1、第4章 一次函数 4.1 函数和它的表示法 4.1.1 变量与函数 1.1.理解常量、变量、函数等概念理解常量、变量、函数等概念.(.(重点重点) ) 2.2.能根据两个变量间的关系式能根据两个变量间的关系式, ,给定自变量的一个值求出相应给定自变量的一个值求出相应 的函数值的函数值.(.(难点难点) ) 完成下列问题完成下列问题: : 1.1.汽车在公路上匀速行驶汽车在公路上匀速行驶, ,速度是速度是50km/h,50km/h,则汽车的行驶路程则汽车的行驶路程 s(km)s(km)与行驶时间与行驶时间t(h)t(h)之间的关系是之间的关系是_._. 2.2.正方形的边长为正方形的边长为a,a
2、,则正方形的面积则正方形的面积S S与边长与边长a a之间的关系是之间的关系是 _._. 3.3.鸡蛋的价格是鸡蛋的价格是9 9元元/kg,/kg,则需要的钱数则需要的钱数( (元元) )与所买的质量与所买的质量 x(kg)x(kg)之间的关系是之间的关系是_._. s=50ts=50t S=aS=a2 2 =9x=9x 【思考思考】(1)(1)上面的三个变化过程中各有几个变量上面的三个变化过程中各有几个变量? ? 提示提示: :都有两个变量都有两个变量. . (2)(2)上面的每个变化过程中上面的每个变化过程中, ,给出某一个变量给出某一个变量( (自变量自变量) )的值的值, ,能能 否确
3、定另一个变量的值否确定另一个变量的值? ? 提示提示: :能能. . (3)(3)上面每个变化过程中的两个变量之间是什么关系上面每个变化过程中的两个变量之间是什么关系? ? 提示提示: :是函数关系是函数关系. . 【总结总结】 (1)(1)变量变量: :在某一变化过程中在某一变化过程中, ,取值取值_的量的量. . (2)(2)常量常量: :在某一变化过程中在某一变化过程中, ,取值取值_的量的量. . (3)(3)函数函数: : 定义定义: :如果变量如果变量y y随着变量随着变量x x而变化而变化, ,并且对于并且对于x x取的每一个取的每一个 值值,y,y都有都有_的一个值与它对应的一
4、个值与它对应, ,那么称那么称_, ,记作记作y=y= _, ,其中把其中把x x叫作叫作_, ,把把y y叫作叫作_. . 发生变化发生变化 固定不变固定不变 唯一唯一 y y是是x x的函数的函数 f(x)f(x) 自变量自变量 因变量因变量 函数值函数值: : 对于自变量对于自变量x x取的每一个值取的每一个值a,a,因变量因变量y y的对应值称为的对应值称为_, ,记记 作作_. . 函数值函数值 f(a)f(a) ( (打“打“”或“”或“”)”) (1)(1)函数就是数字之间的关系函数就是数字之间的关系. . ( )( ) (2)(2)每给出函数每给出函数y y一个确定的值一个确定
5、的值, ,自变量自变量x x都有唯一的值与它对应都有唯一的值与它对应. . ( )( ) (3)(3)对于函数对于函数y=2xy=2x2 2,x,x是自变量是自变量. . ( )( ) (4)(4)若半径为若半径为r r的圆的面积为的圆的面积为S,S,则则S=S= r r2 2, ,其中常量是其中常量是2.2. ( )( ) (5)(5)当当x=1x=1时时, ,函数函数f(x)=f(x)=- -2x+12x+1的值是的值是- -1.1. ( )( ) 知识点知识点 1 1 常量与变量的确定常量与变量的确定 【例例1 1】根据下列题意写出适当的关系式根据下列题意写出适当的关系式, ,并指出其中
6、的变量和并指出其中的变量和 常量常量. . (1)(1)多边形的内角和多边形的内角和与边数与边数n n的关系的关系. . (2)(2)甲、乙两地相距甲、乙两地相距skm,skm,一自行车以一自行车以10km/h10km/h的速度从甲地驶向的速度从甲地驶向 乙地乙地, ,试用行驶时间试用行驶时间t(h)t(h)表示自行车离乙地的距离表示自行车离乙地的距离y(km).y(km). 【解题探究解题探究】 (1)(1)从从n n边形的一个顶点出发边形的一个顶点出发, ,连接对角线可以分成多少个三连接对角线可以分成多少个三 角形角形? ? 提示提示: :可以分成可以分成(n(n- -2)2)个三角形个三
7、角形. . 根据分成的三角形如何表示多边形的内角和根据分成的三角形如何表示多边形的内角和? ? 提示提示: :=(n=(n- -2)2)180180. . 上面的关系式中的变量和常量分别是什么上面的关系式中的变量和常量分别是什么? ? 提示提示: :变量为变量为_, ,常量为常量为_. . ,n,n 2,1802,180 (2)(2)y y与与s s及自行车行驶的路程有什么关系及自行车行驶的路程有什么关系? ? 提示提示: :y y是是s s与自行车行驶的路程的差与自行车行驶的路程的差. . 写出写出y y与与t t之间的关系式之间的关系式? ? 提示提示: :y=sy=s- -10t.10t
8、. 上面的关系式中的变量和常量分别是什么上面的关系式中的变量和常量分别是什么? ? 提示提示: :变量为变量为_, ,常量为常量为_. . y,ty,t s,10s,10 【总结提升总结提升】常量与变量的关系及表示常量与变量的关系及表示 1.1.关系关系: :常量和变量是两个对立而又统一的量常量和变量是两个对立而又统一的量, ,它们是对它们是对“某一某一 变化的过程变化的过程”而言的而言的, ,是相对的是相对的, ,“某一变化的过程某一变化的过程”的条件不的条件不 同同, ,常量和变量就可能不同常量和变量就可能不同. . 2.2.表示表示: :“常量常量”一般是用具体数表示一般是用具体数表示;
9、 ;“变量变量”用字母表示用字母表示. . 知识点知识点 2 2 函数的定义及求函数值函数的定义及求函数值 【例例2 2】我们知道我们知道, ,海拔高度每上升海拔高度每上升1km,1km,温度下降温度下降6 6摄氏度摄氏度. .某时某时 刻刻, ,益阳地面温度为益阳地面温度为2020摄氏度摄氏度, ,设高出地面设高出地面xkmxkm处的温度为处的温度为y y摄氏摄氏 度度. . (1)(1)写出写出y y与与x x之间的函数关系式之间的函数关系式; ; (2)(2)已知益阳碧云峰高出地面约已知益阳碧云峰高出地面约500m,500m,求这时山顶的温度大约是求这时山顶的温度大约是 多少摄氏度多少摄
10、氏度? ? (3)(3)此刻此刻, ,有一架飞机飞过益阳上空有一架飞机飞过益阳上空, ,若机舱内仪表显示飞机外若机舱内仪表显示飞机外 面的温度为面的温度为- -3434摄氏度摄氏度, ,求飞机离地面的高度为多少求飞机离地面的高度为多少km?km? 【思路点拨思路点拨】高出地面高出地面xkmxkm的温度比地面温度要低的温度比地面温度要低6x6x列出关列出关 系式系式确定给出的是自变量确定给出的是自变量( (或因变量或因变量) )的值的值, ,求相应的函数值求相应的函数值 ( (或自变量的值或自变量的值) ) 【自主解答自主解答】(1)y=20(1)y=20- -6x(x0).6x(x0). (2
11、)500m=0.5km,(2)500m=0.5km, y=20y=20- -6 60.5=17.0.5=17. (3)20(3)20- -6x=6x=- -34,34, x=9.x=9. 答答:(1)y:(1)y与与x x之间的函数关系式为之间的函数关系式为y=20y=20- -6x(x0).6x(x0). (2)(2)山顶的温度大约是山顶的温度大约是1717摄氏度摄氏度. . (3)(3)飞机离地面的高度为飞机离地面的高度为9km.9km. 【总结提升总结提升】求函数值与自变量的值的方法求函数值与自变量的值的方法 1.1.求函数值求函数值, ,就是将自变量的值代入解析式就是将自变量的值代入解
12、析式, ,求代数式的值求代数式的值. . 2.2.给出相应的函数值给出相应的函数值, ,求自变量的值求自变量的值, ,就是解方程就是解方程. . 3.3.函数解析式中的自变量的值和函数值函数解析式中的自变量的值和函数值, ,已知其中一个可求另已知其中一个可求另 一个一个. . 题组一题组一: :常量与变量的确定常量与变量的确定 1.1.从空中落下一个物体从空中落下一个物体, ,它降落的速度随时间的变化而变化它降落的速度随时间的变化而变化, ,即即 落地前速度随时间的增大而逐渐增大落地前速度随时间的增大而逐渐增大, ,这个问题中自变量是这个问题中自变量是 ( ( ) ) A.A.物体物体 B.B
13、.速度速度 C.C.时间时间 D.D.空气空气 【解析解析】选选C.C.因为速度随时间的变化而变化因为速度随时间的变化而变化, ,故时间是自变量故时间是自变量, , 速度是因变量速度是因变量. .即速度是时间的函数即速度是时间的函数. . 2.2.在在ABCABC中中, ,它的底边是它的底边是a,a,底边上的高是底边上的高是h,h,则三角形的面积则三角形的面积 S= ah,S= ah,当当a a为定长时为定长时, ,在此式中在此式中 ( ( ) ) A.S,hA.S,h是变量是变量, ,a, ,a是常量是常量 B.S,h,aB.S,h,a是变量是变量, , 是常量是常量 C.a,hC.a,h是
14、变量是变量, ,S, ,S是常量是常量 D.SD.S是变量是变量, ,a,h, ,a,h是常量是常量 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 【解析解析】选选A.A.三角形的面积三角形的面积S= ah,S= ah,当当a a为定长时为定长时, ,在此式在此式 中中S,hS,h是变量是变量, ,a, ,a是常量是常量. . 1 2 1 2 3.3.如果每本练习本如果每本练习本1.21.2元元, ,那么买那么买x x本所用的钱数本所用的钱数y=y= , ,其其 中中 是常量是常量, , 是变量是变量. . 【解析解析】由题意得由题意得,y=1.2x,y=1.2x,其中其中1.21.2是常量是常量,
15、x,y,x,y是变量是变量. . 答案答案: :1.2x1.2x 1.21.2 x,yx,y 4.4.常量与变量往往是相对的常量与变量往往是相对的, ,如速度如速度v,v,时间时间t,t,路程路程s,s,在在s=vts=vt中中, , 当当v=60m/minv=60m/min时时,v,v是是 ,s,t,s,t是是 ; ;当当t t为定值为定值 时时,s,v,s,v是是 .(.(填“常量”或“变量”填“常量”或“变量”) ) 【解析解析】根据常量、变量的定义可知根据常量、变量的定义可知, ,在在s=v ts=v t中中, ,当当v=60m/minv=60m/min 时时,v,v是常量是常量,s,
16、t,s,t是变量是变量; ;当当t t为定值时为定值时,s,v,s,v是变量是变量. . 答案答案: :常量常量 变量变量 变量变量 5.5.指出下列关系式中的变量与常量指出下列关系式中的变量与常量: : (1)(1)球的表面积球的表面积S(cmS(cm2 2) )与球的半径与球的半径R(cm)R(cm)的关系式是的关系式是S=4S=4 R R2 2. . (2)(2)声音在空气中传播的速度声音在空气中传播的速度v(m/s)v(m/s)与温度与温度t(t(C)C)之间的关系之间的关系 式是式是v=331+0.6t.v=331+0.6t. (3)(3)科学研究表明科学研究表明, ,一个一个101
17、0岁至岁至5050岁的人每天所需睡眠时间岁的人每天所需睡眠时间H(H(时时) ) 可用公式可用公式 计算出来计算出来, ,其中其中N N代表这个人的年龄代表这个人的年龄. . 110N H 10 【解析解析】(1)(1)在在S=4RS=4R2 2中中,4,4,是常量是常量,S,R,S,R是变量是变量. . (2)(2)在在v=331+0.6tv=331+0.6t中中,331,0.6,331,0.6是常量是常量,v,t,v,t是变量是变量. . (3)(3)在在 中中,110, ,110, 是常量是常量,H,N,H,N是变量是变量. . 110N H 10 1 10 题组二题组二: :函数的定义
18、及求函数值函数的定义及求函数值 1.1.下列表达式中下列表达式中,y,y不是不是x x的函数的是的函数的是 ( ( ) ) A.y+x=0A.y+x=0 B.|y|=2xB.|y|=2x C.y=|2x|C.y=|2x| D.y=2xD.y=2x2 2+4+4 【解析解析】选选B.B.因为根据函数的定义因为根据函数的定义, ,对自变量对自变量x x的每一个取值的每一个取值,y,y 都有唯一的值与其相对应都有唯一的值与其相对应. .而在而在|y|=2x|y|=2x中中, ,若若x=2,yx=2,y就有就有2 2个值与个值与 其对应其对应, ,所以所以y y不是不是x x的函数的函数. . 【归纳
19、整合归纳整合】从两个方面理解函数概念中的从两个方面理解函数概念中的“唯一唯一” (1)(1)“唯一唯一”说明一个自变量的值不能对应多个函数值说明一个自变量的值不能对应多个函数值. . (2)(2)当自变量确定时当自变量确定时, ,对应的函数值是唯一的对应的函数值是唯一的, ,但当函数值确定但当函数值确定 时时, ,对应的自变量可以是多个对应的自变量可以是多个. .如如y=xy=x2 2- -1 1中中, ,当当x=1x=1时时,y=0,y=0,而当而当 y=3y=3时时,x=,x=2.2. 2.(20132.(2013邵阳中考邵阳中考) )函数函数 中，自变量中，自变量x x的取值范围是的取值
20、范围是 ( )( ) 【解析解析】选选C C由题意得由题意得5x5x1010，解得，解得 y5x 1 11 Ax1 Bx 1 Cx Dx 55 1 x. 5 3.3.已知函数已知函数 那么那么f(f(- -1)=_1)=_ 【解析解析】 当当x=x=- -1 1时，时， 答案：答案： 2 1 f x x1 ， 2 1 f x x1 ， 2 11 f1. 2 11 1 2 4.4.已知函数已知函数 当当x=ax=a时的函数值为时的函数值为1 1，则，则a a的值为的值为 _ 【解析解析】由题意得由题意得 解得解得a=3.a=3. 当当a=3a=3时，时，a+20.a+20. 所以所以a a的值为
21、的值为3.3. 答案：答案：3 3 2x 1 f x, x2 2a 1 1, a2 5.5.一种手机交费卡一种手机交费卡, ,每月必须交月租费每月必须交月租费3030元元, ,另外每通话另外每通话1min1min要要 交费交费0.40.4元元. . (1)(1)如果每月通话时间为如果每月通话时间为x(min),x(min),每月应交费用为每月应交费用为y(y(元元),),写出写出y y 与与x x之间的关系式之间的关系式. . (2)(2)当一个月通话时间为当一个月通话时间为100min100min时时, ,应交费多少元应交费多少元? ? (3)(3)某月交话费某月交话费8282元时元时, ,
22、他该月通话时间为多少他该月通话时间为多少min?min? 【解析解析】(1)(1)每月应交话费每月应交话费y(y(元元) )与通话时间与通话时间x(min)x(min)之间的关系之间的关系 式为式为y=30+0.4x.y=30+0.4x. (2)(2)当当x=100x=100时时,y=30+0.4,y=30+0.4100=70(100=70(元元).). 因此因此, ,通话时间为通话时间为100min100min时时, ,应交费应交费7070元元. . (3)(3)当当y=82y=82时时,30+0.4x=82,x=130(min).,30+0.4x=82,x=130(min). 因此因此,
23、,当话费为当话费为8282元时元时, ,他该月通话时间为他该月通话时间为130min.130min. 【想一想错在哪？想一想错在哪？】如图如图, ,在靠墙在靠墙( (墙长为墙长为18m)18m)的地方围建一个的地方围建一个 矩形的养鸡场矩形的养鸡场, ,另三边用竹篱笆围成另三边用竹篱笆围成, ,如果竹篱笆总长为如果竹篱笆总长为35m,35m,求求: : (1)(1)鸡场的长鸡场的长y(m)y(m)与宽与宽x(m)x(m)的函数关系式为的函数关系式为 . . (2)(2)自变量的取值范围为自变量的取值范围为 . . 提示提示: :没有想到墙长没有想到墙长18m,18m,长、宽均不能超过长、宽均不能超过18m.18m.
