1、离散时间信号与系统分析学习要点：学习要点：1.1.掌握离散时间信号与离散系统差分方程的特征；掌握离散时间信号与离散系统差分方程的特征；2.2.差分方程的时域求解，离散卷和的计算；差分方程的时域求解，离散卷和的计算；3.3.常见离散信号的常见离散信号的z z变换及用变换及用z z变换分析计算差分方程和离变换分析计算差分方程和离散系统，包括系统的稳定性分析和离散系统的模拟；散系统，包括系统的稳定性分析和离散系统的模拟；4.4.了解离散信号和系统的频率特性和离散傅里叶变换了解离散信号和系统的频率特性和离散傅里叶变换(DFT)(DFT)概念；概念；5.5.了解几种常用的数字滤波器的原理。了解几种常用的
2、数字滤波器的原理。1 离散时间信号离散时间信号1.离散时间信号的定义 仅对离散时间有定义的信号被称为离散时仅对离散时间有定义的信号被称为离散时间信号。间信号。一般，离散时间信号仅对等间隔采样的时间（tnT,T为采样周期，n为整数）有定义。日产量统计报表，股票变化曲线，气温测量曲线，电影电视信号，等，都是离散信号的典型实例。一类离散时间信号是物物理实现理实现的，另一类离散信号是数学上的数学上的。1 离散时间信号离散时间信号1.离散时间信号的定义 典型的例子有：通过对连续时间信号的等通过对连续时间信号的等间隔采样得到的样本集合间隔采样得到的样本集合，即 对周期连续信号用具有谐波频率的复正弦正交函数
3、族进行正交采样后得到的傅氏级数展开式系数集合 ，和在数值计算中大量遇到的离散信号。t nTf nf tnn ZF 1 离散时间信号离散时间信号2.典型离散时间信号（1）单位采样信号（Unit Sample）)0(0)0(1nnn 1 离散时间信号离散时间信号2.典型离散时间信号（2）单位阶跃序列（Unit Step）1(0)0(0)nu nn 1 离散时间信号离散时间信号2.典型离散时间信号 单位阶跃序列是单位采样序列的累计和单位阶跃序列是单位采样序列的累计和 单位采样序列是单位阶跃序列的后向差分单位采样序列是单位阶跃序列的后向差分 01mnu nu nu nnm 1 离散时间信号离散时间信号
4、2.典型离散时间信号（3）因果指数序列 nf na u n 1 离散时间信号离散时间信号2.典型离散时间信号（4）因果矩形窗函数 1(01)0()1NnNGnu nu nNu n u Nn 其它 1 离散时间信号离散时间信号2.典型离散时间信号（5）正弦序列当数字频率 为有理数有理数时，正弦序列才是周期序列正弦序列才是周期序列 0sinf nn20 1 离散时间信号离散时间信号3.离散时间信号的典型运算（1）相加 两个序列相加，是指两序列同序号的序列值逐项对应相加，其和为一新序列。例如，设 则 （2）相乘 两个序列相乘，是指两序列同序号的序列值逐项对应相乘，其和为一新序列。例如，设 则 nnu
5、nf1 nunf2 nunnunnunfnfnf121 nnf1 nunf2 nnunfnfnf21 1 离散时间信号离散时间信号3.离散时间信号的典型运算（3）移位（移序，Shift）序列 的移位，是指该序列沿n轴逐项依次移位，使其波形整体平移。其中，移位值m一定为整数。nf1(1)0NmnmNGnm否则 2 离散时间系统离散时间系统1.差分方程n离散时间系统，简称离散系统，是输入信号和输是输入信号和输出信号都是离散时间信号的系统出信号都是离散时间信号的系统。数字计算机就是一个典型的离散系统，数据控制系统和数字通信系统的核心部件也都是离散系统。由于离散系统能充分发挥数字器件和计算机的作用，所
6、以，离散系统的应用越来越广泛。n连续系统用微分方程描述，离散系统则以差分方连续系统用微分方程描述，离散系统则以差分方程描述。程描述。2 离散时间系统离散时间系统1.差分方程（1）用差分方程近似微分方程 例5-1求近似描述图示RC低通网络的离散系统。描述此系统的数学模型是一阶微分方程：tututRCusCC 2 离散时间系统离散时间系统1.差分方程（1）用差分方程近似微分方程 例5-1求近似描述图示RC低通网络的离散系统。若用等间隔T对 采样，其在 各点的采样值为 。由微分的定义知，当当T T足够小时，微分足够小时，微分可用前向差分近似可用前向差分近似 把输入 也作等间隔采样，得其在 各点的采样
7、值 tuCnTuCnTt TnTuTnunTuCCC1 tusnTt nTus 2 离散时间系统离散时间系统1.差分方程（1）用差分方程近似微分方程 例5-1求近似描述图示RC低通网络的离散系统。一阶常系数线性差分方程 1111,1,1,CCsCCCsCCsRCutututunTunTRCunTunTTTunaunbunabRCRC 2 离散时间系统离散时间系统1.差分方程（1）用差分方程近似微分方程 当采样间隔足够小时，任何微分方程都可用其相当采样间隔足够小时，任何微分方程都可用其相应的差分方程近似。应的差分方程近似。事实上这是数值计算理论数值计算理论的基础，数字计算机就用此原理求解微分方程
8、。2 离散时间系统离散时间系统1.差分方程（2）用差分方程描述的离散系统例5-2 求描述图示电阻解码网络的离散系统。对于任一节点n-1，利用KCL有 二阶常系数差分方程，借助两个边界条件两个边界条件，可求方程解 RnvnvRnvnvRnv1211 0213nvnvnv 0,0v NvE 2 离散时间系统离散时间系统1.差分方程（2）用差分方程描述的离散系统n一般，若一个离散系统的数学模型是常系数线性常系数线性差分方程差分方程，则它是一个线性时不变离散系统线性时不变离散系统。n差分方程的阶数等于未知序列（响应序列）的最阶数等于未知序列（响应序列）的最高序号与最低序号之差高序号与最低序号之差。n输
9、入为 、输出为 的N阶线性时不变离散系统可一般地用下述N阶常系数线性差分方程描述：nf nyknfbinyaMkkNii00 2 离散时间系统离散时间系统1.差分方程（2）用差分方程描述的离散系统 其中，规定 ，使得 这称为自回归动平均ARMA(Auto-Recursive and Moving Average)过程。它的最重要性质是线性、时不变性和因果性线性、时不变性和因果性。10a 和现在和过去输入的加权过去输出的加权和MkkNiiknfbinyany11knfbinyaMkkNii00 2 离散时间系统离散时间系统1.差分方程（3）离散时间系统的线性、时不变性和因果性线性性线性性：若设离
10、散系统的输入输出关系为有时不变性时不变性：对于任意整数 及输入 ，有离散系统的时不变性又称位移不变性位移不变性。因果性因果性：系统输出与将来的输入无关系统输出与将来的输入无关。nynf nyanyanfanfa22112211m nfmnymnf 2 离散时间系统离散时间系统1.差分方程（3）离散时间系统的线性、时不变性和因果性 上面的差分方程描述的N阶离散系统是个因果的因果的LTILTI离散系统离散系统 knfbinyaMkkNii00 2 离散时间系统离散时间系统2.LTI离散系统的响应 离散系统的全响应为零输入响应和零状态响应之和离散系统的全响应为零输入响应和零状态响应之和（1）零输入响
11、应的求解例5-3 求式 所示离散系统在初始电压为 时的零输入解。RCbRCanbunaunusCC1,11,1 0Cu 110,0CCsCCnCC ziunaunbununaununa un 2 离散时间系统离散时间系统2.LTI离散系统的响应 离散系统的全响应为零输入响应和零状态响应之和离散系统的全响应为零输入响应和零状态响应之和（1）零输入响应的求解例5-4 求离散系统的解解：0213nvnvnv 0,0v NvE 21121122122231035,2001,01nnnnziN nnNv nvnKKKKv NvEv nEnN 特征方程：特征根：带入边界条件和，有：2 离散时间系统离散时间
12、系统2.LTI离散系统的响应 离散系统的全响应为零输入响应和零状态响应之和离散系统的全响应为零输入响应和零状态响应之和（2）零状态响应的求解a.离散时间信号的分解 1,0,0,knknknkf nnkf knknkf nf knk 2 离散时间系统离散时间系统2.LTI离散系统的响应 离散系统的全响应为零输入响应和零状态响应之和离散系统的全响应为零输入响应和零状态响应之和（2）零状态响应的求解b.系统零状态响应的卷和表示 定义：LTI离散系统对单位采样序列 的零状态响应 是系统的单位采样响应单位采样响应（也称冲激响应），即 ，则由系统零状态响应的线性时不变性线性时不变性和式 知，系统对输入的零
13、状态响应为 n nh nhn kknkfnf zskynf k h nkf nh n 2 离散时间系统离散时间系统2.LTI离散系统的响应c.系统单位采样响应的计算例5-5 求式 所示离散系统单位采样响应。RCbRCanbunaunusCC1,11,1 21101011000100012110110CCCCCCCCCnnCCuunaunbnuaubabuaubabbuauba bbabunaunbna abbab系统处于零状态：2 离散时间系统离散时间系统2.LTI离散系统的响应d.系统零状态响应的计算卷和的计算卷和计算有解析法、图解法和变换法解析法、图解法和变换法 解析法：最适用于两个因果序
14、列的卷和计算。最适用于两个因果序列的卷和计算。因为两个因果序列的卷和仍为因果序列两个因果序列的卷和仍为因果序列，并且求和运算的上下限分别为上下限分别为0 0和和n n。n0m2121mnfmfnununfnunf 2 离散时间系统离散时间系统2.LTI离散系统的响应d.系统零状态响应的计算卷和的计算例5-6 计算 nunun2n1 21n221211n21n1n0mm121n2n0mmn2m1n2n1,nu1n,nununununu 2 离散时间系统离散时间系统2.LTI离散系统的响应d.系统零状态响应的计算卷和的计算卷和计算有解析法、图解法和变换法解析法、图解法和变换法图解法：图解法主要包括
15、翻转、平移和乘加翻转、平移和乘加等运算，它尤其适合于至少有一个序列为有限长序列的卷适合于至少有一个序列为有限长序列的卷和计算和计算。例5-7 计算 ，其中 x nh n ,nNx nGnh na u n卷和图解法卷和图解法计算过程计算过程 2 离散时间系统离散时间系统2.LTI离散系统的响应d.系统零状态响应的计算卷和的计算卷和计算有解析法、图解法和变换法解析法、图解法和变换法 对位乘加法：当两个序列都是有限长序列时都是有限长序列时，可使用“对位乘加法”计算卷和。此方法实际上是用对位排列运算巧妙地取代翻转平移运算。该方法首先把两序列的样本值右端对齐地排两序列的样本值右端对齐地排列，然后把逐个样
16、本值对应相乘但不要进位把逐个样本值对应相乘但不要进位，最后把同一列上的乘积值对位求和同一列上的乘积值对位求和，就得到所需卷和。2 离散时间系统离散时间系统2.LTI离散系统的响应例 5-8 计算 ，其中 nxnx21 12214233152x nnnnnxnnnn 521122356:nxnx312361412520510513:nx1412:nx2121 1265123212321455x nxnnnnnnn 3 z变换变换1.z变换定义采样信号及其双边拉氏变换为 1,12nsTssnnsTnnnCftf nTtnTFsf nT ezef nf nTF zf n zf nF zf nF z
17、zdzj 采样信号及其双边拉氏变换为：使得复变量替换：并用替换后有：3 z变换变换1.z变换定义使z变换式 收敛的z值范围是的收敛域，即使其绝对可和的z值范围：当z变换式中的求和下限取作0时，定义为单边z变换 nnznfzF zF nnznf 0nnznfzF 3 z变换变换2.z变换的收敛域n双边无限长序列双边无限长序列的双边z变换的收敛域为圆圆环环 ；n右边序列右边序列的z变换的收敛域为一圆的外部一圆的外部（除了无穷远点 之外）：，当它是因果序因果序列列时，收敛域还应包括无穷远点应包括无穷远点：；n左边序列左边序列的z变换的收敛域为一圆的内部一圆的内部（除了原点 之外）：，当它是反因果序列
18、反因果序列时，的收敛域还应包括原点还应包括原点：；ffRzRz fRz fRz0z 0fzRfzR 3 z变换变换2.z变换的收敛域n有限长序列有限长序列的z变换的收敛域至少为除原点和无穷远点之外的全平面全平面：，当它是因果序列因果序列时，的收敛域还应包括无穷远点：，而当它是反因果序列反因果序列时，的收敛域还应包括原点：。n同一个同一个z z变换在具有不同的收敛域时，会对变换在具有不同的收敛域时，会对应不同的序列应不同的序列，因此，在计算一个序列的z变换时，必须同时给出其收敛域必须同时给出其收敛域。0z 0zz 3 z变换变换3.典型序列的z变换（1）单位采样序列（2）阶跃序列（3）指数序列
19、1n 1,1110zzznunn azazzanuannnn,1110 3 z变换变换3.典型序列的z变换（3）指数序列 0011001201001201,11sinsin12cos1coscos12cosjnjeu nzezznu nzzznu nzz 3 z变换变换4.z变换的性质（1）线性性质：（2）位移性质（延迟性质）单边单边z z变换变换：zFazFanfanfa22112211 112111212mmkkf nm u nzF zfk zf nz F zff nz F zzff 3 z变换变换4.z变换的性质（2）位移性质（延迟性质）因果序列右移因果序列右移：双边双边z z变换变换：
20、位移性质可用于求解系统的各个响应。位移性质可用于求解系统的各个响应。zFznumnfm zFzmnfm mkkmmkkkkmmkkmnmnmnnzkfzFzzkfzkfzzkfzzmnfzzmnf11000 3 z变换变换4.z变换的性质例 5-9 求输入为 的一阶LTI离散系统 在初始条件 下的系统响应。nu nunyny05.019.011y 11111110.050.911,0.91 0.910.050.450.51 0.911 0.91zizszizsY zz Y zzY zYzYzYzzYzzzzz其中，3 z变换变换4.z变换的性质例 5-9 求输入为 的一阶LTI离散系统 在初始
21、条件 下的系统响应。nu nunyny05.019.011y 1111111110.91 0.910.050.450.51 0.911 0.910.90.5 1 0.90.5 1 0.90.9zizsnzinzsnnYzzYzzzzzynu nynu ny nu nu n 3 z变换变换4.z变换的性质（3）z域尺度变换（序列指数加权）azFnfan azFaznfznfanfannnnnn00 1nnaf nF azf nFz 3 z变换变换4.z变换的性质（3）z域尺度变换（序列指数加权）例 5-10 求 的z变换 nunn0cos 2201010cos21cos1coszzznunn 2
22、01010cos21cos1coszzznun azFnfan 3 z变换变换4.z变换的性质（4）卷和定理 序列卷和对应于z域相乘，这是用变换法计用变换法计算卷和的基础算卷和的基础。特殊地，系统零状态响应的z变换等于输入序列的z变换乘以系统单位采样响应的z变换，即 zFzFnfnf2121 zHzFzYZS 3 z变换变换4.z变换的性质（4）卷和定理 zFzFnfnf2121 1212212112nnmn mmnnkmnkfnfnfm fnmzfnm zfm zfk zfm zF z Fz 证明过程证明过程 3 z变换变换4.z变换的性质（4）卷和定理例 5-11 计算卷和 zFzFnfn
23、f2121 1212,nnu nu n 12111212111212111212121111111nnnnnnu nu nzzzzu nu nu n 3 z变换变换4.z变换的性质（4）卷和定理例 5-12 计算 的z变换 zFzFnfnf2121 2121112111111111nnnnnnnnna u na u na u nazna u na u na u na u nazazazna u naz nunan 3 z变换变换4.z变换的性质（5）时域翻转性质：时域翻转性质可用于把反因果序列的反因果序列的z z变换变换与对应的因果序列的对应的因果序列的z z变换变换联系起来。从而利用已知的因
24、果序列的利用已知的因果序列的z z变换公式求解反因变换公式求解反因果序列的果序列的z z变换变换。1fnF z 3 z变换变换4.z变换的性质（5）时域翻转性质：例 5-13 计算 、和 的z变换，并确定其收敛域，其中ba0。1fnF z nnabu n1nnabun 1nna u nb un 111111111111,111,111,1nnnnza u nzaazzb u nzbb zb zb u nb bu nzbb z 3 z变换变换4.z变换的性质（5）时域翻转性质：例 5-13 计算 、和 的z变换，并确定其收敛域，其中ba0。1fnF z nnabu n1nnabun 1nna u
25、 nb un 111,1,1,1,nnnnnnnb zzb unzbb zbzzzabu nabzzazbzzabunzabzazbzza u nb unazbzazb 3 z变换变换4.z变换的性质（6）序列求和性质：（7）z域微分：（8）初值定理：（9）终值定理：zFzkfnk1011 zFdzdznfnmm 0limzfF z zFzfz1lim1 4 z反变换反变换 从z变换的定义，使用复变函数理论，可以证明，z反变换由以下围道积分给出 其中，C是包围 所有极点的逆时针闭合积分路线，通常选择z平面收敛域内以原点为中心的圆，dzzzFjnfn121 1nzzF 4 z反变换反变换 求z反
26、变换，一般并不进行复杂的围道积分，而是使用长除法长除法、留数法留数法或部分分式展开部分分式展开法法，我们仅介绍常用的长除法和部分分式展开法。1.长除法长除法:由z变换的定义式易知，序列 实际上是其z变换函数 关于 的幂级数展开式系数幂级数展开式系数，因此，把分式函数 的分子、分母多项式都按z的降幂次排列后，进行长除，就可得到所需序列 长除法虽然简单，但只适合于分母多项式为低阶只适合于分母多项式为低阶的情况，并且不易得到闭式解的情况，并且不易得到闭式解。nf zF1z zF nf 4 z反变换反变换 1.长除法例 5-14 计算 的z反变换。122zzzzF3232121211111123436
27、323242223212zzzzzzzzzzzzzzzzzz 0nnnzzF nnunf 4 z反变换反变换 2.部分分式展开法当序列 的z变换 为的有理函数有理函数时，即其中，是 的极点集合，。因为，很易计算关于 的多项式的z反变换，因此，不失一般性，我们限定 为关于 的真分式真分式，即 。nf zF 110111101111011111MMMMNNNNMMMMNkkN zbb zbzb zF zD zaa zaza zbb zbzb zp zNkpk,2,1 zF01a 1z F z1zNM 4 z反变换反变换 2.部分分式展开法（1）单阶极点情况：11111111kkNNnkkkkkkk
28、kkzpzpKF zf nu nK pp zF zKp zF zzpz 4 z反变换反变换 2.部分分式展开法（1）单阶极点情况：例 5-15 计算 的z反变换。23122zzzzzF 11111111111112 12221 21 21121123213211nnnnF zz F zzF zzzzzu nf nnu n 4 z反变换反变换 2.部分分式展开法（1）单阶极点情况：也可如拉氏反变换那样，对 进行如下部分分式展开（限制 ）：zzFNM 110110111101kNNNMNMNMMkNNkNNkkkzpNnkkkF zb zb zbzb zbKzz za zazazzpF zKzpz
29、f nbnu nK p 4 z反变换反变换 2.部分分式展开法（1）单阶极点情况：例 5-15 计算 的z反变换。（第二种方法）23122zzzzzF 211111 1 142 111222 112121213122121312221313211223211nnnnnnF zzzzz zzzzzzzzf nnu nnu nnu n 4 z反变换反变换 2.部分分式展开法（2）重极点情况：设 在 处有m重极点，如拉氏反变换拉氏反变换那样，的部分分式展开式中关于重极点 的分项，然后计算相应的z反变换。zF1pz zF1pz 4 z反变换反变换 2.部分分式展开法（2）重极点情况：例 5-16 计算
30、 的z反变换。212zzzzF 11122222222111211122112,21212 111122121,21 221 22 2211211znnAAAF zAzzzAzzzF zAAzzzdzAAdzzf nnu nnu n 小结1.离散信号仅在离散点上有定义，最重要的基本信号有单位采样序列和阶跃序列，前者是后者的差分，后者是前者的累计和；任何序列可表示为单位采样序列的线性组合，即序列与单位采样序列的卷和。2.LTI离散系统的数学模型是线性常系数差分方程。它的零状态响应为输入序列与系统单位采样响应的卷和。卷和可使用解析法、图解法和变换法来计算。其中，系统单位采样响应是系统对单位采样序列
31、的零状态响应。阶跃响应是系统对单位阶跃序列的零状态响应，它是系统单位采样响应的累计和，而系统单位采样响应是系统阶跃响应的差分。小结3.z变换是离散信号的幂级数展开描述，它是分析离散信号与系统的重要工具，其性质和作用类似于连续信号与系统中的拉氏变换。4.利用z变换，可方便地计算离散系统的零输入响应、零状态响应和全响应。5.系统函数是统单位采样响应的z变换，它由系统的零极点分布决定，系统的极点分布决定了系统的稳定性。使用系统函数可方便地分析离散系统的各种模拟实现图。6.使用部分分式分解技术可有效地计算z反变换。小结7.离散信号的傅里叶变换是把离散信号分解为无穷多个复指数序列的线性组合，结果是周期频
32、谱。实际上离散信号是其周期频谱的傅里叶系数。8.系统频率特性是单位采样响应的傅里叶变换，其模值是系统幅频特性，其幅角是系统相频特性。9.周期离散信号的离散傅里叶变换（DFT）是把周期离散信号分解为若干个周期正弦信号的线性组合，结果是周期离散频谱。周期离散信号与其离散傅里叶变换（DFT），互为傅里叶系数。有限长序列可借用DFT技术进行分析和处理。10.通过巧妙设置零极点分布，可实现低通、带通、高通、带阻滤波，也可实现最小相位滤波、线性相位滤波、高品质因数陷波滤波等。1.典型离散时间信号典型离散时间信号（1）单位采样信号（Unit Sample）（2）单位阶跃序列（Unit Step）1(0)0(
33、0)nu nn)0(0)0(1nnn 01mnu nu nu nnm1.典型离散时间信号典型离散时间信号（3）因果指数序列（4）因果矩形窗函数（5）正弦序列 1(01)0()1NnNGnu nu nNu n u Nn 其它 nf na u n 0sinf nn2.离散时间系统离散时间系统n一般，若一个离散系统的数学模型是常系数线性常系数线性差分方程差分方程，则它是一个线性时不变离散系统线性时不变离散系统。输入为 、输出为 的N阶线性时不变离散系统可一般地用下述N阶常系数线性差分方程描述：上面的差分方程描述的N阶离散系统是个因果的因果的LTILTI离散系统离散系统 nf nyknfbinyaMk
34、kNii002.离散时间系统离散时间系统离散系统的全响应为零输入响应和零状态响应之和离散系统的全响应为零输入响应和零状态响应之和可以利用时域经典方法求解离散系统的零输入响应和零状态响应系统的零状态响应还可以通过卷和方法求解：卷和计算有解析法、图解法和变换法解析法、图解法和变换法这些方法适用于不同的情况这些方法适用于不同的情况 zskynf k h nkf nh n3.z变换变换z变换和z反变换的定义 01,12nnnnnCF zf n zF zf n zf nF zf nF z zdzj 3.z变换变换z变换的收敛域n双边无限长序列双边无限长序列的双边z变换的收敛域为圆圆环环 ；n右边序列右边
35、序列的z变换的收敛域为一圆的外部一圆的外部（除了无穷远点 之外）：，当它是因果序因果序列列时，收敛域还应包括无穷远点应包括无穷远点：；n左边序列左边序列的z变换的收敛域为一圆的内部一圆的内部（除了原点 之外）：，当它是反因果序列反因果序列时，的收敛域还应包括原点还应包括原点：；ffRzRz fRz fRz0z 0fzRfzR3.z变换变换z变换的收敛域n有限长序列有限长序列的z变换的收敛域至少为除原点和无穷远点之外的全平面全平面：，当它是因果序列因果序列时，的收敛域还应包括无穷远点：，而当它是反因果序列反因果序列时，的收敛域还应包括原点：。n同一个同一个z z变换在具有不同的收敛域时，会对变换
36、在具有不同的收敛域时，会对应不同的序列应不同的序列，因此，在计算一个序列的z变换时，必须同时给出其收敛域必须同时给出其收敛域。0z 0zz 4.典型信号的典型信号的z变换变换（1）单位采样序列（2）阶跃序列（3）指数序列 1n 1,1110zzznunn azazzanuannnn,11104.典型信号的典型信号的z变换变换（3）指数序列 0011001201001201,11sinsin12cos1coscos12cosjnjeu nzezznu nzzznu nzz5.z变换的性质变换的性质（1）线性性质：（2）位移性质（延迟性质）单边单边z z变换变换：位移性质可用于求解系统的各个响应。
37、位移性质可用于求解系统的各个响应。zFazFanfanfa22112211 112111212mmkkf nm u nzF zfk zf nz F zff nz F zzff5.z变换的性质变换的性质（3）z域尺度变换（序列指数加权）（4）卷和定理（5）时域翻转性质：zFzFnfnf2121 azFnfan 1nnaf nF azf nFz1fnF z5.z变换的性质变换的性质（6）序列求和性质：（7）z域微分：（8）初值定理：（9）终值定理：zFzkfnk1011 zFdzdznfnmm 0limzfF z zFzfz1lim16.z反变换反变换 z反变换的方法：长除法长除法、留数法留数法或
38、部分分部分分式展开法式展开法1.长除法长除法只适合于分母多项式为低阶的情况，只适合于分母多项式为低阶的情况，并且不易得到闭式解并且不易得到闭式解。2.部分分式展开法部分分式展开法（1）单阶极点情况：11111111kkNNnkkkkkkkkkzpzpKF zf nu nK pp zF zKp zF zzpz6.z反变换反变换（1）单阶极点情况：也可如拉氏反变换那样，对 进行如下部分分式展开（限制 ）：（2）重极点情况：同拉普拉斯反变换 zzFNM 110110111101kNNNMNMNMMkNNkNNkkkzpNnkkkF zb zb zbzb zbKzz za zazazzpF zKzpz
39、f nbnu nK p7.离散系统的离散系统的z域求解域求解1.用z变换计算离散系统的零输入响应、零状态响应和全响应利用利用z z变换的时移性质可以方便的求解各系统响应变换的时移性质可以方便的求解各系统响应2.LTI离散系统的系统函数定义为离散系统单位采样离散系统单位采样响应的响应的z z变换变换。zFzYzH y nf nh nY zF z H z8.极点分布和冲激响应的关极点分布和冲激响应的关9.离散系统稳定性n任何离散系统的稳定性可通过其系统任何离散系统的稳定性可通过其系统函数的收敛域是否包含单位圆来判断，函数的收敛域是否包含单位圆来判断，包含时系统稳定，否则不稳定。包含时系统稳定，否则
40、不稳定。10.离散系统离散系统z域模拟域模拟离散系统可由延迟器、加法器和乘法器延迟器、加法器和乘法器构成。主要有直接型实现、串联型实现和并联型实直接型实现、串联型实现和并联型实现现三种方式。10.离散系统离散系统z域模拟域模拟直接型系统实现直接型系统实现 10.离散系统离散系统z域模拟域模拟离散系统的串联型实现离散系统的串联型实现 10.离散系统离散系统z域模拟域模拟离散系统的并联型实现离散系统的并联型实现 11.离散信号的频域分析离散信号的频域分析离散信号傅里叶变换的定义 deeFnfjnj21 jjjjnnz ez ennF ef n ef n zF z12.离散傅里叶变换（DFT）222
41、22110021010111IDFTDFTkjNkNkjNknkNNjjnkNNNnnjz eNjnkNNNnNnkNnf nF eeF k WNNF kF eF eF zWeWnNF kf n W：，：13.LTI离散系统的频率特性系统频率特性定义为系统单位采样响应的傅里叶变换：离散正弦可形状不变地通过任何形状不变地通过任何LTILTI离散系统离散系统，输出正弦与输入正弦仅在幅度和相位发生变化仅在幅度和相位发生变化。0jjjejjkjz ekjjH eh k eH zH eeH ee是系统的幅频特性是系统的相频特性14.数字滤波器数字滤波器 理想低通数字滤波器 220ccjj mccccH
42、eGeSa nGh nSanm数字低通滤波器的频率特性：，数字低通滤波器的单位采样响应：15.全通数字滤波器全通数字滤波器 全通数字滤波器是零点个数与极点个数相等零点个数与极点个数相等、并且零点与极点配对地关于单位圆反演对称关于单位圆反演对称的滤波器，即所有零极点对都满足 全通网络是个纯相移网络纯相移网络 1111111iijjiiiiiiNiapiizpr eprerzpHzAp zA，为正常数16.最小相位数字滤波器n所有零点均处于所有零点均处于z z平面单位圆内的稳定系统（即所平面单位圆内的稳定系统（即所有零极点均位于有零极点均位于z z平面单位圆内的系统）为最小相位平面单位圆内的系统）
43、为最小相位系统。系统。n最小相位系统是个可逆的因果稳定系统最小相位系统是个可逆的因果稳定系统，并且其逆系统仍是一个最小相位系统逆系统仍是一个最小相位系统。例题1：n已知卷积 ，求由卷积的图解法：1333x nGnGn 26xnGn 12y nx nxn 6y 16y例题2：n已知描述因果离散时间系统的差分方程为初始条件 。求系统零输入响应。解法一：nfnfnynyny1221312,21yy 21212320,212141122nnzinnziynKKyn 特征方程和特征根：，带入初始条件：例题2：n已知描述因果离散时间系统的差分方程为初始条件 。求系统零输入响应。解法二：nfnfnynyny
44、1221312,21yy 121112111111322210421 322 1224121212411211241122zizizizinnziYzz Yzz YzzzYzzzzzzzyn 例题3：n已知 的波形如图所示，画出 的波形。123fnf nun f n例题4：n下列各式为描述离散时间系统的差分方程：问哪个是线性、时不变、无记忆的？（1）是非线性、时不变、无记忆的；（2）是线性、时变、无记忆的；（3）是非线性、时不变、有记忆的；（4）是非线性、时不变、无记忆的。答案是D。2(1)2cos 33(3)123,(4)2y nf ny nf nny nf ny nf n，(2)例题5：n
45、研究一线性时不变系统，其输入和输出满足（a）求系统的系统函数，并画出零极点图；（b）当该系统是稳定系统时，求 ；（c）求该系统频率响应，并画出幅频特性图。12431nxnynyny nh例题5：因为系统稳定，所以 12431nxnynyny 1121123134140.51.5130.5 1.51.50.544131313222222Y zzzzY zz X zH zX zzzzH zzzzzzz nununhzzzzHnn3221121413212121141111例题5：12431nxnynyny为带阻滤波器为带阻滤波器例题6：n离散系统单位阶跃响应的z变换为 求其系统函数。22111zz
46、zzG 12212111111111u nzG zzzH zzU zz zzzz例题7：n已知已知 ，求，求 。112113,212zF zzzz f n 111121113211172312991212112117229nzF zzzzzf nu n 例题8：n如图所示LTI系统，（1）写出系统差分方程；（2）化简模拟图，使所使用的延迟单元最少（模拟图可画信号流图或系统框图）；（3）求系统的单位序列响应。例题8：5112266y ny ny nf nf n 211211111556511111166235 2 15 3 12311343266511111111232365 3 24 3nnz
47、zH zzzzzzzzzh nnu n 例题8：5112266y ny ny nf nf n例题9：离散信号 ，求其z变换 。11f nu nnu n 122111111111111u nzzdznu nzdzzzzF zzz zF例题10：离散信号 ，求其z变换 及其收敛域。2f nn u n zF 2232311121,1111znu nzdzF zzdzzz zzzzzzz 例题11：n如图所示LTI系统，求系统的正弦稳态响应。3cos3f nn 22322114 sin31121122254cos34 sin254cos2sin3sin2232332cos22cos236cos33jjjjjzeH zH eH ezeH earctgarctgh nn 6cos13n例题12：为使如图所示系统稳定，则实数K的取值范围为 。212112KzzzzzH01K例题13：n离散系统函数（1）画出系统的零极点图；（2）画出该系统的直接形式、并联形式的信号流图。4.06.08.02zzzzzzH 111321214.01346.01138.01335192.008.012zzzzHzHzzzzzzzH例题13：
