1、第二节机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算二二、高阶偏导数、高阶偏导数 偏 导 数 第八章 一、一、偏导数定义及其计算法偏导数定义及其计算法引例引例:研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度,就是),(txu0 xoxu中的 x 固定于求一阶导数与二阶导数.),(txux0 处,),(0txu),(0txu关于 t 的机动 目录 上页 下页 返回 结束 将振幅定义定义1.),(yxfz 在点),(),(lim000yfyfx存在,xyxyxfz对在点),(),(00的偏导数，记为;),(00yxxz),(00yx的某邻域内;),(00yxxfxx00
2、x则称此极限为函数极限设函数)(0 xf)()(00 xfxxfx0limxx;),(00yxfx;),(00yxxz0ddxxxy.),(001yxf 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx),(00yxfx注意注意:0),(dd0yyyxfy同样可定义对 y 的偏导数 lim0y),(00yxfy若函数 z=f(x,y)在域 D 内每一点(x,y)处对 x,xzxfxz则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数偏导数,),(,),(1yxfyxfx),(,),(2yxfyxfy),(0 xf),(0 xfy记为yy00y机
3、动 目录 上页 下页 返回 结束 或 y 偏导数存在,yzyfyz),(zyxfx例如例如,三元函数 u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对 x 的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.lim0 x),(zyf),(zyfxxx?),(zyxfy?),(zyxfzx机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数定义为(请自己写出)二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:00),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲线0),(xxyxfzyTM0在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线y
4、xz0 xyToxT0y0M机动 目录 上页 下页 返回 结束 对 y 轴的函数在某点各偏导数都存在,显然例如例如,0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz0)0,(dd)0,0(xxfxfx0),0(dd)0,0(yyfyfy00注意：注意：但在该点不一定连续不一定连续.上节例 目录 上页 下页 返回 结束 在上节已证 f(x,y)在点(0,0)并不连续!例例1.求223yyxxz解法解法1:xz)2,1(xz解法解法2:)2,1(xz在点(1,2)处的偏导数.)2,1(yz,32yx yzyx23,82312)2,1(yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2
5、)23(yy72yz机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.设，）且1,0(xxxzyzyzxxzyx2ln1 证证:xzyzxxzyxln1 例例3.求222zyxr的偏导数.(P14 例4)解解:xryryyxx yz求证,1yxyxxylnz22222zyxx2rxrzzr,ry机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数记号是一个例例4.已知理想气体的状态方程求证:1pTTVVpTRVp证证:,VTRp,pTRV,RVpT pTTVVp说明说明:(R 为常数),Vp2VTRTVpRpTRVVpTR1不能看作分子与分母的商!此例表明,机动 目录 上页 下页 返回 结束 整体记号,二、高
6、阶偏导数二、高阶偏导数设 z=f(x,y)在域 D 内存在连续的偏导数),(,),(yxfyzyxfxzyx若这两个偏导数仍存在偏导数，)(xz)(yzx)(xzy),()(22yxfyzyzyyy则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 数:类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z=f(x,y)关于 x 的三阶偏导数为3322)(xzxzxz=f(x,y)关于 x 的 n 1 阶偏导数,再关于 y 的一阶)(yyxznn1机动 目录 上页 下页
7、返回 结束 偏导数为11nnxzyxe22例例5.求函数yxez2.23xyz解解:xz22xz)(223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意:此处,22xyzyxz但这一结论并不总成立.yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24机动 目录 上页 下页 返回 结束 的二阶偏导数及 0,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0,0(),0(lim0),(yxfy例如例如,),(yxfx)0,0(yxfxfxffyyxxy)0,0()0,(lim)0,0(0二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0,022 yx0,)(4222224
8、224yxyxyyxxy0,022 yx0,222222yxyxyxyx0,022 yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.证明函数222,1zyxrru满足拉普拉斯0222222zuyuxu证：证：xu22xu利用对称性,有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0机动 目录 上页 下页 返回 结束,),()()(00连续都在点和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx则证明 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理.例如例如,对三
9、元函数 u=f(x,y,z),),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx说明说明:本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续连续时,有而初等(证明略)证证:令),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),()(00yxfyyxfx则),(yxFxxx)(10 xyxxfyyxxfxx),(),(010010yxyyxxfyx),(2010),(),(0000y
10、xfyyxf),(),()(00yxfyxxfy)10(1)1,0(21,),()()(00连续都在点和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx则)()(00 xxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理.令),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),(0000yxfyyxf同样)()(00yyyyxyyxxfxy),(4030)1,0(43),(),(0000yxfyxfxyyx）（）（因yxfyxfxyyx,0 x故令),(4030yyxxfxy),(2010yyxxfyx在点)(00yx，连续,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 0y
11、内容小结内容小结1.偏导数的概念及有关结论 定义;记号;几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习解答提示:P73 题 5，时当022 yx222),(yxyxxyxfx222),(yxyxyyxfy,022 yx当0)0,(dd)0,0(xxfxfx0),0(dd)0,0(yyfyfy00P73 题 5,62223)(2yxyx222222)()(yxyxx即 xy0
12、时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 P73 题6(1),12yxxz22yxyyz,)(12222yxxz,)(2222yxyyxz22222)()(2yxyxyz(2),1yxyxzxxyzyln,)1(2.22yxyyxzxxyxyxzyyln1.12xxyzy222ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P18 1（4）,（6）,（8）；3；5；6（3）；7；8；9（2）第三节 目录 上页 下页 返回 结束,)(xuuf备用题备用题 设,)(ufz 方程)(uuxytdtp)(确定 u 是 x,y 的函数,)(,)(可微其中uuf)(),(utp连续,且,1)(u求.)()(yzxpxzyp解解:xzyuufyz)(xuuxu)()(xpyuuyu)()(ypxu)(1)(uxpyu)(1)(uyp)(uf yzxpxzyp)()(yuxpxuyp)()(0机动 目录 上页 下页 返回 结束
