1、化工仪表及自动化化工仪表及自动化第二章第二章 过程特性及其数学模型过程特性及其数学模型 内容提要内容提要化工过程的特点及其描述方法化工过程的特点及其描述方法对象数学模型的建立对象数学模型的建立建模目的建模目的机理建模机理建模实验建模实验建模描述对象特性的参数描述对象特性的参数放大系数放大系数时间常数时间常数滞后时间滞后时间第一节第一节 化工过程的特点及其描述方法化工过程的特点及其描述方法 自动控制系统自动控制系统是由被控对象、测量变送装置、控制器和执行器组成。系统的控制质量与被控对象的特性有密切的关系。研究对象的特性，就是用数学的方法来描述出对象输入量与输出量之间的关系。这种对象特性的数学描述
2、就称为对象的数学模型。干扰作用和控制作用都是引起被控变量变化的因素。输出变量输出变量输入变量输入变量几个概念几个概念通道通道 控制通道控制通道干扰通道干扰通道对象的输入输出量信号传递的路径信号传递的路径对象的数学模型分为静态数学模型和动态数学模型对象的数学模型分为静态数学模型和动态数学模型静态数学模型静态数学模型动态数学模型动态数学模型基础基础特例特例一般是在工艺一般是在工艺流程和设备尺流程和设备尺寸等都确定的寸等都确定的情况下，研究情况下，研究对象的输入变对象的输入变量是如何影响量是如何影响输出变量的。输出变量的。研究的目研究的目的是为了的是为了使所设计使所设计的控制系的控制系统达到更统达到
3、更好的控制好的控制效果。效果。在产品规格和产在产品规格和产量已确定的情况量已确定的情况下，通过模型计下，通过模型计算，确定设备的算，确定设备的结构、尺寸、工结构、尺寸、工艺流程和某些工艺流程和某些工艺条件。艺条件。用于用于工艺设计与分析工艺设计与分析的数学模型的数学模型用于用于控制控制的数学模型的数学模型数学模型的表达形式分类数学模型的表达形式分类1.1.非参量模型非参量模型 当数学模型是采用曲线或数据表格等来表示时，称为非参量模型非参量模型。非参量模型可以通过记录实验结果来得到，有时也可以通过计算来得到。特点特点形象、清晰，比较容易看出其定性的特征 缺点缺点直接利用它们来进行系统的分析和设计
4、往往比较困难 表达形式表达形式用对象在一定形式输入作用下的输出曲线或数据来表示 2.2.参量模型参量模型 当数学模型是采用数学方程式用数学方程式来描述时，称为参量模型参量模型。对象的参量模型可以用描述对象输入、输出关系的微分方程式、偏微分方程式、状态方程、差分方程等形式来表示。txbtxbtxbtxbtyatyatyatyammmmnnnn01110111对于线性的集中参数对象对于线性的集中参数对象 通常可用常系数线性微分方程常系数线性微分方程式来描述，如果以x x（t t）表示输入量，y y（t t）表示输出量，则对象特性可用下列微分方程式来描述 在允许的范围内，多数化工对象动态特性可以忽略
5、输入量的导数项可表示为 txtyatyatyatyannnn0111 txtyatya01 tKxtytyT举例举例一个对象如果可以用一个一阶微分方程式来描一个对象如果可以用一个一阶微分方程式来描述其特性（通常称一阶对象），则可表示为述其特性（通常称一阶对象），则可表示为0011,aKaaT或表示成或表示成式中式中 上式中的系数与对象的特性有关，一般需要通过对象的内部机理分析或大量的实验数据处理得到。第二节第二节 对象数学模型的建立对象数学模型的建立一、建模目的一、建模目的（1）对控制系统进行方案设计（2）进行进行控制系统调试和控制系统调试和确定确定控制器参数控制器参数 （3）制定工业过程操作
6、优化方案制定工业过程操作优化方案 （4）设计新型控制方案及确定控制算法（5）进行计算机仿真及对过程系统进行培训 （6）设计工业过程的故障检测与诊断系统 二、机理建模二、机理建模 根据对象或生产过程的内部机理，列写出各种有关的平衡方程，如物料平衡方程、能量平衡方程、动量平衡方程、相平衡方程以及某些物性方程、设备的特性方程、化学反应定律、电路基本定律等，从而获取对象（或过程）的数学模型，这类模型通常称为机理模型。1、机理建模优缺点、机理建模优缺点对于某些对象，人们还难以写出它们的数学表达式，或者表达式中的某些系数还难以确定时，不能适用。具有非常明确的物理意义，所得的模型具有很大的适应性，便于对模型
7、参数进行调整。优点优点缺点缺点举例举例2.2.一阶对象建模一阶对象建模（1）水槽对象）水槽对象对象物料蓄存量的变化率对象物料蓄存量的变化率单位时间流入对象的物料单位时间流入对象的物料单位时间流出对象的物单位时间流出对象的物料料依据依据AdhdtQQ21sRhQ 2若变化量很微小变化量很微小，可以近似认为Q2与h 成正比将其代入1QRhdtdhARssssRKART,1KQhdtdhT令令则则流出侧阀门流出侧阀门2 2的液阻方程：的液阻方程：2QhRsAdhdtQQ21液位高度与流入量的关系液位高度与流入量的关系:0eiReidtdeCi0（2）RC电路电路ei为输入参数，eo为输出参数。iee
8、dtdeRC00ieedtdeT00RCT 将其带入将其带入由于电容器的电流由于电容器的电流或或0eiRei根据基尔霍夫定律 举例举例 oooeeeieedtdeRC00ieedtdeT00通解通解RCtoAee特解特解iooeedtdeRC 如果如果为常数ie特解与激励有相同的形式特解与激励有相同的形式ioee iRCtoeAete)(解为解为0t时时0)0(oeieA)1()(RCtioeetedtQAdh113.3.一阶积分对象建模一阶积分对象建模 当对象的输出参数与输入参数对时间的积分成比例关系当对象的输出参数与输入参数对时间的积分成比例关系时，称为积分对象。时，称为积分对象。Q2为常
9、数，变化量为0dtQAh11说明，贮槽在流出量不变流出量不变的情况下具有积分特性积分特性。式中，A为贮槽横截面积dtQdV1AdhdV 0222112111111eRidtiiCdtiiCRieiRC串联电路串联电路根据基尔霍夫定律根据基尔霍夫定律3.3.二阶对象建模二阶对象建模举例举例011CRiUUe021oRCeUU0211iiiCieedtdeCRCRCRdtedCRCR002122112022211dtiiCRiei211111整理得整理得dtdeCio22oooCedtdeRCeRiU22221dtdeCdtdeCdtedRCCdtdeCdtedtdeRCdCdtdeCdtdUCi
10、iioooooooCC21222212221211211dtiiCeRi2110221002211eRiRiei0)(2212122221oooooiedtdeCRRdtdeCdtdeCdtedRCCe三、实验建模三、实验建模 对象特性的实验测取方法，就是给要研究的对象，加一个人为的输入（输入量），然后，用仪表测取并记录表征对象特性的物理量（输出量）随时间变化的规律，得到一系列实验数据（或曲线）。这些数据或曲线就可以用来表示对象的特性。实验方法实验方法研究对象特性研究对象特性定义：定义：通过对象的输入输出的实测数据来决定其模型的结构和参数。特点特点：把被研究的对象视为一个黑匣子，完全从外部特性
11、上来测试和描述它的动态特性，不需要深入了解其内部机理。实验的测试方法实验的测试方法1.阶跃反应曲线法阶跃反应曲线法 用实验的方法,在阶跃输入作用下，测取对象输出量y随时间的变化规律。优点优点简单缺点缺点稳定时间长测试精度受限简单水槽的动态特性简单水槽的动态特性举例举例2.矩形脉冲法矩形脉冲法 当对象处于稳定工况下，在时间t0突然加一阶跃干扰，幅值为A，到t1时突然除去阶跃干扰，这时测得的输出量y随时间的变化规律，称为对象的矩形脉冲特性，而这种形式的干扰称为矩形脉冲干扰。还可以采用矩形脉冲波和正弦信号。混合建模混合建模 先由机理分析的方法提供数学模型的结构形式，然后对其中某些未知的或不确定的参数
12、利用实测的方法给予确定。这种在已知模型结构的基础上，通过实测数据来确定其中的某些参数，称为参数估计。举例举例 以换热器建模为例，可以先列写出其热量平衡方程式，而其中的换热系数K值等可以通过实测的试验数据来确定。途径作业作业:P127 /12、13第三节第三节 描述对象特性的参数描述对象特性的参数一、放大系数一、放大系数K 对于前面介绍的水槽对象，当流入流量Q1有一定的阶跃变化后，液位h也会有相应的变化，但最后会稳定在某一数值上。如果我们将流量Q1的变化Q1看作对象的输入，而液位h的变化h看作对象的输出，那么在稳定状态时，对象一定的输入就对应着一定的输出，这种特性称为对象的静态特性。水槽液位的变
13、化曲线1QhK1QKh或K在数值上等于对象重新稳定后的输出对象重新稳定后的输出变化量与输入变化量之比变化量与输入变化量之比。K越大，就表示对象的输入量有一定变化时，对输出量的影响越大，即被控变量对这个量的变化越灵敏。举例举例 以合成氨的转换炉为例，说明各个量的变化对以合成氨的转换炉为例，说明各个量的变化对被控变量被控变量K的影响的影响 生产过程要求一氧化碳的转化率要高，蒸汽消耗量要少，触媒寿命要长。通常用变换炉一段反应温度作为被控变量，来间接地控制转换率和其他指标。一氧化碳变换过程示意图 不同输入作用时的被控变量变化曲线影响变换炉一段反应温度的主要因素影响变换炉一段反应温度的主要因素对温度的相
14、对放大系数最大对温度的相对放大系数最大对温度的相对放大系数次之对温度的相对放大系数次之对温度的相对放大系数最小对温度的相对放大系数最小半水煤气流量半水煤气流量冷激流量冷激流量蒸汽流量蒸汽流量二、时间常数二、时间常数T 从大量的生产实践中发现，有的对象受到干扰后，被控变量变化很快，较迅速地达到了稳定值；有的对象在受到干扰后，惯性很大，被控变量要经过很长时间才能达到新的稳态值。不同时间常数对象的反应曲线如何定量地表示对象受干扰后的这如何定量地表示对象受干扰后的这种特性呢？种特性呢？在自动化领域中，往往用时间常数T来表示。时间常数越大，表示对象受到干扰作用后，被控变量变化得越慢，到达新的稳定值所需的
15、时间越长。1KQhdtdhT举例举例简单水槽为例简单水槽为例由前面的推导可知假定Q1为阶跃作用，t0或t=0时Q1=A，如左图。TteKAth1则函数表达式为 KAh AhK 从图反应曲线可以看出，对象受到阶跃作用后，被控变量就发生变化，当t时，被控变量不再变化而达到了新的稳态值h（），这时：或或 对于简单水槽对象，K=RS，即放大系数只与出水阀的阻力有关，当阀的开度一定时，放大系数就是一个常数。TteKAth1 KAeKATh632.011 hTh632.0将将 t=T 代入代入将将 当对象受到阶跃输入后，被控变量达到新的稳态值的当对象受到阶跃输入后，被控变量达到新的稳态值的63.263.2
16、所需的时间，就是时间常数所需的时间，就是时间常数T，实际工作中，常用这，实际工作中，常用这种方法求取时间常数。显然，时间常数越大，被控变量的种方法求取时间常数。显然，时间常数越大，被控变量的变化也越慢，达到新的稳定值所需的时间也越大。变化也越慢，达到新的稳定值所需的时间也越大。TteKAth1得得 KAh得得不同时间常数下的反应曲线T1T2T3T4 说明说明时间常数大的对象（如时间常数大的对象（如T4)对输入的反应较慢，对输入的反应较慢，一般认为惯性较大。一般认为惯性较大。TteTKAdtdh ThTKAdtdht00tdtdh在输入加入的瞬间，液位h的变化速度是多大呢？将将当当 t =0当当
17、 t 时，可得时，可得 TteKAth1对对 t 求导，得求导，得 hKAeKATh95.095.0133做图法做图法求求时间常数时间常数T T 对反应曲线在起始点做切线，对反应曲线在起始点做切线，这条切线与新的稳定值这条切线与新的稳定值h（）上截）上截得的一段时间正好等于得的一段时间正好等于T。当 t=时 从加入输入作用后，经过从加入输入作用后，经过3 3T T时间，液位已经变化了全部变化范时间，液位已经变化了全部变化范围的围的9595，这时，可以近似地认为动态过程基本结束。所以，时间常，这时，可以近似地认为动态过程基本结束。所以，时间常数数T T是表示在输入作用下，被控变量完成其变化过程所
18、需要的时间的是表示在输入作用下，被控变量完成其变化过程所需要的时间的一个重要参数。一个重要参数。结结论论当 t=3T时 KAeKAhT1三、滞后时间三、滞后时间定义定义分类分类 对象在受到输入作用后，被控变量却不能立即而迅速地变化，这种现象称为滞后现象。滞滞后后性性质质传递滞后容量滞后 传递滞后又叫纯滞后，一般用传递滞后又叫纯滞后，一般用0 0表示。表示。0 0的的产生一般是由于介质的输送需要一段时间而引起产生一般是由于介质的输送需要一段时间而引起的。的。对象在受到阶跃输入作用对象在受到阶跃输入作用x x后，被控变量后，被控变量y y开始开始变化很慢，后来才逐渐加快，最后又变慢直至逐渐变化很慢
19、，后来才逐渐加快，最后又变慢直至逐渐接近稳定值。接近稳定值。1.1.传递滞后传递滞后显然显然，纯滞后时间0与皮带输送机的传送速度v和传送距离L有如下关系：vL0溶解槽及其反应曲线纯滞后时间举例举例从测量方面来说，由于测量点选择不当、测量元件安装不合适等原因也会造成传递滞后。蒸汽直接加热器 当加热蒸汽量增大时，槽内温度升高，然而槽内溶液流到管道测温点处还要经过一段时间0。所以，相对于蒸汽流量变化的时刻，实际测得的溶液温度T要经过时间0后才开始变化。注意：注意：安装成分分析仪器时，取样管线太长，取样点安装离设安装成分分析仪器时，取样管线太长，取样点安装离设备太远，都会引起较大的纯滞后时间，工作中要
20、尽量避免。备太远，都会引起较大的纯滞后时间，工作中要尽量避免。有、无纯滞后的一阶阶跃响应曲线x为输入量，y(t)、y(t)分别为无、有纯滞后时的输出量时 tKxtydttdyT tKxtydttdyT tttyty,0,0,00,ttyttyty或或若无纯滞后的对象特性无纯滞后的对象特性可以用下述方程式描述有纯滞后的对象特性有纯滞后的对象特性可以用下述方程式描述有自平衡的两个水槽串联对象有自平衡的两个水槽串联对象 2Q2R1F2F1h前置水槽 主水槽 0Q 控制阀 中间阀 1R1Q0h1Q0平衡Q2h2Q1流出阀 1h2h2h0举例1.1.自平衡双容对象阶跃响应自平衡双容对象阶跃响应0 0 0
21、t0t10h ttQth0t10Q20Q00Q0Q控制阀 1Q中间阀 2Q流出阀 bpacTc 拐点 20h主水槽水位主水槽水位 前置水槽水位 控制阀开度 各阀门流量1h2hTc时间常数 容量延迟时间 C容量延迟时间 C分析：分析：主水槽水位主水槽水位h h2 2的整个变化过程是一条的整个变化过程是一条S S形的变化形的变化曲线。曲线。P P点就是点就是S S形曲线的拐点，也是液位上升速形曲线的拐点，也是液位上升速度最快的点。度最快的点。其原因是前置容积的容量和阻力所产生的惯性其原因是前置容积的容量和阻力所产生的惯性使主水槽使主水槽h h2 2的变化在起始阶段出现更加缓慢的现的变化在起始阶段出
22、现更加缓慢的现象，这种现象是由于对象容积的增多而产生的。象，这种现象是由于对象容积的增多而产生的。前置水槽的惯性使得主水槽的液位变化在时间前置水槽的惯性使得主水槽的液位变化在时间上落后于扰动量，这种迟延称为容积迟延。上落后于扰动量，这种迟延称为容积迟延。前置水槽前置水槽物质平衡方程物质平衡方程：dtQQdhF)(1011dtQQdhF)(2122kQ 0111RhQ 222RhQ 主水槽主水槽物质平衡方程物质平衡方程：前置水槽的流入量：前置水槽的流入量：根据上述关系，可写出双容有自平衡对象的动态方程式根据上述关系，可写出双容有自平衡对象的动态方程式主水槽的流出量：主水槽的流出量：前置水槽的流出
23、量：前置水槽的流出量：11011)(RhQhdtdF20222122221)(RKhdtdhTTdthdTT22112122)(RhRhQQdtdhF122121222121212212121)(RRhRdtdhRFKRhRdtdhRFdtdFRhRdtdhRFh222222112121)()(RhdtdhFKhdtdRRFdtdhdtdRFF双容有自平衡对象的动态方程式双容有自平衡对象的动态方程式KxydtdyTTdtydTT212221 tytytysstr一般是由于物料或能量的传递需要通过一定阻力而引起的。对对两个水槽串联的二阶对象两个水槽串联的二阶对象将输出量h2用y表示，输入量u用x
24、表示，K0R2用K表示则方程式可写为 假定输入作用为阶跃函数，其幅值为A。已知，二阶常系数微分方程式的解是2.2.容量滞后容量滞后20222122221)(RKhdtdhTTdthdTT0212221ydtdyTTdtydTT0121221STTSTT22111,1TSTS 2121TtTttreCeCty由于对应的齐次方程式为其特征方程为求得特征根为故齐次方程式的通解为式中，C1、C2为决定于初始条件的待定系数。aacbbS24221212212124)()(TTTTTTTTS KAtyss KAeCeCtyTtTt2121KATTTC1211的一个特解可以认为是稳定解KATTTC1222将
25、通解和特解代入式用初始条件y(0)=0，y(0)=0代入具有容量滞后对象的反应曲线KxydtdyTTdtydTT212221由于输入xA，稳定时021KACC0112211TCTC01221TCTC2121TTCC02212KACTTC0)1(212KATTC1222TTTKACKATTTTTKATTTC121211221)(KAeTTTeTTTtyTtTt121122121KAeTeTTTKATtTt212112将两系数代入可得 上式便是串联水槽对象的阶跃反应函数。由此式可知，在t=0时y（t）=0；在t=时，y（t）KA。y（t）是稳态值KA与两项衰减指数函数的代数和。说明：输入量在作阶跃
26、变化的瞬间，输出量变化的速度等于零，以后随着t的增加，变化速度慢慢增大，但当t大于某一个t1值后，变化速度又慢慢减小，直至t时，变化速度减少为零。串联水槽的反应曲线容量滞后时间T二阶对象近似为是有滞后时间h，时间常数为T的一阶对象用一阶对象的特性（具有滞后）来近似上述二阶对象的方法用一阶对象的特性（具有滞后）来近似上述二阶对象的方法 滞后时间示意图 在容量滞后与纯滞后同时存在时，常常把两者合起来统称滞后时间，即0h。自动控制系统中，滞后的存在是不利于控制的。所以，在自动控制系统中，滞后的存在是不利于控制的。所以，在设计和安装控制系统时，都应当尽量把滞后时间减到最小。设计和安装控制系统时，都应当尽量把滞后时间减到最小。结论
