1、音乐音乐2线性代数线性代数主编主编赵树嫄赵树嫄中国人民大学出版社中国人民大学出版社教材：教材：3第一章第一章行列式行列式4第一节第一节 二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式(一一)二阶行列式二阶行列式:22)1(a,2212221212211abxaaxaa :12)2(a,1222221212112abxaaxaa ，得，得两式相减消去两式相减消去2x;)(212221121122211baabxaaaa (2)(1)22221211212111bxaxabxaxa5;)(212221121122211baabxaaaa ，得，得类似地，消去类似地，消去1x,)(211211221122211a
2、bbaxaaaa 时，时，所以当所以当021122211 aaaa方程组有唯一解方程组有唯一解，211222112122211aaaabaabx .211222112112112aaaaabbax .,22221211212111bxaxabxaxa)1()2(6引入记号引入记号定义定义2112221122211211aaaaaaaa 称为二阶行列式称为二阶行列式.主对角线主对角线对角线法则对角线法则2211aa 二阶行列式的计算二阶行列式的计算2112aa 11a21a12a22a，211222112122211aaaabaabx .211222112112112aaaaabbax 7记记2
3、2211211aaaaD 对于二元线性方程组对于二元线性方程组2112221122211211aaaaaaaa 2221211ababD 2211112babaD 22221211212111bxaxabxaxa211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax ,122221abab ,121211baba 称系数行列式称系数行列式，若若0 D则方程组有唯一解则方程组有唯一解,11DDx ,22DDx -克莱姆法则克莱姆法则8设设132 D。问：。问：(1)当当为何值时，为何值时，0 D；(2)当当为何值时，为何值时，0 D。例例解解2315
4、3)1(25 .13 例例132 D 32 ,)3(1)当当0 或或3 时，时，0 D；(2)当当0 且且3 时，时，0 D。9例例 .12,12232121xxxx求解二元线性方程组求解二元线性方程组解解1223 D)4(3 7 112121 D,14 121232 D,21 DDx11,2714 DDx22.3721 ,0 10(二二)三阶行列式三阶行列式三元线性方程组三元线性方程组 333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa211121323112113222112112)()(babaxaaaaxaaaa 3111313331
5、13113232113112)()(babaxaaaaxaaaa 321231333213123232213122)()(babaxaaaaxaaaa 32a)(22a 12a 3122133321123223113221133123123322113211232211231122321113122322113aaaaaaaaaaaaaaaaaabaabaabaabaabaaaabx 113122133321123223113221133123123322113211232211231122321113122322113aaaaaaaaaaaaaaaaaabaabaabaabaabaaaabx
6、 引入记号引入记号定义定义称为称为三阶行列式三阶行列式。,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa12333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa.322311aaa 对角线法则对角线法则说明：说明：1、三阶行列式包括、三阶行列式包括3!项，每一项都是位于项，每一项都是位于不同行，不同列的三个元素的乘积不同行，不同列的三个元素的乘积，其中三项为正，其中三项为正，三项为负三项为负.322113aaa 312312aaa 312213aaa 332
7、112aaa 2、对角线法则只适用于二阶与三阶行列式、对角线法则只适用于二阶与三阶行列式13 如果三元线性方程组如果三元线性方程组 333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式的系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD ,0 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组克莱姆法则克莱姆法则,3332323222131211aabaabaabD 记记,3333123221131112abaabaabaD ,3323122221112113baabaabaaD 则该方程组的解为则该方
8、程组的解为,11DDx ,22DDx .33DDx 14243122421 D计计算算三三阶阶行行列列式式例例解解按对角线法则，有按对角线法则，有 D )2(214)2()4()3(1215)3(2)4(.14 解解)2()2(2 411 D )2(214)2()4()3(12243122421 D计计算算三三阶阶行行列列式式例例按对角线法则，有按对角线法则，有16练习练习601504321 043)1(52601 .58481 )1(03642051 17例例解解实数实数ba,满足什么条件时，有满足什么条件时，有 010100 abba？10100abba,22ba 所所以以当当且且仅仅当当
9、0 ba时时，所所给给行行列列式式等等于于零零。18例例解解01140101 aa的充分必要条件是什么？的充分必要条件是什么？1140101aa,1|a,012 a即为所求充分必要条件。即为所求充分必要条件。19.094321112 xx求解方程求解方程练习练习解解方程左端方程左端1229184322 xxxxD,652 xx解得解得由由 065 2 xx3.2 xx或或20例例 解线性方程组解线性方程组 .0,132,22321321321xxxxxxxxx解解111312121 D5 ,0 1103111221 D,5 1013121212 D,10 210111122213 D,5 故方
10、程组的解为故方程组的解为,111 DDx,222 DDx.133 DDx111312121 D,5 1103111221 D,5 1013121212 D,10 22例例使使求一个二次多项式求一个二次多项式),(xf.28)3(,3)2(,0)1(fff解解 设所求的二次多项式为设所求的二次多项式为,)(2cxbxaxf 由题意得由题意得 2839)3(324)2(0)1(cbafcbafcbaf,020 D.20,60,40321 DDD得得,21 DDa,32 DDb13 DDc故所求多项式为故所求多项式为.132)(2 xxxf插值问题插值问题23 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方
11、二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的程组引入的.对角线法则对角线法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算.2112221122211211aaaaaaaa ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa小结：小结：24第二节第二节 n 阶行列式阶行列式(一一)排列与逆序排列与逆序 由由n个不同数码个不同数码1,2,n 组成的有序数组组成的有序数组 i1i2in,称称为一个为一个n级排列级排列.定义定义 在一个在一个n级排列级排列 i1i2in 中中,如果有
12、较大的数如果有较大的数 it 排在较小的数排在较小的数 is 前面前面(is1)共有共有n!个个 n 级排列，其中奇偶级排列，其中奇偶排列各占一半。排列各占一半。28(二二)n 阶行列式阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa (1)三阶行列式共有三阶行列式共有 3!=6 项项(2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积(3)每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标
13、排列元素的下标排列例如例如322113aaa列标排列列标排列312是偶排列是偶排列,正号正号 322311aaa,负号负号 列标排列列标排列132是奇排列是奇排列,29.)1(321321321321)(ppppppppptaaa333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 30nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 定义定义 用用n2 个元素个元素 aij (i,j=1,2,n)组成的记号组成的记号定义为定义为,)1(21212121)(nnnnppp
14、pppppptaaa ).det(ija简记作简记作determinant为这个排列的逆序数为这个排列的逆序数的一个排列，的一个排列，为自然数为自然数其中其中)(212121nnppptnpppn阶行列式是阶行列式是n!项的代数和项的代数和,不同列的不同列的n个元素的乘积个元素的乘积.每项都是位于不同行、每项都是位于不同行、31所表示的代数和中有所表示的代数和中有4!=24项项.例如，四阶行列式例如，四阶行列式44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 例如例如,a11a22a33a44 项取项取 号号,a11a24a33a44不是不是
15、D 的项的项.a14a23a31a42 项取项取 号号,+-32 D 中各项中不为零的项只有中各项中不为零的项只有 a11a22ann，其他项其他项均为零，由于均为零，由于 t(12n)=0，因此这一项取正号，得因此这一项取正号，得例例 计算计算上三角行列式上三角行列式nnnnaaaaaaD000022211211 解解nnnnaaaaaa00022211211.2211nnaaa 33同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式.2211nnaaa nnnnaaaaaa2122211100034特殊情况：特殊情况：.00000000000000002211332211nnnnaaaaaaa 这种
16、行列式称为这种行列式称为对角对角行列式行列式。35例例 计算行列式计算行列式000000000000dcbaD 解解abcdDt)4321()1(.abcd 练习：推广到练习：推广到 n 阶情况。阶情况。36n 21.)1(212)1(nnn 2)1()12)1(nnnnt37例例 设设,1211123111211)(xxxxxf .3的的系系数数求求 x含含 的项有两项，即的项有两项，即3x解解43342211)1243()1(aaaat 44332211)1234()1(aaaat 3x 32x.13 的系数为的系数为故故 x,3x 38第三节第三节 行列式的性质行列式的性质说明说明 行列
17、式中行与列的地位是对等的行列式中行与列的地位是对等的,因此行列式因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立的性质凡是对行成立的对列也同样成立.性质性质1 1 行列式与它的转置行列式相等，即行列式与它的转置行列式相等，即行列式行列式 称为行列式称为行列式 D 的转置行列式的转置行列式。TDnnaaa2211nnaaa21122121nnaaa TDnnaaa2211 D记记2121nnaaannaaa2112证略证略DDT 39性质性质2 2 交换行列式的两行交换行列式的两行(列列),),行列式的值变号。行列式的值变号。例如例如,571571 266853.825825 36156756736
18、1266853证略证略推论推论 如果行列式有两行如果行列式有两行(列列)完全相同，则此行列完全相同，则此行列式为零。式为零。证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 .0 D,DD 40性质性质3 3 行列式的某一行行列式的某一行(列列)中所有的元素都乘以同中所有的元素都乘以同一数一数 k，等于用数等于用数 k 乘此行列式乘此行列式,即即证略证略nnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 说明说明行列式的某一行行列式的某一行(列列)中所有元素若有公因子中所有元素若有公因子,可以提到行列式符号的外面。可以提到行列式符号
19、的外面。推论推论如果行列式有两行如果行列式有两行(列列)的对应元素成比例的对应元素成比例,则则行列式的值等于零。行列式的值等于零。41性质性质4 4若行列式的某一列若行列式的某一列(行行)的元素都是两数之和，的元素都是两数之和，nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 则则 D 等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如注意注意：一次只能拆一行或一列。：一次只能拆一行或一列。证证略略42例例 证明证明333
20、2221113333332222221111112cbacbacbaaccbbaaccbbaaccbba 由性质由性质4，证证上式左边上式左边 333332222211111333332222211111accbbaccbbaccbbaccbaaccbaaccba 333322221111333322221111333322221111333322221111accbaccbaccbacbbacbbacbbacbaacbaacbaccbaccbaccba 43333322221111333322221111333322221111333322221111accbaccbaccbacbbacbb
21、acbbacbaacbaacbaccbaccbaccba 由性质由性质2推论，第二、第三个行列式的值为推论，第二、第三个行列式的值为0；再由性质再由性质4，把第一、第四个行列式分别拆成两个行列，把第一、第四个行列式分别拆成两个行列式之和并化简后，式之和并化简后，上式上式333222111333222111acbacbacbcbacbacba .2333222111cbacbacba 44性质性质5把行列式的某一列把行列式的某一列(行行)的各元素乘以同一数的各元素乘以同一数k后加到另一列后加到另一列(行行)对应的元素上去，行列式不变。对应的元素上去，行列式不变。nnnjninnjinjiaaaa
22、aaaaaaaa12222111111nnnjnjninnjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakcc)()()(1222221111111 k例如例如列列 column行行 row45例例 计算下列行列式计算下列行列式 0112012120112110 D0112012121102011 4130211021102011 10400420021102011 2000420021102011 .4 46dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcbaD 3610363234232cbabaacbabaacbabaadcba3610363023423200 b
23、aabaacbabaadcba373002000 abaacbabaadcba0002000 4a 例例47例例 计算计算 n 阶行列式阶行列式.abbbbabbbbabbbbaD 解解abbbnababbnabbabnabbbbna)1()1()1()1(D将第将第2,3,n 列都加到第列都加到第1列得列得“全加法全加法”48abbbabbbabbbbna1111)1(.)()1(1 nbabnababababbbbna 1)1(OO49 所求行列式是所求行列式是n+1阶行列式，从第二行开始，逐行阶行列式，从第二行开始，逐行加它的上一列，加它的上一列，例例解解计算行列式计算行列式 nnnaa
24、aaaaa 110001000001100011000112211。nnnaaaaaa 11000100000110001000011221原式原式50nnnaaaaaa 11000100000110001000011221原式原式nnnaaaaa 11000100000100001000011211 100001000001000010000121naaa 上三角上三角51解解方方程程（其其中中121,naaa为为互互不不相相同同的的常常数数）0113211232113221132111321 xaaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaaannnnnnnnnnnn。从第从
25、第2行开始，每行减去第一行，行开始，每行减去第一行，例例解解xaxaxaxaaaaaannnn 122113210000000000000000原式原式52xaxaxaxaaaaaannnn 122113210000000000000000原式原式,0)()(12211 xaxaxaxaann解之得方程的根为解之得方程的根为121,naaa。53第四节第四节 行列式按行行列式按行(列列)展开展开(一一)余子式与代数余子式余子式与代数余子式,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaa
26、aaaa例如例如)(3223332211aaaaa )(3321312312aaaaa )(3122322113aaaaa 323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 54例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 233223)1(MA .23M 在在 n 阶阶行行列列式式中中，把把元元素素ija所所在在的的第第 i 行行和和第第 j 列列划划去去后后，留留下下来来的的1 n阶阶行行列列式式称称做做元元素素ija的的余余
27、子子式式，记记作作ijM.记记 ijjiijMA )1(，称称做做元元素素ija的的代代数数余余子子式式.55,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM 122112)1(MA .12M 56,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,33323123222113121144aaaaaaaaaM.)1(44444444MMA 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余
28、子式。代数余子式。57(二二)行列式展开定理行列式展开定理 n 阶行列式阶行列式 D=|aij|等于它的任意一行等于它的任意一行(列列)的各元的各元素与其对应代数余子式乘积的和，即素与其对应代数余子式乘积的和，即),2,1(2211niAaAaAaDininiiii ).,2,1(2211njAaAaAaDnjnjjjjj 或或按第按第i行展开行展开按第按第j列展开列展开证略证略推论推论：若行列式某行：若行列式某行(列列)的元素全为零，则行列式的元素全为零，则行列式的值为零。的值为零。58,601504321 D例例 设设543106131061542 D列列展展开开得得按按第第2010436
29、154260501 D行行展展开开得得按按第第1,58292 .58292 59定理定理 行列式某一行的元素乘另一行对应元素的代数行列式某一行的元素乘另一行对应元素的代数余子式之和等于零余子式之和等于零,即即这是因为这是因为第第 i 行行第第 j 行行022111 jninjijinkjkikAaAaAaAa)(ji nnnniniiiniinnkjkikaaaaaaaaaaaaAa212121112111 .0 按按第第 j 行行展开展开60同样，行列式对列展开同样，行列式对列展开,也有也有).(,02211jiAaAaAanjnijiji ;,0,1jijiDDAaijnkkjki当当当当
30、 ;,0,1jijiDDAaijnkjkik当当当当 .,0,1jijiij当当，当当引入记号引入记号 则有则有61计算行列式的基本方法：计算行列式的基本方法：利用性质利用性质 5 将某行将某行(列列)化出较多的零，再利用展开定化出较多的零，再利用展开定理按该行理按该行(列列)展开。展开。例例3351110243152113 D0551111115)1(33 3131 312cc 34cc 5011 50115 0011 620551111115)1(33 055026115 5526)1(31 .40 12rr 63例例 计算行列式计算行列式0532004140013202527102135
31、 D解解53241413252 53204140132021352)1(52 D13rr 122rr 66027013210 .1080124220 64例例解解讨论当讨论当 k 为何值时，为何值时，02002000110011 kkk。kkk2002000110011kkk20020001100011 kkk2020011 ,0)4)(1(2 kk解解得得 1 k且且2 k。65例例解解求证求证 21)1(11213112211132114321 nnxxxxxxxnxxnxnn。从第一行开始，逐行减去下一行，从第一行开始，逐行减去下一行，6611213112211132114321xxxx
32、xxnxxnxnn nxxxxxx111000011000111001111011110 111100011100111101111111111)1(nnxxxx67111100011100111101111111111)1(nnxxxx再从第一行开始，再从第一行开始，逐行减去下一行逐行减去下一行111100000100001000010000)1(nnxxxxxxx.)1(21 nnx68每行元素的和都相等每行元素的和都相等,把第把第2、3、4列都加到第列都加到第1列列,练习练习 计算行列式计算行列式解解1111111111111111 xxxx.原原式式111111111111 xxxxx
33、xx 1111111111111111 xxxx“全加法全加法”69xxxxxx 0000 原原式式111111111111 xxxxxxx 1111111111111111 xxxx xxxxxxx 00000001111 4x.xxxx 02 70 按第一列展开按第一列展开,并由上、下三角形并由上、下三角形行列式得行列式得 练习练习 计算计算 n 阶行列式阶行列式解解.0000000000000000abbaababa原原式式abaabaa0000000000 babbabbn0000000000)1(1 .)1(1nnnba 71证证 用数学归纳法，用数学归纳法，21211xxD 12x
34、x ,)(12 jijixx.)1(2式成立式成立时时当当 n例例 证明范德蒙证明范德蒙(Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(72倍倍：去去前前一一行行的的行行开开始始，每每行行减减从从第第阶阶范范德德蒙蒙行行列列式式成成立立，式式对对于于假假设设11)1(xnn )()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn 112112222121111 nnnnnnxxxxxxxxx73提提出出，就就有有因因
35、子子列列展展开开，并并把把每每列列的的公公按按第第)(11xxi)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn 223223211312111)()(nnnnnnxxxxxxxxxxxxn 1 阶范德蒙行列式阶范德蒙行列式74)()()(211312jjininnxxxxxxxxD ).(1jjinixx 223223211312111)()(nnnnnnxxxxxxxxxxxx证毕证毕.75.)(1111112112222121 jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD例如例如,6
36、416412793184211111)34)(24)(14)(23)(13)(12(.12 76第五节第五节 克莱姆法则克莱姆法则如果线性方程组如果线性方程组)1(22112222212111212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211,0 那么线性方程组那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一有解，并且解是唯一的，解可以表为的，解可以表为77.,332211DDxDDxDDxDDxnn nnjnnjnnnjjjaabaaaabaaD1,1,111,111,11
37、1 证略证略其中其中 Dj 是把系数行列式是把系数行列式 D 中第中第 j 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即阶行列式，即78例例 用克莱姆法则解方程组用克莱姆法则解方程组 .0674,522 ,96 3,85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解解6741212060311512 D212rr 24rr 127702120603113570 79127702120603113570 12772121357 212cc 232cc 277010353 2733 27,0 所以方程组有唯一解所以方程组有唯一
38、解,80,27 D67402125603915181 D,81 67012150609115822 D,108 .0674,522 ,96 3,85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx60412520693118123 D,27 07415120903185124 D,27 8167402125603915181 D,81 67012150609115822 D,108 60412520693118123 D,27 07415120903185124 D,27,3278111 DDx,42710822 DDx,1272733 DDx.1272744 DDx82练习练习解解
39、解线性方程组解线性方程组 4221 2344 22243213214314321xxxxxxxxxxxxxx。,022121012341022111 D,221240121410421121 D,421410113414221212 D,02 D,21 D,42 D,024210123440222113 D,141211123410221114 D 4221 2344 22243213214314321xxxxxxxxxxxxxx111 DDx，222 DDx，033 DDx，2144 DDx。所以方程组的解为所以方程组的解为84 000221122221211212111nnnnnnnnnx
40、axaxaxaxaxaxaxaxa为为齐次齐次线性方程组线性方程组.称方程组称方程组(2)0,0,021 nxxx显然显然是是(2)的一个解的一个解,称为称为零解零解.推论推论如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组(2)(2)的系数行列式的系数行列式 ,则则(2)(2)只有零解只有零解.0 D以后证明：以后证明：如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组(2)(2)的系数行列式的系数行列式 D =0,0,则则(2)(2)必有非零解。必有非零解。85判定齐次线性方程组判定齐次线性方程组 0320230320324321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx 是否仅有零解。是否仅有零解。
41、例例解解,01531132211313213211 D所以方程组仅有零解。所以方程组仅有零解。86例例解解如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 03204 )2(0 20 432142142141xkxxxxxxkxxxxxk 有非零解，有非零解，k 应取何值？应取何值？kkkD31240121021100 412121103 kk)4217(3 kk,0)1(15 k即即1 k时时，方方程程组组有有非非零零解解。87有非零解？有非零解？练习练习 问问 取何值时，齐次线性方程组取何值时，齐次线性方程组解解 000321321321xxxxxxxxx 111111 D 1212112 11111
42、11)2(100010111)2(,)1)(2(2 所以当所以当2 或或1 时，方程组有非零解。时，方程组有非零解。“全加法全加法”88END89习题选解习题选解90P37P37，1313、(4)(4)计算行列式计算行列式yxyxxyxyyxyx yxyxxyxyxyxyyx222222 yxxyxyxyyx111)22(xyxyxyxyyx 001)22()(222yxyxyx .)(233yx “全加法全加法”91naaaa001001001111210),2,1,0(niai 132211111 nncacacacnniiaaaaa00000000011112110 原式原式.)1(1021 niinaaaaaP39P39，2323、计算行列式计算行列式92“全加法全加法”1221111111000000000 nnnaaaaaa1221111110000000000 nnnnaaaaa.)1()1(1nnaan P39P39，2424、计算行列式计算行列式93P43P43，4343、若齐次线性方程组若齐次线性方程组 解解 0200321321321xxxxkxxxxkx有非零解有非零解，求求 k 的值。的值。1121111 kkD02201111 kkkk2211)1(kk,)4)(1(kk所所以以当当4 k或或1 k时时方方程程组组有有非非零零解解。
