1、1一、逆矩阵的概念一、逆矩阵的概念二、方阵可逆的判别定理二、方阵可逆的判别定理第六节矩阵逆及其求法 第二章 三、逆矩阵的基本性质三、逆矩阵的基本性质四、用矩阵的初等变换求逆矩阵四、用矩阵的初等变换求逆矩阵2设设11)()()(mininmijbBxXaA n 元线性方程组元线性方程组 122112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaBAX 线性方程组的矩阵表示法线性方程组的矩阵表示法nmmnmmnnaaaaaaaaa212222111211nxxx21mbbb21（2）3BAX 则求（则求（1）的解的问题归结为求）的解的问题归结为求(2)
2、的解矢量问题，的解矢量问题，而后者即求而后者即求中未知矩阵中未知矩阵X的问题。的问题。这需要用到这需要用到逆矩阵的问题。逆矩阵的问题。代数方程代数方程bxa的解的解bax1问问矩阵方程矩阵方程BAX 的解是否为的解是否为BAX1?若可以，那么若可以，那么1A的含义是什么呢？的含义是什么呢？4定义定义1 设设 A 为为 n 阶阶方阵方阵，如有，如有 n 阶方阵阶方阵 B，使，使AB=BA=E.则称则称 A 为可逆阵，为可逆阵，B 为为 A 的逆阵，记作的逆阵，记作 1.BA 又称可逆阵为非奇异阵，不可逆阵为奇异阵又称可逆阵为非奇异阵，不可逆阵为奇异阵.例例,21212121,1111 BA设设因
3、为因为 AB=BA=E.所以所以 B 是是 A 的一个逆矩阵。的一个逆矩阵。一、逆矩阵的概念一、逆矩阵的概念5设设 B 和和 C 都是都是 A 的逆矩阵，则由定义的逆矩阵，则由定义有有 AB=BA=E，AC=CA=E，B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.所以逆矩阵唯一所以逆矩阵唯一.单位矩阵的逆为其本身。单位矩阵的逆为其本身。对角矩阵的逆为（如果它可逆的话）对角矩阵的逆为（如果它可逆的话）1111122100.00nn 611(1)();AA 111(2)()(0);kAAkk 11(4)()().TTAA(3)A、B 均是同阶可逆阵，则均是同阶可逆阵，则 111();ABB A(3)
4、(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E.(4)AT(A-1)T=(A-1A)T=(E)T=E,只证只证(3)和和(4).7111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 1121112222*12nnnnnnAAAAAAAAAA 8例例 2.16求二阶方阵求二阶方阵11122122aaAaa 的伴随矩阵的伴随矩阵.解解2112,Aa 1122,Aa 2211,Aa 1221,Aa 所以所以*A11122122aaaa9.EAAAAA 定理定理2.1证明：证明：111111*11nnnnnnnnaaAAAAaaAA 1111111111111111.n
5、nnnnnnnnnnnnnnna Aa Aa Aa Aa Aa Aa Aa A 由第一章行列式展开定理及其推论知由第一章行列式展开定理及其推论知*0.0AAAAA EA类似有类似有.A AA E 100.A 0A 1*1.AAA u定理定理2.2矩阵矩阵 A 可逆充分必要条件是可逆充分必要条件是且当且当时，时，证明证明：必要性必要性 设设 A 可逆，可逆，1,AAE 于是有于是有两边取行列式有，两边取行列式有，110,A AE 0.A 因此因此充分性充分性 0,A 设设由定理由定理 2.1 知知.EAAAAA 故有故有*11()().AAA AEAA 11由逆矩阵定义知，由逆矩阵定义知，A 可
6、逆，且其逆为可逆，且其逆为1*1.AAA 定理定理 2.2 不仅给出了判断矩阵可逆的方法，不仅给出了判断矩阵可逆的方法，还给出了求解逆矩阵的一种方法还给出了求解逆矩阵的一种方法.0AA A可逆可逆A A是非奇异矩阵是非奇异矩阵A A是满秩矩阵是满秩矩阵12逆矩阵的求法一：伴随矩阵法逆矩阵的求法一：伴随矩阵法例例 2.15 设设12,34A 判断判断 A 是否可逆，如果可逆，求出其逆矩阵是否可逆，如果可逆，求出其逆矩阵.解解因为因为124620,34A 故故 A 可逆，可逆，且且1*1AAA 421231 21.3122 13推论推论 若方阵若方阵 A、B 有有 AB=E，则，则 A、B 均可逆
7、均可逆.证明证明1,ABA BE因为因为故故0,0,AB于是于是 A、B 均可逆均可逆.14例例 2.17 求解线性方程组求解线性方程组123123123232,221,3434.xxxxxxxxx 解解方法一方法一(Cramer 法则法则)由于由于31222216,344D 1232212,343D 122312118,443D 212321120,343D 于是有于是有1239,10,3.xxx 15方法二方法二(逆阵法逆阵法)因为方程可写成矩阵形式因为方程可写成矩阵形式 Ax=b，其中，其中1231232221,1,.3434xAbxxx 由于由于20,A 故故 A 可逆，可逆，因此因此
8、1,xA b 其中其中11212,43A 12213,33A 13222,34A 21236,43A 1633122,22A 22136,33A 23122,34A 31234,21A 32135,21A 于是于是126411365,2222AAA 26421365122224x 910.3 17利用方阵的逆矩阵及矩阵的乘法给出了求解变量利用方阵的逆矩阵及矩阵的乘法给出了求解变量个数等于方程个数的一种方法个数等于方程个数的一种方法(第一章给出了行列式第一章给出了行列式法法)，但对于，但对于 n 较大时，两种方法都不适用较大时，两种方法都不适用.我们将我们将在余下的章节讨论第三种方法在余下的章节
9、讨论第三种方法.18例例 2.18211264,213AABAB设设求求 A+B.解解由于由于 AB=A+B，于是，于是(A E)B=A,又又11125420,212AE于是于是1().BAEA 而而611()402.813A E 19611()402.813AE 所以所以161111()()402,22813AEAE 61121114022642813213B 8111422.2815 故故11622473.311222AB 20例例 2.19 设设 A 为为 3 阶矩阵，且阶矩阵，且3,A 113.3AA 求求解解 由于由于,AAA E 1,AA A 故故于是于是111113333AAAA
10、 A312A 113AA12A 312 A 8.3 21nAPAPP，求，设20014121解：解：1PPA111111nnAP P P P P PP P P PPP1124211Pnn200111242120014121nnA1222122211nnnn例例622二、逆矩阵求解方法二二、逆矩阵求解方法二初等变换法初等变换法初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，为了初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，为了充分发挥其作用，充分发挥其作用，有必要对它进一步探讨。有必要对它进一步探讨。定理定理3 A可逆可逆AE 行21mPP PAE1121mPP PEAEA 行1()()A EE A 行方法方法：求求
11、 1A23例例7 求下列矩阵的逆矩求下列矩阵的逆矩阵阵523012101.1A解解：101100()210010325001A E1038200122100011011271200012210001101241271200012210001101121611271000122100011011216112710061326501000110112728101251211A121611271006132650101216112500125134100()220010347001B E解解 21035500128800014311B不存在。26设设A、B为为n 阶方阵，且阶方阵，且A可逆，则可逆，
12、则（A|B）(E|A-1B)行初等变换定理定理3 327例例8 求解下列矩阵方程 19405020541011100010001502431211X 5026138030ABAX1308112()316134205205A B解解)(1BAE28 设 312411210A，111B，BAXA21，例例10 求 X。解解 BAXA21，BAAAXA21，BAEAXA 21，1A，)(211BAAXBAXA21，100010001312411210EA*11AAA123100245010257001292232532330327X312411210BA，1232452571A，)(211BAAX3
13、0例例1212 已知已知AA 2求1)2(EA1)(EA解解EEAA222EEAEA2)(2()2(21)(1EAEA)(21)2(1EAEA31113)()2(09EAEAEA及，求设，EEA83EEAAEA)42)(2(22，EEA83EEAAEA)(81)(2例例131322142)2(EAEAEA)(81)(21EAAEA32例例14若若023EAA，判别判别A可逆，可逆，及及)2(EA并求其逆并求其逆。解解,2)(2EEAAAA可逆可逆且且)(2121AEA08)2(3)2(2)2(2EEAEAAEAAEEA8)2(可逆，)2(EA且)32(81)2(21EAAEA(1)22 EA,
14、E(2)32(2EAAEEA)2()32(812EAA331DDBCA022211211XXXXnmEE00=nEBXCX2212111 AX，012X，1121CABX122 BX111110BCABAD则则 02111BXCXmE11AX012AX设A,B分别是m阶,n阶可逆矩阵，BCAD0，求BABCAD0解解0D，D可逆，设可逆，设222112111XXXXD1D。例例1534),(21sAAAdiagA，设关于分块对角矩阵有下列运算性质：关于分块对角矩阵有下列运算性质：4、秩（A）=si 1)(iA秩5、iA可逆时，可逆时，则则A可逆，且可逆，且111121sAAAA35定理定理4 4：方阵方阵A A可逆的充分必要条件是它能表示可逆的充分必要条件是它能表示 成一些初等矩阵的乘积：成一些初等矩阵的乘积：12sAp pp定理定理5 设设A，B是是nm矩阵，矩阵，则以下三个条件等价则以下三个条件等价（1）A与与B等价；等价；)()()2(BRAR(3)存在存在 m阶可逆矩阵阶可逆矩阵P与与n阶可逆矩阵阶可逆矩阵Q，使，使PAQB 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。36作业作业P129 1 2 1，2，3 1，3 4
