1、第一章 习题课（一）函数的定义（一）函数的定义（二）极限的概念（二）极限的概念（三）连续的概念（三）连续的概念一、主要内容一、主要内容函函 数数的定义的定义函函 数数的性质的性质奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性反函数反函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数（一）函数（一）函数数列极限数列极限函函 数数 极极 限限axnn limAxfx )(limAxfxx)(lim0左右极限左右极限极限存在的极限存在的充要条件充要条件无穷大无穷大 )(limxf两者的两者的关系关系无穷小无穷小的性质的性质极限的性质极限的性
2、质求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小0)(lim xf判定极限判定极限存在的准则存在的准则两个重要两个重要极限极限无穷小的比较无穷小的比较等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性（二）极限（二）极限（三）连续（三）连续左右连续左右连续连续的连续的充要条件充要条件间断点定义间断点定义 振荡间断点振荡间断点 无穷间断点无穷间断点 跳跃间断点跳跃间断点 可去间断点可去间断点第一类第一类 第二类第二类在区间在区间a,ba,b上连续上连续连续函数的连续函数的运算性质运算性质初等函数初等函数的连续性的连续性闭区间上连续闭区间上连续函数的函数的 性性 质质)()()(lim000定义区间定
3、义区间 xxfxfxx1.初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.2.利用恒等变形消去零因子利用恒等变形消去零因子.)00(”型”型“关关系系求求极极限限；利利用用无无穷穷大大与与无无穷穷小小的的.3;.5极限极限利用等价无穷小替换求利用等价无穷小替换求求求极极限限；利利用用两两个个极极限限存存在在准准则则.6限限；利利用用无无穷穷小小的的性性质质求求极极.4求极限；求极限；利用第一重要公式利用第一重要公式1sinlim.70 xxx1sinlim 推广：推广：无穷小无穷小无穷小无穷小求极限；求极限；利用第二重要公式利用第二重要公式exxx )11(lim.8ee 1)1lim(
4、)11lim(或：或：推广：推广：无穷小无穷小无穷小无穷小无穷大无穷大无穷大无穷大.9 利用左、右极限求极限例例1)1()1)(1)(1(lim1242nxxxxxn 时，求时，求解：解：xxxxxxnn 1)1()1)(1)(1)(1(lim242原式原式xxnn 11lim12xxxnnn 1)1)(1(lim22x 11分析：无限和式、积式极限，应对原式恒等变形化为有限形式分析：无限和式、积式极限，应对原式恒等变形化为有限形式)0(2cos2cos2cos2coslim32xxxxxnn练习：求解：解：nnnnnnxxxxxx2sin2sin2cos2cos2cos2coslim3222
5、原式nnnxx2sinsinlim2)(22sinnxxnnnnnnnnxxxx2sinlim2sinsinlim22原式xxsin例例2 2用极限的定义证明21241lim)2(1lim)1(22122xxnanxn、证：证：0nanannannannan22222222)(1nanan222,1只要要使2an 即2aN取122nanNn时，就有则当1lim22nann0)2(12212412xxx12212412xxx，只要要使22)1(x即2取时当)21(0 x212412xx21241lim221xxx即例例3 3.)sin1tan1(lim310 xxxx 求求)(ln)(lim)(
6、)(limxfxgxgexf注：解解)sin1tan1ln(101033lim)sin1tan1(limxxxxxxexx3030)1sin1tan1(1lnlim)sin1tan1ln(1limxxxxxxxx0)1sin1tan1(0limxxx)1sin1tan1()1sin1tan1(1lnxxxx30)1sin1tan1(limxxxx30)sin1()sin(tanlimxxxxx30)sin1(cos)cos1(sinlimxxxxxx320)sin1(cos2.limxxxxxx21.)sin1tan1(lim21103exxxx)sin1tan1ln(1lim30 xxxxe
7、例例4 4).(,1)(lim,2)(lim,)(023xpxxpxxxpxpxx求求且且是多项式是多项式设设 解：解：,2)(lim23 xxxpx),(2)(23为为待待定定系系数数其其中中可可设设babaxxxxp ,1)(lim0 xxpx又又)0(2)(23 xxbaxxxxp.1,0 ab从从而而得得xxxxp 232)(故故例例5)0(,0lim2 axcbxaxx 求求若若解解0lim2 xcbxaxx0lim2 xxcbxaxx xxxcbxaxx 2lim0lim2 xxcxbax a xcbxaxx 2lim xacbxaxx 2limxacbxaxcbxx 2limax
8、cxbaxcbx 2limab2 例例6 6.1,2cos1,1)(的连续性的连续性讨论讨论 xxxxxf 解：解：改改写写成成将将)(xf 1,111,2cos1,1)(xxxxxxxf.),1(),1,1(),1,()(内内连连续续在在显显然然 xf,1时时当当 x )(lim1xfx )1(lim1xx.2 )(lim1xfx 2coslim1xx.0.1)(间间断断在在故故 xxf,1时时当当 x )(lim1xfx 2coslim1xx.0 )(lim1xfx )1(lim1xx.0.1)(连连续续在在故故 xxf.),1()1,()(连连续续在在 xf解解因因f(x)在在x=0处为
9、无穷间断，即处为无穷间断，即 )(lim0 xfxbxxaxxfxx )1)(lim)(1lim000bxaxx 0lim0,0 ba又又x=1为可去间断，为可去间断，存在存在故故)(lim1xfx)(lim11bxbx )1)()(lim1 xaxxfx)1)(lim)(lim11 xaxxfxx0 1 b例例71,0)1)()(,xxxaxbxxfba，有可去间断点，有可去间断点间断点间断点有无穷有无穷的值，使的值，使确定确定例例8 8).()21(1,0),1()0(,1,0)(ffffxf 使得使得证明必有一点证明必有一点且且上连续上连续在闭区间在闭区间设设证明：证明：),()21()
10、(xfxfxF 令令.21,0)(上连续上连续在在则则xF),0()21()0(ffF ),21()1()21(ffF 讨论讨论:,0)0(F若若,0 则则);0()210(ff ,0)21(F若若,21 则则);21()2121(ff 则则若若,0)21(,0)0(FF )21()0(FF2)0()21(ff .0 由零点定理知由零点定理知,.0)(),21,0(F使使.)()21(成立成立即即 ff 综上综上,1,021,0 必有一点必有一点.)()21(成立成立使使 ff 例例9)(lim,2112sin)(1lim030 xfexxfxxx 求求已知已知解解2112sin)(1lim3
11、0 xxexxf由由0)1(lim30 xxe而而)12sin)(1(lim0 xxfx)1(112sin)(1lim330 xxxeexxf02 0 12sin)(1lim0 xxfx02sin)(lim0 xxfx从而由等价无穷小的代换性质得从而由等价无穷小的代换性质得112sin)(1lim230 xxexxfxxxfx32sin)(21lim0 xxxfx22sin)(lim310 122sinlim0 xxx由由6)(lim)(lim00 xfxfxx存在，且存在，且xx 1)1()0(2sin)(2112sin)(1xxxfxxf例例10 证明若证明若f(x)和和g(x)连续，则函
12、数连续，则函数也连续也连续和和)(),(min)()(),(max)(xgxfxxgxfx 证证)(),(max)(xgxfx 2)()(2|)()(|xgxfxgxf )(),(min)(xgxfx 2)()(2|)()(|xgxfxgxf 由于由于f(x)和和g(x)连续，故连续，故f(x)+g(x)连续连续也连续也连续2)()(|)()(|xgxfxgxf 都连续都连续)(),(xx 计算与证明计算与证明aaxaxxx求、若9)(lim1解：解：xaxaaaxxxxaxaaxax2221)(lim)(limxaxaxe2limxaxaxe2lim92ae3lna，判断其类型的连续性，若有
13、间断点、讨论函数xxxnnn2211lim2解：解：首先我们先把极限求出来首先我们先把极限求出来xxxxxnnn22011lim11时，当xxxxxnnn22011lim12时，当011lim13220 xxxxnnn时，当110111lim)(22xxxxxxxxxfnnn1)(lim1xfx1)(lim1xfx1)(lim1xfx1)(lim1xfx的第一类跳跃间断点是)(1xfx3、求极限、求极限xxxcos1)1ln(lim20解：解：)0(2cos1;)1ln(222xxxxx22limcos1)1ln(lim22020 xxxxxx 存在，并求这个极限的极限证明数列、设nnnnxN
14、nxxxx)(1(,10411证：证：11010)1(11112xxxxx由于12 x0所以1kx0假设1)1(0kx则101kx 有界数列nx0)1(21nnnnnnxxxxxx而,单调有界数列nxA从而极限存在设为两边取极限得对)1(1nnnxxx)1(AAA0A测测 验验 题题2 2、当当0 x时时，下下列列函函数数哪哪一一个个是是其其它它三三个个的的高高阶阶无无穷穷小小（）（A A）2x；（B B）xcos1；（C C）xxtan；（D D）)1ln(x.1 1、函数、函数21)(xxxf 在定义域内（在定义域内（）(A)(A)有上界无下界；有上界无下界；(B)(B)有下界无上界；有下
15、界无上界；(C)(C)有界有界，且且 -2121)(xf ；(D D)有界有界，且且 2122 xx.3 3、xxx0lim（）(A A)1 1；(B B)-1 1；(C C)0 0；(D D)不不存存在在.一、选择题一、选择题4 4、设设 10,01,1)(xxxxxf 则则)(lim0 xfx()(A A)-1 1 ；(B B)1 1 ；(C C)0 0 ；(D D)不不存存在在 .四四、讨论函数讨论函数xxxxf2sin11arctan)(的连续性，并判断的连续性，并判断其间断点的类型其间断点的类型.测验题答案测验题答案(c.c.d.d)三三、ka22 ),2,1,0(k 四四、0 x可去间断点可去间断点,1 x跳跃间断点跳跃间断点,),2,1(2 nnx无穷间断点无穷间断点,x为其它实数时为其它实数时)(xf连续连续.
