1、七 年 级 数 学 “线段与角”经典题型详解一、线段、射线、直线与角例 1 线 段 中 点 与 角 平 分 线若一条线 段 上有 n 个点 ，则这 n 个点 可组成 n/2（n+1）条线 段 ；从一个点出发引出 n 条射线，则这 n 条射线可组成 n/2（n+1）个角。例 2 线 段 类 与角类 多解问题例 3 双中点问题与双角平分线 问题（1）例 4 双 中 点 问 题 与双 角平分线问 题 （2）例 5 数 线 段 条 数 与角的个数二 、行程问题与钟面角问题例 6 追击类问题（1）例 7 追击类问题（2）二 、 六 道 题 突 破 “线段与角”所有难题1、 方程思想例 1：已 知 AOB
2、 160， COE 80， OF 平 分AOE（ 1） 如 图 1， 若 COF n， 则 BOE _， BOE 与 COF 的 数 量 关 系 为_； （ 2） 当 射 线 OE 绕 点 O 逆 时 针 旋 转 到 如 图 2 的 位 置 时 ， （ 1） 中 BOE与 COF 的 数 量 关 系 是 否 仍 然 成 立 ？ 请 说 明 理 由 ； （ 3） 在 （ 2） 的 条 件 下 ， 如图 3， 在 BOE 的 内 部 是 否 存 在 一 条 射 线 OD， 使 得 BOD 为 直 角 ， 且 DOF3DOE？ 若 存 在 ， 请 求 出 COF 的 度 数 ； 若 不 存 在 ，
3、请 说 明 理 由 分析：(1)(2)根 据 EOC 和 COF 的 度 数 ， 可 以 求 出 FOE 的 度 数 ， 从 而 可 求 AOE 的度 数 ， 从 而 将 AOB 的 度 数 减 去 AOE 的 度 数 ， 就 是 BOE 的 度 数 ， 若 将 EOF的 度 数 用 n 来 表 示 ， 或 将 位 置 改 变 ， 方 法 也 是 不 变 的 (3)要 求 COF 的 度 数 ，只 需 求 出 EOF 的 度 数 ， 用 COE 的 度 数 相 减 即 可 而 要 求 EOF 的 度 数 ， 我 们可 以 借 助 DOF 3DOE 的 条 件 ， 最 后 ， 利 用 AOD B
4、OD 160， 建 立 方程 解答：(1)设 COF n， FOE COE COF (80 n)， OF 平 分 AOE， AOE 2FOE (160 2n)，BOE AOB AOE 160 (160 2n) 2n，BOE 2COF (2)结 论 仍 然 成 立 ， 方 法 同 (1) (3)OD OB， BOD 90，设 DOE x， DOF 3x， FOE DOF DOE 2x， OF 平 分 AOE，AOE 2FOE 4x， AOE DOE BOD AOB， 4x x 90 160，x 14， EOF 2x 28， COF COE EOF 80 28 522、分类讨论例 2：分析：解答：
5、3、旋转相关例 3：已 知 直 线 AB 和 CD 交 于 点 O，AOC 的 度 数 为 x，BOE 90，OF 平 分 AOD(1)当 x 1948， 求 EOC 与 FOD 的 度 数 (2)当 x 60， 射 线 OE、OF 分别 以 10/s， 4/s 的 速 度 同 时 绕 点 O 顺 时 针 转 动 ， 求 当 射 线 OE 与 射 线 OF 重合 时 至 少 需 要 多 少 时 间 ?(3)当 x 60， 射 线 OE 以 10/s 的 速 度 绕 点 O 顺 时 针转 动 ， 同 时 射 线 OF 也 以 4/s 的 速 度 绕 点 O 逆 时 针 转 动 ， 当 射 线 O
6、E 转 动 一周 时 射 线 OF 也 停 止 转 动 射 线 OE 在 转 动 一 周 的 过 程 中 当 EOF 90 时 ， 求射 线 OE 转 动 的 时 间 分析：(1)问 非 常 简 单 ， 不 再 赘 述 (2)这 是 一 个 追 及 问 题 ， 射 线 OE 的 速 度 快 ， 显 然 是OE 在 后 追 OF， 追 及 的 度 数 是 用 360减 去 EOF 的 度 数 (3)由 于 方 向 变 化 ， 问题 又 变 成 了 一 个 相 遇 问 题 ， 相 遇 前 ， 两 射 线 的 夹 角 与 第 (2)问 相 同 ， 要 使 夹 角 为90， 则 转 过 的 度 数 之
7、 和 分 3 种 相 遇 之 前 ， 夹 角 为 90， 即 转 过 的 度 数 之 和 为(2)中 的 度 数 减 去 90 相 遇 之 后 ， 夹 角 为 90， 即 转 过 的 度 数 之 和 为 (2)中 的 度数 加 上 90 相 遇 之 后 ， 夹 角 为 (360 90)， 即 转 过 的 度 数 之 和 为 (2)中 的 度 数 加上 (360 90)解答：(1)BOE 90， AOE AOB BOE 180 90 90， EOC AOE AOC 90 1948 7012 AOD COD AOC 1801948 16012OF 平 分 AOD， FOD 1/2AOD 806(2
8、)AOC60， AOD 120， AOF 60， EOF AOF AOE 150， 解 设t 秒 后 重 合 ， (10 4)t 360 150， t 35 (3)4、定值探究例 4：分析：解答：5、双角平分线例 5：如 图 ， 两 个 形 状 、 大 小 完 全 相 同 的 含 有 30， 60角 的 三 角 尺 如 图 放 置 ， PA，PB与 直 线 MN重 合 ，且 三 角 尺 PAC，三 角 尺 PBD 均 可 以 绕 点 P逆 时 针 旋 转 (1)试 说 明 ： DPC 90； (2)如 图 ， 若 三 角 尺 PAC 的 边 PA 从 PN 处 开 始 绕 点 P逆 时 针 旋
9、 转 一 定 角 度 ， PF 平 分 APD， PE 平 分 CPD， 求 EPF； (3)如 图 ，若 三 角 尺 PAC 的 边 PA 从 PN 处 开 始 绕 点 P 逆 时 针 旋 转 ， 转 速 为 3/秒 ， 同 时 三角 尺 PBD 的 边 PB 从 PM 处 开 始 绕 点 P 逆 时 针 旋 转 ， 转 速 为 2/秒 ， 在 两 个 三角 尺 旋 转 过 程 中 (PC 转 到 与 PM 重 合 时 ， 两 三 角 尺 都 停 止 转 动 )， 试 说 明 ： BPN 2CPD分析：(1)问 简 单 ， 不 再 赘 述 (2)典 型 的 双 角 平 分 线 问 题 ， 先
10、 找 出 现 两 次 的 边 ， 即 公 共边 ， PD， 则 组 成 EPF 的 两 条 边 ， PE， PF， 必 然 与 PD 形 成 2 个 角 ， FPD， EPD， 则 EPF 必 为 这 两 个 角 的 差 或 和 ， 然 后 利 用 一半 减 一半 ， 或 一半 加 一半 解决 (3)分 别 用 含 t 的 代 数 式 表 示 BPN， CPD， 注 意 CPD 在 表 示 时 ， 要 考 虑到 PD 旋 转 到 MN 下 方 的 情 况 ， 因 此 ， 用 平 角 MPN MPN BPD APC APN 最 合 适 解 答 ：(1)PA， PB 与 直 线 MN 重 合 ，
11、APB 180又 CPA 60， DPB 30，DPC APB CPA DPB 180 30 60 90；6、动点综合例 6：已 知 数 轴 上 有 A， B， C 三 点 ， 分 别 表 示 数 24， 10， 10 两 只 电 子 蚂 蚁 甲 、乙分 别 从 A， C 两 点 同时相向而行， 甲 的速度为 4 个单位/秒， 乙的速度为 6 个单位/秒 （1）问甲 、乙在数 轴 上 的哪个点 相遇？（2）问多少秒后甲 到 A， B，C 三 点 的距离之和为 40 个单位？若此时甲 调头往回走， 问甲 、乙还能在数 轴 上相遇吗？若能， 求出相遇点 ；若不能， 请说明理由 （3）若甲 、乙两
12、只 电 子 蚂蚁 （用 P 表 示 甲 蚂 蚁 、Q 表 示 乙蚂 蚁 ）分 别 从 A， C 两 点 同时相向而行， 甲 的速度变为原来的 3 倍， 乙的速度不变， 直接写出多少时间后， 原点 O、甲 蚂 蚁 P与乙蚂 蚁 Q 三 点 中， 有 一点 恰好是另两 点 所连线段的中点 分析：本题是一道好题， 将动点 问题中 3 个重要知 识点 串联在了一起， (1)如何表 示 t秒时， 某个点 表 示 的数 ， (2)如何表 示 t 秒时， 两 个点 之间的距离， (3)如何表 示两 个点 的中点 (1)问， 可以用行程问题解决， 但我们可以用相遇时， 这两 个点表 示 的数 相等来建立方程 (2)分 别 用含 t 的绝对值代数 式来表 示 后甲 到 A， B，C 三 点 的距离 然后建立关于 t 的绝对值方程， 注意， 要考虑所求时间是否在范围内， 调头走的时间是否合题意 (3)依旧可以用含 t 的代数 式表 示 t 秒时， 点 P，点 Q 表 示 的数 ， 利用中点 公式， 建立方程求解解答：
