1、第四节第四节 倒格子倒格子 本节主要内容本节主要内容:一、一、概念的引入概念的引入三、三、倒格矢与晶面倒格矢与晶面二、二、倒格子是倒易空间的布拉维格子倒格子是倒易空间的布拉维格子四、四、倒格子的点群对称性倒格子的点群对称性2.4 2.4 倒格子倒格子 一、概念的引入一、概念的引入 晶体结构的周期性晶体结构的周期性,可以用可以用坐标空间坐标空间(r空间空间)的的布拉维格子来描述布拉维格子来描述,这是前几节我们所讨论的内这是前几节我们所讨论的内容容,也是我们易于理解的实物粒子的普遍描述也是我们易于理解的实物粒子的普遍描述.然而然而,量子力学的学习使我们认识到量子力学的学习使我们认识到,任何基任何基
2、本粒子都具有波粒二象性本粒子都具有波粒二象性.亦即具有一定能量和亦即具有一定能量和动量的微观粒子动量的微观粒子,同时也是具有一定的波长和频同时也是具有一定的波长和频率的波率的波,波也是物质存在的一种基本形式波也是物质存在的一种基本形式.波矢波矢k k可用来描述波的传播方向可用来描述波的传播方向.那么那么晶体晶体结构的周期性是否也可以用波矢结构的周期性是否也可以用波矢k k来描述呢来描述呢？如果可以如果可以,在波矢在波矢k k空间空间,k k应满足什么条件呢？应满足什么条件呢？布拉维格子具有平移对称性布拉维格子具有平移对称性,因而相应的只因而相应的只与位置有关的物理量与位置有关的物理量,由于布拉
3、维格点的等价性由于布拉维格点的等价性,均应是均应是布拉维格矢布拉维格矢R的周期函数的周期函数,如：如：格点密度、格点密度、质量密度、电子云密度、离子实产生的势场质量密度、电子云密度、离子实产生的势场等都等都是如此。是如此。不失一般性，上述函数可统一写为：不失一般性，上述函数可统一写为：()()nF rF rR布拉维格矢布拉维格矢 由于由于F(r)是布拉维格矢是布拉维格矢R的周期函数的周期函数,所以可以将所以可以将其展开成傅里叶级数：其展开成傅里叶级数：()()ig rgF rA g e 展开系数展开系数 1.1.周期函数的傅里叶展开周期函数的傅里叶展开 展开系数展开系数 1()()ig rA
4、gF r edr 原胞体积原胞体积 ()()nF rF rR因为：因为：1()()ig rnA gF rR edr 所以：所以：nrrR令令则则：nrrRdrdr()11()()()nnigrRig Rig rA gF r edrF r eedr 则则11()()()nnig Rig Rig rig rA gF r eedrF r edr e ()A g()()()10nnig Rig RA gA g eA ge()01nig RA gore()()0ig rgF rA g e 不合要求，应舍去不合要求，应舍去1nig Re所以所以 由于由于 与与 存在上述对应关系存在上述对应关系,可以描述布
5、可以描述布拉维格子拉维格子,自然自然 也可以描述同样的布拉维格子也可以描述同样的布拉维格子,且且 与第一章讨论自由电子的波函数中的波矢类与第一章讨论自由电子的波函数中的波矢类似似,因而因而,凡是波矢凡是波矢 和布拉维格矢满足和布拉维格矢满足 的波矢的波矢,一定也可以描述布拉维格子一定也可以描述布拉维格子.这就是这就是倒格倒格子子的由来的由来.1nig RenRgggnRg()()nF rF rR成立成立cos()12;intnng Rg Rmwheremiseger1nig Re也就是说也就是说,一定存在某些一定存在某些 使得当使得当 成立时成立时 g2.定义定义 对布拉维格子中所有格矢对布拉
6、维格子中所有格矢 ，满足，满足或或 (m为整数为整数)的全部的全部 端点的集端点的集合，构成该布拉维格子，称为正格子的合，构成该布拉维格子，称为正格子的倒格子倒格子(reciprocal lattice)nR1hniG Re2,hnGRmhG 与倒格子的定义对应，由格矢与倒格子的定义对应，由格矢 的端点所的端点所描述的布拉维格子，称为描述的布拉维格子，称为正格子正格子(direct lattice)nR 由由 端点的集合所描述的布拉维格子，称端点的集合所描述的布拉维格子，称为为倒格子倒格子(reciprocal lattice)hG 称为称为倒格矢倒格矢hG 利用利用倒格矢，倒格矢，满足满足
7、的傅里叶展开为的傅里叶展开为:()()nF rF rR1()()()hhhiGiGhrhrGA GF rA G eF r edr 意义：把意义：把上述上述满足满足坐标空间坐标空间中的中的某物理量某物理量转转变为变为倒格子倒格子空间空间,且且只存在波矢为倒格矢的分量只存在波矢为倒格矢的分量。二、二、倒格子是倒易空间的布拉维格子倒格子是倒易空间的布拉维格子将将1 12233nRn an an a代入代入2,hnGRm得得：1122332hhhnGan Gan Gam 欲使上式恒成立，且考虑到欲使上式恒成立，且考虑到n1,n2,n3为任为任意整数，则要求：意整数，则要求：1223132;2;2hhh
8、GaGahh Ghah1,h2,h3为整数为整数 对布拉维格子中所有格矢对布拉维格子中所有格矢 ，满足，满足或或 (m为整数为整数)的全部的全部 端点的集端点的集合，构成该布拉维格子，称为正格子的合，构成该布拉维格子，称为正格子的倒格子倒格子(reciprocal lattice).nR1hniG Re2,hnGRmhG 称为称为倒格矢倒格矢hG1 1223 3hGhbh bh b显然显然,如果令如果令 h1,h2,h3为整数为整数 当当 满足时，满足时，则下式自然成立：则下式自然成立：2;1,2,3;1,2,3ijijbaij 可知可知 亦应该不共面，从亦应该不共面，从而可以用而可以用 描述
9、倒格子。描述倒格子。2ijijba 由于由于 为基矢，互不共面，则由为基矢，互不共面，则由123,a a a 123,b b b 1 12 23 3hGhbh bh b1122332hhhnGan Gan Gam1223132;2;2hhhGaGahh Gha或：或：由于由于 为为倒格矢，如果把倒格倒格矢，如果把倒格矢所在的空间称为倒格子空间，或倒易空间矢所在的空间称为倒格子空间，或倒易空间(reciprocal space),则则由于由于 不共面，自然不共面，自然可以成为可以成为倒易空间的基矢。倒易空间的基矢。1 1223 3hGhbh bh b123,b b b 和和 对比对比,表明表明
10、对应的是倒易空间中的布拉维格子，亦即倒格对应的是倒易空间中的布拉维格子，亦即倒格子是倒易空间的布拉维格子。子是倒易空间的布拉维格子。1 12 23 3nRnanana1 12 23 3hGhbhbhb 从而从而 且且 也可作为以也可作为以 为基的某一布拉维格子的为基的某一布拉维格子的倒格子的定义。倒格子的定义。1 12 23 3hGhbhbhb2;1,2,3;1,2,3ijijb aij123,a a a 讨论：讨论：2;1,2,3;1,2,3ijijb aij由由可知：可知：垂直垂直,因此，因此，23,aa1b和和23aa1b与与平行平行1123()baa所以可令：所以可令：两边同时两边同时
11、点乘点乘 1a111 123()2abaaa112322()aaa2311232()()aabaa原胞的体积原胞的体积 1.123231312222baabaabaa其中其中 是正格基矢是正格基矢123,aaa123aaa是固体物理学原胞体积是固体物理学原胞体积同理可得同理可得23,b b 所以所以倒格子基矢与正格子基矢的关系倒格子基矢与正格子基矢的关系为：为：与与 所所联系的各点的列阵即为联系的各点的列阵即为倒格子倒格子。1 12 23 3hGhbhbhb123(,)h hh 为整数许多的固体书中把上述描述作为倒格子的定义许多的固体书中把上述描述作为倒格子的定义 a.a.晶格振动形成的晶格振
12、动形成的格波格波，x x射线被晶体衍射线被晶体衍射的射的电磁波电磁波以及电子在晶体中运动的以及电子在晶体中运动的几率波几率波等，等，它们的状态均用它们的状态均用波矢波矢来表征，来表征，其波矢取值应限制其波矢取值应限制在倒格子空间中的一个原胞内在倒格子空间中的一个原胞内，一般限制在，一般限制在简约简约布里渊区布里渊区中中(单值性的要求单值性的要求)2.与正格子空间的与正格子空间的平面波平面波 类似类似，可以，可以把把 看成看成倒空间的平面波倒空间的平面波，是倒空间的是倒空间的任一矢量任一矢量hiGrelig Reg()hllhlli g GRig RiGRig Reeee 所以，在所以，在倒空间
13、中，矢量倒空间中，矢量 与与 代表相同的波或相同的状态。代表相同的波或相同的状态。ghgG注：注：b.倒格子空间中的倒格子空间中的WS原胞原胞称为称为第一布里渊第一布里渊区区，也就是所谓的，也就是所谓的简约布里渊区简约布里渊区3.由正格子可以定义倒格子，反之亦可，因由正格子可以定义倒格子，反之亦可，因此，它们互为倒易格子。此，它们互为倒易格子。三、倒格矢与晶面三、倒格矢与晶面(倒格子与正格子的几何关系倒格子与正格子的几何关系)1.体积关系体积关系 *32(其中其中 和和*分别为正、倒格子原胞的体积分别为正、倒格子原胞的体积)除除 因子外，因子外，正格子原胞体积正格子原胞体积 和和倒格倒格子原胞
14、体积子原胞体积 互为倒数互为倒数3(2)*123bbb 32331122aaaaaa 311231213112a aa aa aa aa aa a CBABCACBA 利用利用 1a=0332233*1(222)aaa 2.倒格矢与晶面倒格矢与晶面 倒格矢倒格矢 和和正格子中正格子中晶面族晶面族(h1h2h3)正交正交且其且其倒格矢倒格矢长度为：长度为：1 12 23 3hGhbhbhb1232hh h hGd其中其中 是正格子是正格子晶晶面族面族(h h1 1h h2 2h h3 3)的面间距的面间距1 2 3h h hd首先我们证明首先我们证明 倒格矢倒格矢 和和正格子中正格子中晶面族晶面
15、族(h1h2h3)正交正交1 12 23 3hGhbhbhb设平面设平面ABC为为晶面族晶面族(h1h2h3)中中离原点最近的晶面离原点最近的晶面 ABC在基矢在基矢 上的截距分别上的截距分别为为 。123,a a a 312123,aaahhh由图可知：由图可知：3113CAOA OChhaa 3223CBOB OChhaa hGCA 311 1223 313()220aahbh bh bhhBCO2a1aAhG3ahGCB 321 1223 313()220aahbh bh bhh 所以所以倒格矢倒格矢 和和正格子中正格子中晶面族晶面族(h1h2h3)正交正交1 12 23 3hGhbhb
16、hb1 2 331212311111122hhhhhhh hhaaannnhhhGaGahhGh GGdGh1232hh h hGd接着我们再证明倒格矢接着我们再证明倒格矢长度为长度为 由于由于倒格矢倒格矢 与晶面族与晶面族(h1h2h3)正交正交.1 12 23 3hGhbhbhb因而，因而，晶面族晶面族(h1h2h3)的的法线方向法线方向为为hGBCO2a1aAhG3a则则法线方向的单位矢量法线方向的单位矢量为：为：hhGnG因而，面间距因而，面间距这个关系很重要这个关系很重要,后面分析后面分析XRD时要用时要用 1 2 32hh hhdG 表明表明,对任一倒格矢对任一倒格矢 以其在倒易空
17、间的坐标数以其在倒易空间的坐标数(h1，h2，h3)表征表征的正格子空间中的晶面族的正格子空间中的晶面族(h1h2h3)，一定以一定以 为法线方向，且面间距为为法线方向，且面间距为 1 12 23 3hGhbhbhbhG2/hG3b1b2b1a2a3a3.倒格子基矢的方向和长度倒格子基矢的方向和长度12323131222;2baabaabaa231122aabd222bd332bd一个倒格一个倒格子子基矢是和正格子原胞中一组晶基矢是和正格子原胞中一组晶面相对应的，它的面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，方向是该晶面的法线方向，它的它的大小则为该晶面族面间距倒数的大小则为该晶面族面间距倒数的
18、2 倍倍。3b1b2b1a2a3a设：设：1d23aa是是所在晶面族的面间距；所在晶面族的面间距；31aa2d是是所在晶面族的面间距；所在晶面族的面间距；12aa3d是是所在晶面族的面间距。所在晶面族的面间距。利用利用体积体积=底面积底面积*高高，则有：，则有：晶体结构晶体结构 正格子正格子 倒格子倒格子2.2.与晶体中与晶体中原子原子位置相对应位置相对应；2.2.与晶体中与晶体中一族一族晶面相对应晶面相对应；3.3.是与真实空间相联是与真实空间相联系的系的倒格子空间中点倒格子空间中点的周期性排列的周期性排列；3.3.是是真实空间中点真实空间中点的周期性排列的周期性排列；4.4.线度量纲为线度
19、量纲为 长长度度 4.4.线度量纲为线度量纲为 长长度度-1-11 12 23 31.nRnanana1 122331.hGhbh bh b已知晶体结构如何求其倒格子呢？已知晶体结构如何求其倒格子呢？晶体晶体结构结构正格正格子子正格子正格子基矢基矢倒格子倒格子基矢基矢倒格倒格子子123231312222baabaabaa2()20()ijijijb aij1 12233hGhbh bh b123,a a a 123,b b b aaaa1aai2aaj12aaiaaj例例1 1：下图是一个二维：下图是一个二维晶体结构图晶体结构图，试画出，试画出其其倒格点倒格点的排列。的排列。2()20()ij
20、ijijb aij111220abab212202abab1222biabjaa2a21 122hGhbh b倒格子是边长为的正方倒格子是边长为的正方形格子。形格子。a212aaiaaj2()20()ijijijb aij例例2 2：证明证明体心立方体心立方的倒格的倒格子子是是面心立方面心立方。解：解：体心立方的原胞基矢：体心立方的原胞基矢：123222aaijkaaijkaaijk312312a a aa 23222222ijkaaaaaaaa222222222222aaaaaaijkaaaaaa2222aajk123231312222baabaabaa倒格矢：倒格矢：同理得：同理得：体心立
21、方的倒格子是边长为体心立方的倒格子是边长为4/a的的面心立方面心立方 。23aa2222aajk312312aaaa 212322223abaajkjkaa232bija22bika32bija22bika12bjka与与p25fcc比较可知比较可知 例例3 3：证明简立方晶面：证明简立方晶面(h1h2h3)的面间距为的面间距为232221321hhhadhhh 证明：证明：1 2 32hh h hGd由由得：得：1 2 32h h hhdG 简立方：简立方：123,aai aaj aak12322baaia法一：法一：23122baaja31222baaka12 bia22 bja32 bk
22、a232221hhha 1 2 32h h hhdG2221232hGhhha1232h ih jh ka12 bia22 bja32 bka1 12233hGhbh bh b法二：法二：设设ABC为为晶面族晶面族(h1h2h3)中离原点最近中离原点最近的晶面，的晶面，ABC在基矢在基矢 上的截距分别为上的截距分别为 123,a a a 332211,hahaha则则112233andhandhandh111222333cos,cos,cos,aanh daanh daanh d对于立方晶系：对于立方晶系：aaaa 321123aaa且：且：222123cos,cos,cos,1a na na
23、 n 22223122221hhhdaaa232221321hhhadhhh 111222333cos,cos,cos,aanh daanh daanh d111222333cos,cos,cos,h danah danah dana根据根据任何矢量的方向余弦的平方和等于任何矢量的方向余弦的平方和等于1,即：即：四、四、倒格子的点群对称性倒格子的点群对称性1.同一晶格的正格子和倒格子有相同的点群对同一晶格的正格子和倒格子有相同的点群对称性称性 证明：证明：设设 为正格子的一个点群的任取对称操为正格子的一个点群的任取对称操作，亦即作，亦即 为正格矢时，为正格矢时，亦为正格矢亦为正格矢(点点群对称
24、操作不会改变原有格点之间的距离群对称操作不会改变原有格点之间的距离)。nRnR 按照群的定义按照群的定义,当当 为点群对称操作时为点群对称操作时,亦为同一点群的对称操作，则亦为同一点群的对称操作，则 亦为正格亦为正格矢。矢。11nR12()2hnhnGRmGRm 由点群对称操作不会改变原有格点之间的距由点群对称操作不会改变原有格点之间的距离可知：离可知：当当 和和 接受接受同一点群对称操作同一点群对称操作时，时，空间任意两点之间的距离不变。空间任意两点之间的距离不变。hG1nR11()2 hnhnGRGRm11()hnhnhnGRGRGR12(2)hhnnGRmRGm 所以，对点群中任一所以，
25、对点群中任一 而言，而言，亦为倒亦为倒格矢，亦即，对应正格子的群中的任一操作格矢，亦即，对应正格子的群中的任一操作 相应的也是倒格子的对称操作。因而相应的也是倒格子的对称操作。因而同一晶格同一晶格的正格子和倒格子有相同的点群对称性的正格子和倒格子有相同的点群对称性。hG2.倒格子空间中的倒格子空间中的WS原胞，原胞，亦即亦即第一布里渊第一布里渊区区，也就是所谓的，也就是所谓的简约布里渊区，具有晶格点简约布里渊区，具有晶格点群的全部对称性。群的全部对称性。主要因为主要因为WS原胞本身就是对称化原胞之故原胞本身就是对称化原胞之故所以，所以，第一布里渊区第一布里渊区具有特别重要的具有特别重要的意义意义
