA222OCOBOA)0)coscos(2，CACACBABABOCOBOP第10页/共20页例例3、已知已知O是平面上一定点，是平面上一定点，A,B,C是平面上不共是平面上不共线的三个点，动点线的三个点，动点P满足满足则则P点的轨迹一定通过点的轨迹一定通过ABC的（的（）A 外心外心 B 内心内心 C 重心重心 D 垂心垂心)0)coscos(，CACACBABABOAOP第11页/共20页点拨：由已知等式可知点拨：由已知等式可知在等式的两边同时乘以在等式的两边同时乘以即即故点故点P
6、P的轨迹一定通过的轨迹一定通过ABCABC的垂心。的垂心。)0)coscos(，CACACBABABAPBC()()0coscosAB BCAC BCBC APBCBCABBACC BCAP)0)coscos(，CACACBABABOAOPD第12页/共20页变式变式3、已知、已知O是平面上一点，是平面上一点，A,B,C是平面上不共是平面上不共线的三个点，点线的三个点，点O满足满足则则O点一定是点一定是ABC的（的（）A 外心外心 B 内心内心 C 重心重心 D 垂心垂心OAOCOCOBOBOA点拨：点拨：OA OBOB OC 0-OA OB OB OC 0-OA OCOB 0CA OB 同理
7、可得同理可得CAOB CBOAABOC D第13页/共20页垂心的向量表示垂心的向量表示结论结论1 1：O O是是ABCABC的垂心的充要条件是的垂心的充要条件是OAOCOCOBOBOA结论结论2、动点、动点P满足满足P点的轨迹经过点的轨迹经过ABC的垂心的垂心)0)coscos(，CACACBABABOAOP第14页/共20页例例4 4、已知已知O O是平面上一点是平面上一点,A A、B B、C C是平面上不共线是平面上不共线的三个点的三个点,(a,b,c(a,b,c是是ABCABC的的A,B,CA,B,C所对的三边所对的三边)点点O O满足满足则则O O点一定是点一定是ABCABC的（的（
8、）A A 外心外心 B B 内心内心 C C 重心重心 D D 垂心垂心点拨点拨：由已知条件可得：由已知条件可得同理可得同理可得0OCcOBbOAa0+aOAb OA ABc OA AC ()abc OAbABcAC ()abc OBbBAcBC ()abc OCbCAcCB 则则O O点一定是点一定是ABCABC的内心的内心B第15页/共20页 例例5 5、已知非零向量已知非零向量 与与 满足满足且且 ，则，则ABCABC为（为（）A A 三边均不相等的三角形三边均不相等的三角形 B B直角三角形直角三角形 C C等腰非等边三角形等腰非等边三角形 D D等边三角形等边三角形点拨：点拨：从从
9、可知可知 的平分线的平分线垂垂直对边直对边BCBC，故，故ABCABC为等腰三角形；为等腰三角形；可知可知cosA=cosA=，所以，所以 =60 =60，故故ABCABC为等边三角形。为等边三角形。ABAC0)(BCACACABAB21)(ACACABAB0)(BCACACABABBAC21)(ACACABAB21A从从D第16页/共20页例例6 6、已知已知O O是平面上一点是平面上一点,A A、B B、C C是平面上不共线是平面上不共线的三个点的三个点,点点O O满足满足则则O O点一定是点一定是ABCABC的（的（）A A 外心外心 B B 内心内心 C C 重心重心 D D 垂心垂心
10、0CBACCACAOCBCBCBABAOBACACABABOA四心逐个突破B第17页/共20页ABCO,:,.OAa OBb OCcBCcb CAab ABba 则证：设例7、已知O为ABC所在平面内一点，且满足:问：O是ABC的_心。222222|.OABCOBCAOCAB 化简：222222:|.OABCOBCAOCAB 由题设222222()()()ac bba ccb a 同理：,.BCOA CAOB ()0,AB OCbacb ca c 从而:c ba cb a 得.ABOC 垂心垂心第18页/共20页课后作业课后作业2.预习章末小结预习章末小结1.习题习题2.5.2第19页/共20页感谢您的观赏！第20页/共20页
