1、1.4 角平分线的性质 1.1.掌握角平分线的性质定理和判定定理掌握角平分线的性质定理和判定定理.(.(重点重点) ) 2.2.能够运用角平分线的性质定理和判定定理解决几何问题能够运用角平分线的性质定理和判定定理解决几何问题.(.(重重 点、难点点、难点) ) 一、角平分线的性质与判定一、角平分线的性质与判定 如图如图, ,已知已知DBAB,DCAC,DBAB,DCAC, 则则_=_=90_=_=90. . DBADBA DCADCA 【思考思考】 (1)(1)如果如果1=2,1=2,那么那么BD=CDBD=CD吗吗? ?为什么为什么? ? 提示提示: :BD=CD.DBAB,DCAC,DBA
2、=DCA=90BD=CD.DBAB,DCAC,DBA=DCA=90, ,又又 1=2,AD=AD,1=2,AD=AD, ABDABDACD(AAS),BD=CD.ACD(AAS),BD=CD. (2)(2)如果如果BD=CD,BD=CD,那么那么1=21=2吗吗? ?为什么为什么? ? 提示提示: :1=2.BD=CD,AD=AD,Rt1=2.BD=CD,AD=AD,RtABDRtABDRtACD(HL),ACD(HL), 1=2.1=2. 【总结总结】(1)(1)角平分线的性质定理角平分线的性质定理: :角的平分线上的点到角的两角的平分线上的点到角的两 边的距离边的距离_. . (2)(2)
3、角平分线的判定定理角平分线的判定定理: :角的内部到角的两边距离角的内部到角的两边距离_的点的点 在角的平分线上在角的平分线上. . 相等相等 相等相等 二、三角形三条角平分线的性质二、三角形三条角平分线的性质 到三角形三条边的距离相等的点是其任意两角的到三角形三条边的距离相等的点是其任意两角的_的交的交 点点, ,此点也在另一个角的此点也在另一个角的_上上. . 平分线平分线 平分线平分线 ( (打“打“”或“”或“”)”) (1)(1)角的平分线就是角的对称轴角的平分线就是角的对称轴. . ( )( ) (2)(2)到角的两边距离相等的点有无数个到角的两边距离相等的点有无数个. . ( )
4、( ) (3)(3)到角的两边距离相等的点到角的两边距离相等的点, ,在这个角的平分线上在这个角的平分线上. . ( )( ) (4)(4)三角形三条角平分线的交点可能在三角形的外部三角形三条角平分线的交点可能在三角形的外部. . ( )( ) (5)(5)三角形三条角平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等三角形三条角平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等. . ( )( ) 知识点知识点 1 1 角平分线的性质角平分线的性质 【例例1 1】(2013(2013温州中考温州中考) )如图如图, ,在在ABCABC中中,C=90,C=90,AD,AD平分平分 CAB,CAB,交交CBCB于点于点
5、D,D,过点过点D D作作DEABDEAB于点于点E.E. (1)(1)求证求证: :ACDACDAED.AED. (2)(2)若若B=30B=30,CD=1,CD=1,求求BDBD的长的长. . 【解题探究解题探究】(1)(1)CDCD与与EDED有什么关系有什么关系? ?为什么为什么? ? 提示提示: :CD=ED.ADCD=ED.AD平分平分CAB,DEAB,C=90CAB,DEAB,C=90,CD=ED.,CD=ED. 由由CDCD与与EDED的关系能判定的关系能判定ACDACDAEDAED吗吗? ?为什么为什么? ? 提示提示: :能能.在在RtRtACDACD和和RtRtAEDAE
6、D中中,AD=AD,CD=ED,AD=AD,CD=ED,由由“HLHL” 定理可得定理可得RtRtACDRtACDRtAED.AED. (2)(2)BDBD与与EDED有什么关系有什么关系? ?为什么为什么? ? 提示提示: :BD=2ED.DEAB,DEB=90BD=2ED.DEAB,DEB=90, , 又又B=30B=30,BD=2ED.,BD=2ED. 请结合请结合CDCD的长的长, ,以及以及CDCD与与EDED的关系确定的关系确定BDBD的长的长. . 提示提示: :ED=CD=1,BD=2ED=2.ED=CD=1,BD=2ED=2. 【总结提升总结提升】角平分线图形结构中的两种数量
7、关系角平分线图形结构中的两种数量关系 如图如图,OC,OC平分平分AOB,PDOA,PEOB,DEAOB,PDOA,PEOB,DE交交OCOC于点于点F,F, 可以得到以下结论可以得到以下结论: : 1.1.角之间的相等关系角之间的相等关系: : AOC=BOC=PDF=PEF;AOC=BOC=PDF=PEF; ODP=OEP=DFO=EFO=DFP=EFP;DPO=EPO=ODF=ODP=OEP=DFO=EFO=DFP=EFP;DPO=EPO=ODF= OEF.OEF. 2.2.线段的相等关系线段的相等关系: : OD=OE,DP=EP,DF=EF.OD=OE,DP=EP,DF=EF. 知识
8、点知识点 2 2 角平分线的判定角平分线的判定 【例例2 2】如图如图, ,在四边形在四边形ABCDABCD中中,ADC+,ADC+ ABC=180ABC=180,BC=DC,CEAD,BC=DC,CEAD交交ADAD的延长的延长 线于点线于点E,CFABE,CFAB于点于点F.F.求证求证:AC:AC平分平分BAD.BAD. 【思路点拨思路点拨】 证证ABC=CDE,CFB=CEDABC=CDE,CFB=CEDCFBCFBCEDCF=CECEDCF=CE结论结论 【自主解答自主解答】ADC+ABC=180ADC+ABC=180， 又又ADC+CDE=180ADC+CDE=180，ABC=CD
9、E.ABC=CDE. CFABCFAB，CEADCEAD， CFB=CED=90CFB=CED=90. . 在在RtRtCFBCFB和和RtRtCEDCED中，中， CFBCFBCED(AAS)CED(AAS)， CF=CE,CF=CE, ACAC平分平分BAD.BAD. ABCCDE, CFBCED, BCDC, 【总结提升总结提升】证明角平分线的两种方法证明角平分线的两种方法 1.1.定义法定义法: :应用角平分线的定义应用角平分线的定义. . 2.2.定理法定理法: :应用应用“到角两边距离相等的点在角的平分线上到角两边距离相等的点在角的平分线上”来来 判定判定. .判定角平分线时判定角
10、平分线时, ,需要满足两个条件需要满足两个条件: :“垂直垂直”和和“相相 等等”. .若已知若已知“垂直垂直”, ,则设法证则设法证“相等相等”; ;若已知若已知“相等相等”, ,则则 设法证设法证“垂直垂直”. . 题组一：题组一：角平分线的性质角平分线的性质 1 1(2013(2013柳州中考柳州中考) )在在ABCABC中，中，BAC=90BAC=90， AB=3AB=3，AC=4AC=4ADAD平分平分BACBAC交交BCBC于于D D，则，则BDBD的的 长为长为( )( ) 1512 A. B. 75 2021 C. D. 75 【解析解析】选选A ABAC=90BAC=90，A
11、B=3AB=3，AC=4AC=4， BC=BC= BCBC边上的高边上的高=3=34 45=5= ADAD平分平分BACBAC， 点点D D到到ABAB，ACAC上的距离相等，设为上的距离相等，设为h h， 则则 解得解得 S S ABDABD= = 解得解得 2222 ABAC345 ， 12 5 ， ABC 111 S3h4h3 4 222 V ， 12 h 7 ， 112112 3BD 2725 ， 15 BD 7 2.(20132.(2013长沙中考长沙中考) )如图如图,BD,BD是是ABCABC的的 平分线平分线,P,P是是BDBD上的一点上的一点,PEBA,PEBA于点于点E,E
12、, PE=4cm,PE=4cm,则点则点P P到边到边BCBC的距离为的距离为 cm.cm. 【解析解析】过点过点P P作作PFBCPFBC于点于点F,F,根据根据“角平分线上的点到角的角平分线上的点到角的 两边距离相等两边距离相等”知知PF=PE=4cm,PF=PE=4cm,即点即点P P到边到边BCBC的距离为的距离为4cm.4cm. 答案答案: :4 4 3.3.如图如图, ,在在ABCABC中中,ACB=90,ACB=90,AD,AD是是ABCABC的的 角平分线角平分线,BC=10cm,BDDC=32,BC=10cm,BDDC=32,则点则点D D到到ABAB 的距离为的距离为 cm
13、.cm. 【解析解析】BC=10cm,BDDC=32,DC=4cm,BC=10cm,BDDC=32,DC=4cm, ADAD是是ABCABC的角平分线的角平分线,ACB=90,ACB=90, , 点点D D到到ABAB的距离等于的距离等于DC,DC,即点即点D D到到ABAB的距离等于的距离等于4cm.4cm. 答案答案: :4 4 4.(20134.(2013湘西中考湘西中考) )如图如图,Rt,RtABCABC中中, , C=90C=90,AD,AD平分平分CAB,DEABCAB,DEAB于于E,E,若若 AC=6,BC=8,CD=3.AC=6,BC=8,CD=3. (1)(1)求求DED
14、E的长的长. . (2)(2)求求ADBADB的面积的面积. . 【解析解析】(1)(1)在在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，ACCDACCD又又ADAD平分平分 CABCAB，DEABDEAB，DE=CDDE=CD，又，又CD=3CD=3，DE=3DE=3 (2)(2)在在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，AC=6AC=6，BC=8BC=8， AB=AB= SS ADBADB= = 2222 ACBC6810 11 AB DE10 315 22 g 题组二题组二: :角平分线的判定角平分线的判定 1.1.如图所示如图所示,OB,OB与与OCOC分别是分别是ABCAB
15、C的的ABCABC和和ACBACB的平分线的平分线, ,那那 么么BAOBAO与与CAOCAO的大小关系为的大小关系为 ( ( ) ) A.BAOCAO B.BAO=CAOA.BAOCAO B.BAO=CAO C.BAOCAO D.C.BAOCAO D.不确定不确定 【解析解析】选选B.OBB.OB与与OCOC分别是分别是ABCABC的的ABCABC和和ACBACB的平分的平分 线线,点点O O到到AB,BC,ACAB,BC,AC的距离相等的距离相等, , 点点O O也在也在BACBAC的平分线上的平分线上,BAO=CAO.,BAO=CAO. 2.2.如图所示如图所示,DEAB,DEAB于于D
16、,CEBCD,CEBC于于C,C,且且DE=CE,DE=CE,则下列结论不一则下列结论不一 定正确的是定正确的是 ( ( ) ) A.BEA.BE平分平分ABCABC B.BEB.BE平分平分CEDCED C.AE+DE=ACC.AE+DE=AC D.A=ABED.A=ABE 【解析解析】选选D.D.由由DEAB,CEBC,DE=CEDEAB,CEBC,DE=CE可判断可判断BEBE平分平分ABC;ABC;由由 条件可证得条件可证得BCEBCEBDE,BDE,所以所以BEC=BED,BEC=BED,所以所以BEBE平分平分CED.CED. AC=AE+CE,AC=AE+CE,而而CE=DE,C
17、E=DE, AC=AE+DE.DAC=AE+DE.D不一定为不一定为ABAB中点中点, ,故故EDBEDB和和EDAEDA不一定全等不一定全等, , 故得不到故得不到A=ABE.A=ABE. 3.3.如图如图, ,直线直线l1 1, ,l2 2, ,l3 3表示三条相互交叉的公路表示三条相互交叉的公路, ,现要建一个货物现要建一个货物 中转站中转站, ,要求它到三条公路的距离相等要求它到三条公路的距离相等, ,则可供选择的地址有则可供选择的地址有 ( ( ) ) A.A.一处一处 B.B.两处两处 C.C.三处三处 D.D.四处四处 【解析解析】选选D.D.因为到角的两边的距离相等的点在角的平
18、分线上因为到角的两边的距离相等的点在角的平分线上, , 所以可供选择的地点可在这三条直线围成的三角形的内角平分所以可供选择的地点可在这三条直线围成的三角形的内角平分 线的交点处或这个三角形的外角平分线的交点处线的交点处或这个三角形的外角平分线的交点处. .如图如图, ,可供选可供选 择的地址有择的地址有P P1 1,P,P2 2,P,P3 3,P,P4 4共四处共四处. . 【高手支招高手支招】有关到线段距离相等的点的位置确定有关到线段距离相等的点的位置确定, ,一般是利一般是利 用用“到角两边距离相等的点在角的平分线上到角两边距离相等的点在角的平分线上”这一定理这一定理, ,作出作出 由线段
19、所组成的角的角平分线由线段所组成的角的角平分线, ,确定点的位置确定点的位置. . 4.(20134.(2013泉州中考泉州中考) )如图如图,AOB =70,AOB =70, , QCOAQCOA于于C,QDOBC,QDOB于于D,D,若若QC = QD,QC = QD,则则 AOQ=AOQ= . . 【解析解析】QCOA,QDOB,QC = QD,QCOA,QDOB,QC = QD,点点Q Q在在AOBAOB的平分线的平分线 上上,AOQ= AOB,AOQ= AOB, AOB=70AOB=70,AOQ =35,AOQ =35. . 答案答案: :3535 1 2 5.5.已知已知: :如图
20、如图,AB=CD,AB=CD,PABPAB的面积与的面积与PCDPCD的面积相等的面积相等, ,求证求证:OP:OP 平分平分AOD.AOD. 【证明证明】过点过点P P作作PEOAPEOA于于E,PFODE,PFOD于于F,F, SS PABPAB=S =S PCDPCD, , AB ABPE= CDPE= CDPF.PF. AB=CD,PE=PF.AB=CD,PE=PF. 点点P P在在AODAOD的平分线上的平分线上( (到一个角的两边距离相等的点在这到一个角的两边距离相等的点在这 个角的平分线上个角的平分线上).). OPOP平分平分AOD.AOD. 1 2 1 2 6.6.如图如图,
21、 ,ABCABC中中,BP,CP,BP,CP分别是分别是B,CB,C的外角平分线的外角平分线. . 求证求证: :点点P P在在A A的平分线上的平分线上. . 【证明证明】过点过点P P作作PMAB,PNAC,PQBC,PMAB,PNAC,PQBC,垂足分别为垂足分别为M,N,Q.M,N,Q. 点点P P在在B B的外角的外角CBMCBM的平分线上的平分线上,PM=PQ.,PM=PQ. 点点P P在在C C的外角的外角BCNBCN的平分线上的平分线上, , PN=PQ,PM=PN,PN=PQ,PM=PN,而而PMAB,PNAC,PMAB,PNAC, 点点P P在在A A的平分线上的平分线上. . 【想一想错在哪？想一想错在哪？】如图如图,AD,AD平分平分EAF,BCEAF,BC过点过点D D垂直于垂直于AD,AD,分分 别交别交AE,AFAE,AF于于B,C.B,C.求证求证:BD=DC.:BD=DC. 提示提示: :这里错在没有正确理解角的平分线的性质这里错在没有正确理解角的平分线的性质, ,应是应是“角的平角的平 分线上的点到两边的距离分线上的点到两边的距离”, ,这里的这里的BD,CDBD,CD不是到两边的距离不是到两边的距离. .
