1、第一章 特殊平行四边形1.1 菱形的性质与判定下面几幅图片中都含有一些平行四边形。观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？与下图相比较，这些平行四边形特殊在哪里？这些平行四边形的邻边相等。这些平行四边形的邻边相等。像这样的平行四像这样的平行四边形叫做菱形。边形叫做菱形。有一组邻边相等的平行四边形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。叫做菱形。图片中有你熟悉的图形吗？你能举出一些生活中菱形的例子吗？与同伴交流。你能举出一些生活中菱形的例子吗？与同伴交流。（1）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分
2、。中心对称图形。（2）你认为菱形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。想一想（1 1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？称轴？对称轴之间有什么位置关系？做一做做一做 用菱形纸片折一折，回答下列问题：菱形是轴对称图形，有菱形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线，条对角线所在的直线，两条对称轴互相垂直。两条对称轴互相垂直。菱形的四条边相等。菱形的四条边相等。菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形领条对角线所在的直线。两条对称轴互相垂直。菱形的邻边相等，对边相等，四条边都相等。通过上面的折纸
3、活动，我们可以发现菱形的四条边相等，对角线互相垂直。下面我们证明这些结论。（2）菱形中有哪些相等的线段？已知：如图，在菱形已知：如图，在菱形ABCDABCD中，中，AB=AD,AB=AD,对角线对角线ACAC与与BDBD相相交于点交于点O.O.求证：（求证：（1 1）AB=BC=CD=ADAB=BC=CD=AD；（2 2）ACBD.ACBD.证明：证明：（1 1）四边形四边形ABCDABCD是菱形，是菱形，AB=CDAB=CD，AD=BCAD=BC（菱形的对边相等）（菱形的对边相等）又又AB=ADAB=AD AB=BC=CD=AD AB=BC=CD=AD（2 2）AB=ADAB=ADABDAB
4、D是等腰三角形是等腰三角形又又四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形OB=ODOB=OD（菱形的对角线互相平分）（菱形的对角线互相平分）在等腰三角形在等腰三角形ABDABD中，中，OB=ODOB=ODAOBDAOBD即即ACBDACBD定理 菱形的四条边都相等。定理 菱形的两条对角线互相垂直。菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质：例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BAD=60，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长。随堂练习 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O.已知AB=5cm，AO=4cm，求 B
5、D的长.已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.求:(1).对角线AC的长度;(2).菱形ABCD的面积.菱形性质的应用解解:(1):(1)四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形,=2=2ABDABD的面积的面积11105 cm.22DEBDAED=900,AED=900,(2)(2)菱形菱形ABCDABCD的面积的面积=ABDABD的面积的面积+CBDCBD的面积的面积222213512 cm.AEADDEAC=2AE=2AC=2AE=212=24(cm).12=24(cm).AEBD212.12012102122cm菱形的面积等于两条菱形的面积等于两条
6、对角线乘积的一半对角线乘积的一半已知，如图，在菱形ABCD中，BAD=2B.求证：ABC是等边三角形。如图，在菱形ABCD中，BD=6，AC=8，求菱形的周长。已知，如图，在菱形已知，如图，在菱形ABCD中，对角线中，对角线AC与与BD相相交于点交于点O。求证：。求证：AC平分平分BAD和和BCD,BD平平分分ABC和和ADC.通过本题你又能得到通过本题你又能得到菱形有什么性质？菱形有什么性质？菱形的每条对角线平分一组对角。菱形的每条对角线平分一组对角。如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,图中有多少个等腰三角形和直角三角形？已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCD是菱形，是
7、菱形，F是是AB上一上一点，点，DF交交AC于于E,连接连接BE.求证：求证：AFD=CBE.菱形的判别方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形.四条边都相等的四边形是菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.对角线互相垂直平分的四边形是菱形.想一想怎样判别一个四边形(平行四边形)是菱形?w定理:四条边都相等的四边形是菱形.菱形的判定已知:如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.求证:四边形ABCD是菱形.CBDAw分析:利用菱形定义和两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可使问题得证.证明:AB=BC=CD=DA,AB=CD,BC=DA.四边形ABCD是平行四边形AB=AD,四边形ABC
8、D是菱形。w定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.已知:如图,在ABCD中,对角线ACBD.求证:四边形ABCD是菱形.DBCAOw证明:w四边形ABCD是平行四边形.wAO=CO.wACBD,w DA=DC.(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)w四边形ABCD是菱形.w分析:要证明ABCD是菱形,就要证明有一组邻边相等即可.课堂小结w 1、定理:菱形的四条边都相等.四边形ABCD是菱形,AB=BC=CD=AD.CBDAw 2、定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.wAC,BD是菱形ABCD的两条对角线.ACBD,AC平分BAD和BCD,BD平分ADC和ABC
9、.DBCAOw定理:四条边都相等的四边形是菱形.定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.在四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD,四边形ABCD是菱形.AC,BD是ABCD的两条对角线,ACBD.四边形ABCD是菱形.CBDADBCAO第一章 特殊平行四边形1.2 矩形的性质与判定 学 习 目 标1、能用综合法证明矩形的性质定理、判定定理以及相关结论；2、能用矩形的性质进行简单的证明与计算请从边、角、对角线三个方面说一说平行四边形有哪些性质？边：对边平行且相等；角：对角相等；对角线：对角线互相平分 新 课 导 入ABCDABCD一 个 角 变 形 成 直 角 分析：（分析：（1 1）矩形的形
10、成过程是平行四边形的一个角由）矩形的形成过程是平行四边形的一个角由量变到质变的变化过程量变到质变的变化过程（2 2）矩形只比平行四边形多一个条件：）矩形只比平行四边形多一个条件：“一个角是直一个角是直角角”，不能用，不能用“四个角都是直角的平行四边形是矩形四个角都是直角的平行四边形是矩形”来定义矩形来定义矩形定义：定义：有一个角是直角的平行四边形是有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形 知 识 讲 解矩形与平行四边形之间的关系矩形与平行四边形之间的关系平行四边形平行四边形矩形矩形（3 3）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质（共性），还具有它自
11、己特殊的性质的一切性质（共性），还具有它自己特殊的性质（个性）（个性）（4 4）从边、角、对角线方面，观察或度量猜想矩）从边、角、对角线方面，观察或度量猜想矩形的特殊性质形的特殊性质边：对边平行且相等（与平行四边形相同），邻边：对边平行且相等（与平行四边形相同），邻边互相垂直；边互相垂直；角：四个角是直角（性质角：四个角是直角（性质1 1）；）；对角线：相等且互相平分对角线：相等且互相平分ABCDO定理定理:矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直角.已知已知:如图如图,四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形.分析分析:由矩形的定义由矩形的定义,利用对角相等利用对角相等,邻角互补可使问题得证邻
12、角互补可使问题得证.证明证明:四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形.A=90A=90,四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.C=A=90C=A=90,B=180B=180-A=90-A=90,D=180D=180-A=90-A=90.求证求证:A=B=C=D=90:A=B=C=D=90.四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形.DBCA定理:矩形的两条对角线相等.已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.求证:AC=BD.证明:四边形ABCD是矩形.AB=DC,ABC=DCB=90.分析:根据矩形的性质,可转化为全等三角形(SAS)来证明.D DB BC CA AB
13、C=CB.ABCDCB(SAS).AC=DB.ABCDO推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半练一练：如图，在矩形ABCD中：问：在RtABC中，斜边AC上的中线是OB，它与斜边的关系是OB=AC问：是不是所有的三角形都有这样的性质?关键是是不是任何一个三角形都可以放进一个矩形里?【例1】已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O,AOD=120,AB=2.5cm.求矩形对角线的长.解析:四边形ABCD是矩形.DBCAO你认为例1还可以怎么去解？定理:有三个角是直角的四边形是矩形.已知:如图,在四边形ABCD中,A=B=C=90.分析:利用同旁内角互补,两直线平
14、行来证明四边形是平行四边形,可使问题得证.证明:A=B=C=90.A+B=180,B+C=180.ADBC,ABCD.求证:四边形ABCD是矩形.四边形ABCD是平行四边形.DBCA四边形ABCD是矩形.结论定理:对角线相等的平行四边形是矩形.已知:如图,在ABCD中,对角线AC=BD.求证:平行四边形ABCD是矩形.DBCA分析:要证明ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.证明:AB=CD,ABCD.AC=DB,BC=CB.ABCDCB.ABC=DCB.四边形ABCD是平行四边形.ABC+DCB=180.ABC=90.四边形ABCD是矩形.下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？（1）
15、对角线相等的四边形是矩形；（）（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（）（3）有四个角是直角的四边形是矩形；（）（4）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（）跟踪训练定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.求证:ABC是直角三角形.已知:CD是ABC边AB上的中线,且EABCD分析:要证明ABC是直角三角形,可以将点A,B,C构造平行四边形,然后证明其对角线相等,即可证明是矩形.证明:延长CD到E,使DE=DC,连接AE,BE.四边形ACBE是平行四边形.AB=2CD,CE=2CD.AC=DB.四边形ACBE是矩形.AD=BD,CD=ED.ACB
16、=90.ABC是直角三角形.1如图所示，已知ABCD，下列条件：AC=BD，AB=AD，1=2，ABBC中，能说明ABCD是矩形的有（填写序号）.解析：根据对角线相等的平行四边形是矩形；矩形的定义.答案：随随 堂堂 练练 习习2如图，在ABC中，ABAC8，AD是底边上的高，E为AC的中点，则DE解析：根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，DE等于AC的一半，所以DE=4.答案：43如图，在等边ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边ADE（1）求CAE的度数；（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形解析：（1）在等边ABC中，点D是BC边的中点，DAC3
17、0，又等边ADE，DAE60，CAE30.（2）在等边ABC中，F是AB边的中点，D是BC边的中点，CFAD，CFA90，又ADAE，AECF，由（1）知CAE30，EAF60+3090，CFAEAF，CFAE，AECF，四边形AFCE是平行四边形，又CFA90，四边形AFCE是矩形4已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M、N 分别为BC、AD的中点求证：四边形BMDN是矩形证明：在正三角形ABD和BCD中，M、N 分别为BC、AD的中点.BNAD，DMBC，DBC=60，BND=DMB=90，NBD=30.NBM=90.四边形BMDN是矩形.通过本课时的学习
18、，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：1 1、矩形的性质：、矩形的性质：（1 1）矩形的四个角都是直角；）矩形的四个角都是直角；（2 2）矩形的对角线相等；）矩形的对角线相等；（3 3）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.2 2、矩形的判定定理：、矩形的判定定理：（1 1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2 2）对角线相等的平行四边形是矩形；）对角线相等的平行四边形是矩形；（3 3）有三个角是直角的四边形是矩形）有三个角是直角的四边形是矩形.3 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边上
19、的一半、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半.本本 课课 小小 结结第一章 特殊平行四边形1.3 正方形的性质与判定由正方形的定义可知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.定义正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形正方形的性质=菱形的性质+矩形的性质.定理定理:正方形的两条对角线相等正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平并且互相垂直平分分,每条对角线平分一组对角每条对角线平分一组对角.求证求证:(1)AC=BD,ACBD,AO=CO,BO=DO;:(1)AC=BD,ACBD,AO=CO,BO=DO;(
20、2)AC(2)AC平分平分BADBAD和和BCD,BCD,BDBD平分平分ADCADC和和ABC.ABC.已知已知:四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形,AC,BD,AC,BD是它的两条对是它的两条对角线角线.ABCDO分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.证明:四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形.AO=CO,BO=DO;AC=BD,;四边形ABCD是正方形,ACBD;AC平分BAD和BCD,BD平分ADC和ABC.定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.求证:(1)A=B=C=D=90.(2)AB=BC=CD=DA.分析:因为正方形具有矩形和菱形的所
21、有性质,所以结论易证.ABCD已知:四边形ABCD是正方形.证明:四边形ABCD是矩形,也是菱形.A=B=C=D=90,AB=BC=CD=DA.四边形ABCD是正方形,对角线相等的菱形是正方形.有一个角是直角的菱形是正方形.对角线互相垂直的矩形是正方形.正方形的判定方法：2.在正方形ABCD的外侧作等边ADE，则AEB的度数为（）1.在ABCD中，AC平分DAB，AB=3，则ABCD的周长为（）随 堂 练 习A6 B9 C12 D15ABCD【解析】选C.可证明ABCD是菱形A10 B12.5 C15 D20C3.如图所示，在菱形ABCD中，两条对角线AC6，BD8，则此菱形的边长为（）A5
22、B6 C8 D10ABCD【解析】选A.根据菱形的对角线互相垂直平分和勾股定理得菱形的边长为5.4若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线长的平方和为（）A16 B8 C4 D1A5.5.如图，已知正方形如图，已知正方形ABCDABCD，以，以ABAB为边向正方形外作等边为边向正方形外作等边三角形三角形ABEABE，连结，连结DEDE，CECE，则，则DECDEC=_.=_.EBCDA【解析】ABE为等边三角形BAE=60，DAE=150，ABE为等腰三角形，AED=15同理BEC=15所以DEC=30答案：306.6.如图，在如图，在ABCABC中，中，D D是是BCBC边的中点，边的中点
23、，E E、F F分别在分别在ADAD及其延长线上，及其延长线上，CEBFCEBF，连接，连接BEBE、CFCF(1)(1)求证：求证：BDFBDFCDECDE；(2)(2)若若AB=ACAB=AC，求证：四边形，求证：四边形BFCEBFCE是菱形是菱形【证明】（1）D是BC的中点，BD=CD.CEBF，DBF=DCE.又BDF=CDE，BDFCDE.（2）CDEBDF，DE=DF.BD=CD，四边形BFCE是平行四边形.在ABC中，AB=AC，BD=CD，ADBC，即EFBC.四边形BFCE是菱形.本 课 小 结2、正方形常用的判定方法：(1)对角线相等的菱形是正方形.(2)有一个角是直角的菱形是正方形.(3)对角线互相垂直的矩形是正方形.1、正方形的性质：(4)有一组邻边相等的矩形是正方形.菱形的性质+矩形的性质
