1、2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 1 页（共10页） 绝密启用前 试卷类型：（A） 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试 文科数学参考答案与评分标准 一、选择题 1. C 2. C 3. D 4. C 5. B 6. D 7. B 8. A 9. B 10. C 11. D 12. B 二、填空题： 13. 1 4 14. 32 15. 1 9 16. 3 8 r 3 . 17（本小题满分 12 分） 已知数列 n a的首项 1 2 3 a =， 11 2 nnnn aaaa + += * (0,) n anN （1）证明：数列 1 1 n
2、 a 是等比数列； （2）数列 n n a 的前n项和 n S 解：（1） 11 2 nnnn aaaa + += * (0,) n anN， 1 11111 222 n nnn a aaa + + =+， 1 111 1(1) 2 nn aa + =， 4 分 又 1 2 3 a =， 1 11 1 2a =， 数列 1 1 n a 是以 1 2 首项， 1 2 为公比的等比数列6 分 （2）由（1）知 1 1111 1 2 22 nn n a =， 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 2 页（共10页） 即 11 1 2n n a =+， 2n n nn
3、 n a =+ 9 分 设 23 123 222 n T =+ 2n n +， 则 23 112 222 n T =+ 1 1 22 nn nn + +， 由得 2 111 222 n T =+ 111 11 (1) 11 22 1 1 22222 1 2 n nnnnn nnn + += ， 1 1 2 22 n nn n T =又123+ + (1) 2 n n n + + = 数列 n n a 的前n项和 2(1) 2 22 n n nn n S + =+ 12 分 18（本小题满分 12 分） 随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台已知经销某种 商品的电商在任何
4、一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每 1吨亏损0.3万元根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图 如图所示已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品现以x（单位：吨， 100150x）表示下一个销售季度的市场需求量，T（单位：万元）表示该电商下一个销 售季度内经销该商品获得的利润 （1）将T表示为x的函数，求出该函数表达式； （2）根据直方图估计利润T不少于 57 万元的概率； （3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x的平均数与中位数的大小 （保留到小数点后一位） 需求量(x/t) 0 0.025 0.020 0.015
5、 0.010 150 140 130 120 110 100 0.030 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 3 页（共10页） 解解:（1）当)130,100x时，398 . 0)130( 3 . 05 . 0=xxxT； 1 分 当150,130x时，651305 . 0=T， 2 分 所以， = .150130,65 ,130100,398 . 0 x xx T 3 分 （2）根据频率分布直方图及（1）知， 当100,130)x时，由0.83957Tx=，得120130x， 4 分 当130,150x时，由6557T =， 5 分 所以，利润T不少于5
6、7万元当且仅当150120 x，于是由频率分布直方图可知市场 需求量150,120x的频率为(0.0300.0250.015) 100.7+=， 所以下一个销售季度内的利润T不少于 57 万元的概率的估计值为0.7，7 分 （3）估计一个销售季度内市场需求量x的平均数为 105 0.1 115 0.2 125 0.3 135 0.25 145 0.15126.5x =+= （吨）9 分 由频率分布直方图易知，由于x100,120)时，对应的频率为 (0.01 0.02) 100.30.5+= ， 而100,130)x时，对应的频率为 10 分 (0.01 0.02 0.3) 100.60.5+
7、= ， 因此一个销售季度内市场需求量x的中位数应属于区间120,130)，于是估计中位数应 为120(0.5 0.1 0.2)0.03 126.7+ （吨）12 分 19(本小题满分 12 分) 如图所示，四棱锥SABCD中，SA平面ABCD，90ABCBAD= =， 1ABADSA=，2BC =，M为SB的中点 （1）求证：/ /AM平面SCD； （2）求点B到平面SCD的距离 A D B C M S 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 4 页（共10页） 证明：证明：（1）取SC的中点N，连结MN和DN， M为SB的中点， / /MNBC且 1 2 MN
8、BC=，2 分 90ABCBAD= =，1AD =，2BC =， / /ADBC且 1 2 ADBC=，4 分 / /ADMN且ADMN=， 四边形AMND为平行四边形， / /AMDN， 5 分 AM 平面SCD，DN 平面SCD， / /AM平面SCD 6 分 （2）1ABSA=，M为SB的中点， AMSB， 8 分 SA平面ABCD， SABC， 90ABCBAD= =， BCAB， BC 平面SAB， BCAM， AM 平面SBC， 由（1）可知/ /AMDN， DN 平面SBC， DN 平面SCD， 平面SCD 平面SBC，10 分 作BESC交SC于E，则 BE 平面SCD， 在直
9、角三角形SBC中，有 11 22 SB BCSC BE=， 2 22 3 36 SB BC BE SC =， 即点B到平面SCD距离为 2 3 3 .12 分 （三棱锥体积法参照给分） 20(本小题满分 12 分) A D B C M S N E 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 5 页（共10页） 已知椭圆 2 2 :1 4 x Cy+=， 1 F、 2 F分别是椭圆C的左、右焦点，M为椭圆上的动点. （1）求 12 FMF的最大值,并证明你的结论； （2）若A、B分别是椭圆C长轴的左、 右端点，设直线AM的斜率为k，且 11 (,) 23 k ， 求直
10、线BM的斜率的取值范围. 解：（1）由椭圆的定义可知 12 | 4MFMF+=， 在 12 FMF中，由余弦定理，可得 222 1212 12 12 | cos 2| | MFMFFF FMF MFMF + = 22 121212 12 |)|2| | 2| | MFMFFFMFMF MFMF + = ( 12 1212 2 | |2 1 | | | MFMF MFMFMFMF = 2 12 21 1 2 | 2 MFMF = + ，4 分 12 0FMF ， 12 FMF的最大值为 2 3 ，此时 12 | |MFMF=， 即点M为椭圆C的上顶点时， 12 FMF取最大值，其最大值为 2 3
11、 .5 分 根据椭圆的对称性，当点M为椭圆C的短轴的顶点时，AMB取最大值，其最大值为 2 3 . 6 分 （2）设直线BM的斜率为 k ， 00 (,)M xy，则 0 0 2 y k x = + ， 0 0 2 y k x = ， 2 0 2 0 4 y k k x = ，9 分 又 2 2 0 0 1 4 x y+=， 22 00 44xy=， 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 6 页（共10页） 1 4 k k = ， 11 (,) 23 k ， 13 24 k ， 故直线BM的斜率的取值范围为 1 3 ( ,) 2 4 .12 分 21(本小题满
12、分 12 分) 已知函数( )(1)ex a f x x =+（e为自然对数的底数），其中0a （1）在区间(, 2 a 上，( )f x是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在， 请说明理由 （ 2 ） 若 函 数( )f x的 两 个 两 个 极 值 点 1212 ,)x x xx（， 证 明 ： 21 21 ln()ln()2 1 2 f xf x xxa + + . 解：解：（1）由条件可函数( )f x在(,0)上有意义， 2 2 ( )ex xaxa fx x + =， 令( )0fx=，得 2 1 4 2 aaa x + =， 2 2 4 2 aaa x + =， 因为0a
13、，所以 1 0x ， 2 0x . 所以当 1 (,)xx 时，( )0fx， 当 1 (,0)xx上( )0fx， 所以( )f x在 1 (,)x上是增函数， 在 1 (,0)x是减函数. 3 分 由( )(1)ee xx axa f x xx + =+=可知， 当xa= 时，( )0f x =，当xa 时，( )0f x ，当0ax 时，( )0f x ， 因为 22 1 44 0 22 aaaaaa axa + + = =， 所以 1 0xa ， 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 7 页（共10页） 又函数在 1 (, 0)x上是减函数，且 1 0
14、 2 a xa ， 所以函数在区间(, 2 a 上的有最小值，其最小值为 2 ()e 2 a a f = . 6 分 （2）由（1）可知，当0a 时函数( )f x存在两个极值点 1 x， 2 x， 且 1 x， 2 x是方程 2 0xaxa+=的两根， 所以 1212 xxx xa+= ，且 12 1xx， 11 12 1 ( )(1)e(1)e xx a f xx x =+=， 2 21 ()(1)exf xx=， 所以 2 2112 ln()ln(1)eln(1) x f xxxx=+， 1 1221 ln( )ln(1)eln(1) x f xxxx=+， 所以 21122112 21
15、2112 ln()ln( )ln(1)ln(1)ln(1)ln(1) =+1 1(1) f xf xxxxxxx xxxxxx + = （)- ， 又 2112 222 111 2()2(1)(1)axxxx += += + + ， 9 分 由（1）可知 12 110xx ， 设 1 1mx= ， 2 1nx= ，则0mn， 故要证 21 21 ln()ln()2 1 2 f xf x xxa + + 成立，只要证 lnln2mn mnmn + 成立， 下面证明不等式 lnln2mn mnmn + 成立， 构造函数 2(1) ( )ln,(1) 1 t h ttt t = + 则 2 2 (1
16、) ( )0 (1) t h t t t = + ，所以( )h t在(1,)t+上单调递增，( )(1)0h th=， 即 2(1) ln 1 t t t + 成立， 令 m t n =，即得不等式 lnln2mn mnmn + ， 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 8 页（共10页） 从而 21 21 ln()ln()2 1 2 f xf x xxa + + 成立. 12 分 22（本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，直线 1 l： cos sin xt yt = = ， （t为参数， 0 2 ），曲线 1
17、C： 2cos 4+2sin x y = = ， （为参数）， 1 l与 1 C相切于点A，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为 极轴建立极坐标系. （1）求 1 C的极坐标方程及点A的极坐标； （2）已知直线 2 l： = 6 R()与圆 2 C： 2 4 3 cos20+=交于B，C两点，记 AOB的面积为 1 S， 2 COC的面积为 2 S，求 12 21 SS SS + 的值. 解：（1）（法一）由题意可知， 1 C的直角坐标方程为 22 (4)4xy+=， 将 cos sin x y = = ， 代入得 1 C的极坐标方程为 2 8 sin120+=， 2 分 又 1 l的参数方程为
18、 cos sin xt yt = = ， （t为参数， 0 2 ）， 得 1 l的极坐标方程为= R（）， 3 分 将= 代入得 2 8 sin120+=，则 2 (8sin )4 120 = =，又 0 2 ， 解得 = 3 ，此时=2 3，所以点A的极坐标为 2 3 3 （，）， 5 分 （法二）由题意可知， 1 C的直角坐标方程为 22 (4)4xy+=， 将 cos sin x y = = ， 代入，得 1 C的极坐标方程为 2 8 sin120+=， 2 分 因为 1 l与 1 C相切于点A，所以在Rt 1 OC A中，有 22 11 |2 3OAOCC A=， 2020 年深圳市普
19、通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 9 页（共10页） 1 1 1 |1 sin |2 C A AOC OC = ，所以 1 6 AOC=， 4 分 由极坐标的几何意义，可得A 2 3 3 （，）. 5 分 （2）由 2 C的极坐标方程为 2 4 3 cos20+=，可得 2 C的直角坐标方程为 22 (2 3)5xy+=，所以圆心 2(2 3,0) C ， 6 分 设 1 (, ) 3 B， 2 (,) 3 C将 = 6 代入 2 4 3 cos20+=， 得 2 620+=，所以 12 6+=， 12 2 =， 7 分 又因为 111 13 =.sin() 2362 A S
20、 =， 2222 13 =|.sin 262 SOC=8 分 所以 22 12121212 212112 ()2622 16 2 SS SS + +=+=. 10 分 23（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知( )2f xxa=. （1）当1a =时，解不等式( )21f xx +； （2）若存在实数(1,)a+，使得关于x的不等式 2 ( )+ + 1 f xxm a 有实数解，求实 数m的取值范围. 解：（1）当1a =时，即解不等式221xx+， （法一）当2x时，原不等式等价于2 21xx+，所以3x， 所以不等式 ( )21f xx + 的解集为空集， 2 分 当2x
21、时，原不等式等价于221xx+，解得 1 3 x， 4 分 综上所述，不等式 ( )21f xx + 的解集为 1 (, ) 3 . 5 分 （法二）当 1 2 x时，不等式221xx+显然成立； 2 分 当 1 2 x时，原不等式等价于 22 (2)21xx+()， 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 10 页（共10页） 即 2 3830xx+ ，解得 11 23 x， 4 分 综上所述，不等式 ( )21f xx + 的解集为 1 (, ) 3 .5 分 （2）因为 222 ( )+ +2 + +2 111 f xxxaxa aaa =+ ，显然等号可取。6 分 又(1,)a+， 故原问题等价于关于a的不等式 2 2 1 am a + 在(1,)+上有解，8 分 又因为 222 2=2(1)22 2(1)26 111 aaa aaa += ， 当且仅当2a =时取等号， 所以m6，即(6,)m+. 10 分
