1、2023-1-10第5讲 统计与概率 数学思考知识导航1.通过复习已经学过的统计的初步知识，加深学生对统计的意义及应用的理解。培养学生会看、会分析、会制作简单统计图表的能力和综合运用统计知识解决实际问题的能力;理解并体会平均数、中位数和众数的意义，会求平均数、中位数与众数，并能够解释结果的实际意义。2.进一步熟练地判断简单事件发生的可能性,能熟练地用分数表示事件发生的概率，并且会用概率的思维去观察、分析和解释生活中的现象。3.通过复习使学生进一步感受、了解数学在生活中的实际应用以提高学生学数学、用数学的意识。学习目标2023-1-10统计与概率条形统计图用一个单位长度(如1厘米)表示一定的数量
2、，根据数量多少，画成长短相应成比例的直条，并按一定顺序排列起来，这样的统计图，称为条形统计图。特点：(1)能够使人们一眼看出各个数据的大小。(2)易于比较数据之间的差别。2158275435494643折线统计图以折线的上升或下降来表示统计数量的增减变化的统计图，叫作折线统计图。特点：能够显示数据的变化趋势，反映事物的变化情况。扇形统计图以一个圆的面积表示事物的总体，以扇形面积表示占总体的百分数的统计图，叫作扇形统计图。也叫作百分数比较图。特点:(1)用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比。(2)易于显示每组数据相对于总数的大小。2023-1-10一般指算术平均数。求几个数的平均数就是用这几
3、个数的和除以这些数的个数。平均数代表一组数的整体水平。平均数中位数众数把一组数按其大小顺序排列，排在正中间位置上的那个数叫做这组数的中位数。在一组数据中出现次数最多的数叫做众数。众数代表一组数据的众多水平。2023-1-10分为确定事件（描述词：一定、不可能）和不确定事件（描述词：可能）。事件不确定事件发生的可能性的大小叫概率。如一个正方体的六面上分别有数字1、2、3、4、5、6，掷一次出现6的可能性为 。概率61（1）把9周拾到的废塑料袋加起来再除以9就是这组数据的平均数；（1）用1除以8就是停在每个区域的可能性是多少。表示一定的数量，根据数432110（场）。答：一共要打10场比赛。摆10
4、个正六边形需要（）根小棒；（1）六月份乙地的降水量比甲地多多少？（2）甲乙两地哪个月降水量相差最大？（3）从图中，你还能获得什么信息？。把9周拾到的废塑料袋按从小到大（或从大到小的顺序）排列起来，处于中间的数就是这组数据的中位数；32名同学围成一个正方形做游戏，每边人数相等四个顶点都有人，每边各有几名同学？如果每两名同学之间间隔 2米，这个正方形的周长是多少米？最后必剩54-49=5张，由乙来取，乙无论怎么取，都得给甲剩下14张，这样，甲就能最后取走剩下的所有牌。因此，只需要写出B、C、D三位同学在其余三个位置上的排列情况即可。等侯时间的总和为：13+32+5=14（分钟），（2）在图中涂上阴
5、影，使指针停在阴影区域的可能性小。4019=22 2+1=3（辆）答：一共要打10场比赛。2023-1-10数学思考想一想，我们学过哪些数学思考方面的知识？举例说一说。数与形鸽巢问题 集合统筹优化 找次品简单推理搭配、鸡兔同笼和植树问题2023-1-10统计与概率例1.根据统计图填空。统计图中，1格表示（）票，得票最多的城市是（），与得票最少的城市相差（）票，共有（）名代表投票。2023-1-10【答案】5、中国上海、34、84。【解析】先根据纵轴的标注确定单位量，然后对数据进行比较和运算。考查识图能力，单位量是多少，最多、最少的数据确定方法。2023-1-10例2.如图是甲、乙两地2008年
6、上半年每月降水情况统计图。（1）六月份乙地的降水量比甲地多多少？（2）甲乙两地哪个月降水量相差最大？2023-1-10【答案】（1）545-500=45（毫米）答：六月份乙地的降水量比甲地多45毫米。（2）甲乙两地五月份降水量相差最大，相差：565-355=210（毫米）答：甲乙两地五月份降水量相差最大，相差210毫米。【解析】（1）根据统计图，可知六月份乙地的降水量是545毫米，甲地的降水量是500毫米，进而用六月份乙地的降水量比甲地多的毫米数除以甲地的降水量，算式为545-500。（2）观察统计图，可知甲乙两地五月份降水量相差最大；五月份乙地的降水量是565毫米，甲地的降水量是355毫米，
7、就用多的减少的就是相差了的毫米数。例3.下图是林场育苗基地树苗情况统计图。（1）已知柳树有3500棵，这些树苗的总数是多少棵？（2）槐树和杨树分别有多少棵？（3）松树比柏树多百分之几？2023-1-10【答案】（1）350025%=14000（棵）答：这些树苗的总数是14000棵。（2）1400017%=2380（棵）1400033%=4620（棵）答：槐树有2380棵，杨树有4620棵。（3）（15%-10%）10%=50%答：松树比柏树多50%。【解析】第（1）题根据“已知一个数的百分之几是多少，求这个数”的数量关系解答；第（2）题是“求一个数的百 分之几是多少”的问题；第（3）题是“求一
8、个数比另一个数多百分之几”的问题，应把柏树的数量看作单位“1”。例4.青年歌手比赛中，8位评委给一选手打分如下：91、94、95、95、98、96、94、95 这组数据中众数是_，中位数是_，去掉一个最高分和最低分，该选手的平均分是_分。432110（场）。（2）如果指针转动160次，大约会有_次指针停在蓝色区域，约有_次指针停在黄色区域。假设一只也没损坏，那么快递公司应该得到的运费是50021000（角）100（元），比实际得到的运费多100955（元），因为每损坏一只玻璃杯就是会少得2810（角）1（元）运费，所以损坏的玻璃杯数为515（只）。按下面用小棒摆正六边形。（1）六月份乙地的降水
9、量比甲地多多少？（2）甲乙两地哪个月降水量相差最大？（1）六月份乙地的降水量比甲地多多少？（2）甲乙两地哪个月降水量相差最大？培养学生会看、会分析、会制作简单统计图表的能力和综合运用统计知识解决实际问题的能力;理解并体会平均数、中位数和众数的意义，会求平均数、中位数与众数，并能够解释结果的实际意义。摆3个六边形需要16根小棒，可以写作53+1由此可以推理得出一般规律，即摆n个六边形需要5n+1根小棒。方法一：用A、B、C、D、E分别表示这五个班，则每两个班打一场比赛，有以下几种情况：AB，AC，AD，AE；本题中将圆分成了8等分，指针停在阴影区域的可能性大，说明阴影的份数多；下图是林场育苗基地
10、树苗情况统计图。答：一共要打10场比赛。（3）在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。2023-1-10【答案】95，95，94.83。【解析】（1）众数：是指在一组数据中出现次数最多的那个数；求法：一组数据中出现次数最多的那个数，不必计算就可求出；（2）中位数：将数据按照大小顺序排列，如果数据个数是奇数，则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数；据此解答即可；（3）平均数的求法：用所有数据相加的和除以数据的个数；据此求出中位数、众数和平均数即可。2023-1-10例5.填空。（1）指针停在这八个区域的
11、可能性各是_。（2）如果指针转动160次，大约会有_次指针停在蓝色区域，约有_次指针停在黄色区域。2023-1-10【答案】（1）；（2）20,20。【解析】（1）用1除以8就是停在每个区域的可能性是多少。（2）用转动的次数分别乘停在各个区域的可能性，就是大约会有多少次停在该区域。812023-1-10例6.一批零件有12个，其中有一个是次品（次品重一些），用天平称至少几次一定能找出来。数学思考【答案】三次【解析】第一次：从12个零件中任取6个，平均分成2份，每份3个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，那么次品即在未取的6个零件中；第二次：把未取的6个零件，平均分成2份，每份3个，分别放在天平
12、秤两端，若天平秤平衡，那么次品即在未取的3个零件中；第三次：从较重的3个零件中，任取2个，平均分成2份，每份1个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取的零件即为次品，若不平衡，较重一端即为次品，据此即可解答。例7.有10元人民币和5元人民币共15张，合计120元，其中10元的人民币有（）张。A12 B10 C9 D8【答案】选C【解析】在这个实际问题中，10元人民币和5元人民币的总数量15相当于“鸡兔同笼”问题中的头数，人民币的总价值120元相当于“鸡兔同笼”问题中的脚数。找准实际问题中的数量关系，巩固解决“鸡兔同笼”问题的解题策略。例8.32名同学围成一个正方形做游戏，每边人数相等四个顶
13、点都有人，每边各有几名同学？如果每两名同学之间间隔 2米，这个正方形的周长是多少米？【答案】（1）（32+4）4=364=9（人）答：每边各有9人（2）232=64（米）答：这个正方形的周长是64米。【解析】（1）此题属于空心方阵问题：每边人数=（四周人数+4）4，由此代入数据即可解答（2）32个同学在操场上围成一个正方形就有32个间隔，每相邻两名同学之间都是2米，所以这个正方形的周长是232米。1.制作条形统计图的一般步骤:（1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。（2）在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直线的宽度和间隔。（3）在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位
14、长度表示多少。（4）按照数据的大小画出长短不同的直条，并注明数量。2.制作折线统计图的一般步骤:（1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。（2）在水平射线上，适当分配折线的位置，确定直线的宽度和间隔。（3）在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。（4）按照数据的大小描出各点，再用线段顺次连接起来，并注明数量。3.求中位数的方法：将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据个数是奇数，则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数。它的求出不需或只需简单的计算。1.看图回答问题。（1）收入最多的是（）
15、月，支出最少的是（）月；（2）5个月一共收入（）元；（3）（）月余额最多，（）月和（）月余额同样多。【答案】（1）2，3；（2）19900；（3）3，4，5。【解析】结合生活中的收入与支出问题，体会复式条形统计图便于比较的特点。读图，获取正确的数据信息，不要把收入与支出的数据弄错了。体会复式条形统计的特征和优点。2.如图反映的是某市电子仪器一厂、二厂1995年-2005年的工业产值增长情况。请仔细观察后，回答下列问题。（1）1995年两个工厂的工业产值都是 万元。2002年一厂的工业产值是 万元，2002年二厂的工业产值是 万元。（2）1995-2002年之间，厂的工业产值增长更快。（3）从图
16、中，你还能获得什么信息？。【答案】500，2500，1500，一，2000年二厂比一厂工业产值少500万元。【解析】（1）观察统计图直接填空；（2）根据折线的坡度和统计图中标出的数据，可判断出1995-2002年之间，一厂的工业产值增长更快；（3）从图中，我还能获得信息：2000年二厂比一厂工业产值少500万元；2005年二厂比一厂工业产值多500万元，等等。3.下图是某学校教师喜欢看的电视节目统计图。(1)实验小学喜欢走进科学栏目的老师占百分之几？(2)喜欢的大风车的老师比喜欢焦点访谈的多20人，实验小学一共有多少老师？(3)喜欢新闻联播的和喜欢走进科学的一共有多少人？【答案】（1）125%
17、15%28%=32%答：喜欢走进科学栏目的老师占32%。（2）20(25%15%)=200(名)答：实验小学一共有200名老师。（3）200(28%+32%)=120(人)答：喜欢新闻联播的和喜欢走进科学的一共有120人。【解析】百分比=1-其余各项所占的百分比；总人数=多出来的人数多出的百分比；两项的总人数=总人数两项所占的百分比。2023-1-104.下面是五年级同学这学期9周每周拾到废塑料袋的情况：（1）求出这组数的平均数和中位数。（2）你认为用哪个数代表这组数据的一般水平更合适？（3）如果第10周他们拾了55个废塑料袋，这时中位数是多少？周次一二三四五六七八九 数量（个）140 150
18、 176 136 124 110 948070【答案】（1）平均数：（140+150+176+136+124+110+94+80+70）9=120（个）从小到大的顺序排列为：70，80，94，110，124，136，140，150，176，中位数为124。答：平均数为120，中位数为124。（2）因为数据中有偏大和偏小的数，用中位数更能代表这组数据的一般水平更合适。（3）从小到大的顺序排列为：55，70，80，94，110，124，136，140，150，176。中位数为：（110+124）2=117答：这时中位数是117。【解析】（1）把9周拾到的废塑料袋加起来再除以9就是这组数据的平均数；
19、把9周拾到的废塑料袋按从小到大（或从大到小的顺序）排列起来，处于中间的数就是这组数据的中位数；（2）因为数据中有偏大和偏小的数，用中位数更能代表这组数据的一般水平更合适；（3）把10周拾到的废塑料袋按从小到大（或从大到小的顺序）排列起来，处于中间的两个数的平均数就是这组数据的中位数。2023-1-105.停车场上有40辆客车，各种座位数不同，最少的有26个座，最多的有44个座位，那么在这些客车中，至少有几辆的座位数相同？2023-1-10【答案】4019=22 2+1=3（辆）答：至少有3辆。【解析】26、27、28、43、44 共有 44-26+1=19 种座位数,4019=22,则每种座位
20、数的车各 2 辆的话,还剩 2 辆,因为,剩下的 2 辆中的任一辆的座位数必然有 2 辆和它的相同,所以,至少有 2+1=3 辆的座位是相同的.2023-1-106.选择。（1）观察下面的点阵图 形，根据圆点的变化，探究其规律，则第8个图形中圆点的个 数为（）。A.25 B.26 C.27 D.29（2）观察点阵，想想，第10个点阵中有（）个点。A.110 B.108 C.1 15（1）（2）2023-1-10【答案】（1）D；（2）A 【解析】（1）可以看做一原点伸出四个端点，每次端点各加一点，可得规律公式=1+4（n-1）=4n-3。（2）观察图形可得：第一幅图中有2个点，可以写成12+1
21、；第二幅图中有6个点，可以写成22+2；第三幅图中有12个点，可以写成32+3；第四幅图中有20个点，可以写成42+4，由此可得第n幅图中的点数为：n2+n。7.一副扑克牌共54张，两人轮流拿牌，每人每次只能拿1-4张，谁拿到最后1张牌谁就赢。先拿牌的人怎样才能确保 胜利？2023-1-10【答案】解：设先 拿牌的为甲；要确保甲获胜，甲先取，由于54（4+1），商10余4，所以甲先取走4张，乙再取走n（1n4）张，接着甲取走（5-n）张；以后每次在乙取牌后，甲所取牌数均为5减去乙所取牌数之差；最后必剩54-49=5张，由乙来取，乙无论怎么取，都得给甲剩下14张，这样，甲就能最后取走剩下的所有牌
22、。【解析】设两人为甲和乙；首先理解题意，谁先取谁就能获胜，所以甲要先取，利用甲所取牌数均为5减去 乙所取牌数之差解答此题即：甲先取4张，以后当乙取n张时，甲取5-n张，所以甲可以取到第4+51，4+52，4+59=49张，这时还剩5张，当乙再取不管是1，2，3，4张，甲总能取到第54张。8.六年级5个班要举行毕业篮球赛，每两个班都要打一场比赛，一共要打多少场比赛？你能用自己喜欢的方法将思考过程与结果表示出来吗?2023-1-10【答案】答：一共要打10场比赛。【解析】这道题也是有关组合知识与有序思考的练习，同时也渗透了组合之后重复计算问题的解决，对一般学生不做过多要求，仅供学有余力的学生拓展练
23、习。方法一：用A、B、C、D、E分别表示这五个班，则每两个班打一场比赛，有以下几种情况：AB，AC，AD，AE；BC，BD，BE；CD，CE；DE。一共10种。答：一共要打10场比赛。方法二：用图示法解决。432110（场）。答：一共要打10场比赛。方法三：每个班都要和另外四个班打一场比赛，共有54=20（场），但是每个班参加比赛的次数都重复计算了一次，所以，比赛场数应该为542=10（场）。答：一共要打10场比赛。1.填空。（1）统计图可以用来直观地表示_之间的关系条形统计图可以用来表示_；折线统计图则不但可以_，而且还能反映数量的_情况；而扇形统计图则可以清楚地了解_的关系。（2）记录一周
24、的气温选用_统计图较为合适。要表示养鸡只数是养家禽只数的百分比，应选用_统计图。【答案】（1）数量，数量的多少，数量的多少，反映数量的增减变化情况，部分与整体；（2）折线，扇形。【解析】（1）首先要清楚每一种统计图的特点：条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；据此判断即可；（2）条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可。2.涂一涂。（1）在图中涂上阴影，使指针停在阴影区域的可能性大。（2）在
25、图中涂上阴影，使指针停在阴影区域的可能性小。（3）在图中涂上阴影，使指针停在阴影区域和空白区域的可能性相等。（4）在图中涂上阴影，使指针一定停在阴影区域。【答案】【解析】本题中将圆分成了8等分，指针停在阴影区域的可能性大，说明阴影的份数多；指针停在阴影区域的可能性小，说明阴影的份数少；指针停在阴影区域和空白区域的可能性相等，说明阴影部分占4份；指针一定停在阴影区域，说明8份都是阴影部分。3.某快递公司为客户运送500只玻璃杯。双方商定：每只运费是2角，如果快递公司损坏一只，不但得不到运费，还要给客户赔偿8角。最后结算时快递公司共得运费95元。请问快递公司损坏了多少只玻璃杯？【答案】假设一只也没
26、损坏，那么快递公司应该得到的运费是50021000（角）100（元），比实际得到的运费多100955（元），因为每损坏一只玻璃杯就是会少得2810（角）1（元）运费，所以损坏的玻璃杯数为515（只）。答：快递公司损坏了5只玻璃杯。【解析】解答的关键是理解假设法的算理，弄清该问题中的数量关系，实际得到的运费相当于“鸡兔同笼”问题中的头数，玻璃杯的总数相当于“鸡兔同笼”问题中的脚数。同时也要注意题目中角和元的单位换算问题，不要出错。4.如果有9个外观一样的彩球，其中有一个是次品，次品比正品略轻一些。用天平，不用砝码，最少需要称几次能保证找出次品？【答案】两次【解析】把9个彩球分成3组，每组3个。先
27、在天平两边分别放3个球，如果平衡，次品在没称的3个球中；如果不平衡，次品在较轻的一边。再把含有次品的3个球中的2个放在天平两边，如果平衡，次品是没称的那个；如果不平衡，次品是较轻的那个。这样只需要称2次。5.按下面用小棒摆正六边形。摆4个正六边形需要（）根小棒；摆10个正六边形需要（）根小棒；摆n个正六边形需要（）根小棒。【答案】21，51，5n+1。【解析】摆1个六边形需 要6根小棒，可以写作51+1；摆2个六边形需要11根小棒，可以写作52+1；摆3个六边形需要16根小棒，可以写作53+1由此可以推理得出一般规律，即摆n个六边形需要5n+1根小棒。6.六（1）班有A、B、C、D四位同学站着
28、合拍一张照片，A同学只想站在最左边，其余三人可以站任意位置，一共有哪几种不同的站法？（用自己喜欢的方法来解决）【答案】一共有6种不同的站法，即：ABCD、ABDC、ACBD、ACDB、ADBC、ADCB。【解析】这道题是有关排列知识与有序思考的练习，进一步巩固所学知识。根据题目条件“A同学只想站在最左边”，可知A同学在最左边，位置固定。因此，只需要写出B、C、D三位同学在其余三个位置上的排列情况即可。考查学生运用排列的知识与有序思考的方法解决实际问题的能力。7.停车场上有40辆客车，各种座位数不同，最少的有26个座，最多的有44个座位，那么在这些客车中，至少有几辆的座位数相同？【答案】4019
29、=22 2+1=3（辆）答：至少有3辆。【解析】6、27、28、43、44 共有 44-26+1=19 种座位数,4019=22,则每种座位数的车各 2 辆的话,还剩 2 辆,因为,剩下的 2 辆中的任一辆的座位数必然有 2 辆和它的相同,所以,至少有 2+1=3 辆的座位是相同的。8.孔雀、小羊、熊猫、小象和松鼠去旅游，它们住在宾馆的15号房间，服务员告诉它们：熊猫住的不是1、3、5号，小象住的号数是熊猫的2倍，小羊住在小象的右边，孔雀住的离熊猫最近，熊猫住在孔雀的右边。猜一猜，这几只动物各住在几号房间？【答案】孔雀住在1号房间，熊猫住在2号房间，松鼠住在3号房间，小象住在4号房间，小羊住在
30、5号房间。【解析】本题考查学生在理解题意的基础上能梳理条件之间的关系，根据条件进行推理从而得出结论。由“熊猫住的不是1、3、5号”，可以推断熊猫住的可能是2号或4号。又根据“小象住的号数是熊猫的2倍”，可以肯定熊猫住的是2号，小象住的是4号；再根据“小羊住在小象的右边”，可以肯定小羊住的是5号；根据“孔雀住的离熊猫最近，熊猫住在孔雀的右边”，可以肯定孔雀住的是1号；那么剩下的松鼠住的就是3号了。9.王刚、张红、赵亮3人同时来找老师批改作业王刚错的比较少，只需用l分钟，张红错的多一些，需用3分钟，赵亮错的最多，需用5分钟。怎样安排批改作业的顺序，才能使3人等候时间的总和最少？等候时间的 总和最少
31、是多少分钟？【答案】因为135，所以按王刚张红赵亮的顺序批改使等侯的时间和最少；等侯时间的总和为：13+32+5=14（分钟），答：等候时间的总和最少是14分钟。【解析】要使等候的时间最少，先批改用时最少的，因为135，所以按王刚张红赵亮 的顺序批改使等侯的时间和最少；这时当批改王刚的作业时需要3个人等候，当批改张红的作业时需要2个人等候，当批改赵亮的作业时只有1个人等候，等侯时间的总和为：13+32+5=14（分钟），据此解答。10.一根粗细均匀的木头长48分 米，要锯成4分米的长的木棍，每锯一次要3分钟，锯完一 次要休息2分钟，全部锯完要用多少分钟？【答案】484=12（段）12-1=11（次）311=33（分钟）2（11-1）=20（分钟）33+20=53（分钟）答：全部锯完要用53分钟。【解析】先用 总长度除以每段的长度，求出一共有多少段，然后减去1，就是需要锯的次数；用每锯一次需要的时间乘上锯的次数就是锯木头需要的时间，每锯一 次需要休息2分钟，那么锯11次需要休息（11-1）个2分钟，再由此求出休息的时间，然后加上锯木头的时间即可。
