1、相似三角形应用举相似三角形应用举例例一、教一、教学学目标目标1.进一步巩固相似三角形的知识2.能够运用三角形相似的知识解决一些实际问题二二、教教学学重点重点及及难点难点重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量的物体的高度（或长度）难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）三三、教教学学用具用具电脑、多媒体、课件、直尺四四、相相关关资源资源 五五、教教学学过程过程（一）复习导入1回顾相似三角形的判定方法：1相似三角形的定义；2平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似定理；3判定定理一4判定定理二5判定定理三6判定定理四2相似三角形有哪些
2、性质？1对应角相等，对应边成比例；2对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；3周长的比等于相似比；4面积的比等于相似比的平方设计意图：通过复习相似三角形的判定方法和性质，及时清除学生学习中障碍，为本节 课的学习提供扎实的知识储备（二）探究新知【知识点解析】相似三角形的应用,此微课全面介绍相似在实际生活中典型应用,贴近课本,可以用于新课或复习课.1测量金字塔高度问题胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”塔的 4个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约 230 米 据考证，为建成该金字塔，共动用了 10 万人花了 20 年时间原高 146.5
3、9 米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被 风化吹蚀，所以高度有所降低在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你 什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时的条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的你知道泰勒斯是怎样测量该金字塔的高度的吗？【例 1】据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为 3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO思考：如何测出 OA 的长？学生小组讨论；师生共同交流，
4、画出示意图：通过观察示意图，使学生建立起相似图形的几何直觉，并能明确表述求 OA 的方法中蕴含的数学知识（金字塔的影子可以看成一个等 腰三角形，则 OA 等于这个等腰三角形的底边上的高与金字塔边长的一半的和）分析：把太阳光的光线近似看成平行光线，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体 的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度解：太阳光是平行光线，因此BAOEDF，又AOBDFE90，ABODEFBOOAEFFD BO 201 2 134（m）FD3OA EF因此金字塔的高度为 134 m还可以用其他方法测量吗？学生尝试用平面镜进行测量OB
5、OAEFAF如图，由ABOAEF，得从而可求得OB OA EFAF2测量河宽问题估算河的宽度，你有什么好办法吗？【例 2】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R已测得 QS=45 m，ST=90 m，QR=60 m，请根据这些数据，计算河宽 PQ学生先小组讨论；教师在这一活动中重点关注学生们探究的主动性，特别应关注那些平时学习有一定困难的学生 通过例 2 进一步完善学生们的想法，让
6、学生体会用数学知识解决 实际问题的成就感和快乐解：PQRPST90，PP，PQRPSTPQQRPSST，即PQQR60PQPQ QSSTPQ 4590，PQ90=(PQ45)60解得 PQ=90（m）因此，河宽大约为 90 m 3盲区问题【例 3】如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB=8 m 和 CD12 m，两树底部的 距离 BD=5 m，一个人估计自己眼睛距地面 1.6 m她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端 C了？分析：如图（1），设观察者眼睛的位置为点 F，画出观察者的水平视线 FG，分别交 AB，CD
7、 于点 H，K视线 FA 与 FG 的夹角AFH 是观察点 A 时的仰角类似地，CFK 是观 察点 C 时的仰角由于树的遮挡，区域和都是观察者看不到的区域（盲区）解：如图（2），假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条直线上ABl，CDl，ABCDAEHCEKEHAHEKCK，即EH8 1.66.4EH 512 1.610.4解得 EH=8（m）由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮 挡，她看不到右边树的顶端 C师生共同总结：利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度或高度问题 方法可以有：
8、立标杆、目测、利用太阳光下的影子、利用镜子设计意图：学生经历观察、测量、画图、数学建模等活动，获得了解决不能直接测量物 体的高度（或长度）的实际问题的思路和一般步骤，培养学生在实际问题中建立数学模型的 能力，从而提高学生理论联系实际解决问题的能力（三）课堂练习1如图，ABCD 是正方形，E 是 CD 的中点，P 是 BC 边上的一点，下列条件：（1）APB=EPC；（2）APE=90；（3）P 是 BC 的中点；（4）BPBC=23其 中能推出ABPECP 的有（）A4 个B3 个C2 个设计意图：考查三角形相似的判定条件D1 个2如图，在ABC 中，DEBC，DE 分别与 AB，AC 相交于
9、点 D，E若 AD=4，DB=2，则 DEBC 的值为（）A 23B 12C 34D 35设计意图：考查学生利用相似三角形的判定和性质进行推理计算的能力3如图，电灯 P 在横杆 AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为 CD，ABCD，AB=2 m，CD=5 m，点 P 到 CD 的距离是 3 m，则点 P 到 AB 的距离是（）A 5 m6B 6 m7C 6 m5D 103m4如图，测得 BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m，求河宽 AB设计意图：考查利用相似三角形的知识测量河宽6如图所示，大江的一侧有甲，乙两个工厂，它们有垂直于江边的小路，长度分别为 m 千米及 n 千米，设两条
10、小路相距 l 千米现在要在江边建立一个抽水站，把水送到甲，乙 两厂去，欲使供水管路最短，抽水站应建在哪里？设计意图：考查学生利用相似三角形的知识解决线路最短问题答案：1B解析：（1）中因为B=C，APB=EPC，所以ABPECP（2）若APE=90，则APB+EPC=90由题意可得BAP=EPC，B=C=90所以ABPECP（4）中因为 BPBC=23，3321所以 BP=BC，PC=BC所以ECPCABBP=2，且B=C=90所以ABPECP故选 B2A解析：因ADEABC，故DEADBCAD BD3C4解：ABCE，ABDECDBDABDCEC120AB6050AB=100（m）答：河宽
11、AB 为 100 m5解：如图所示，AD 垂直于江边于 D，BE 垂直于江边于 E，则 AD=m 千米，BE=n 千米，DE=l 千米 延长 BE 至 F，使 EF=BE连接 AF 交 DE 于点 C，则在 C 点建抽水站，到甲，乙两厂的供水管路 AC+CB 为最短 设 CD=x 千米，因为 RtADCRtFEC，CDAD所以，即CEEFxml xn，解得 x=m nml（千米）六、课六、课堂堂小结小结1相似三角形的应用主要有两个方面：1测高（不能直接使用皮尺或刻度尺测量的）测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决2测距（不能直接测量的两点间的距离）测量不能到达的两点间的距离，常构造相似三角形求解2利用相似三角形解决实际问题的一般步骤：1审题；2构建图形；3利用相似解决问题设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，理解解决不能直接测量物体的高度（或长度）的实际问题的思路和一般步骤七七、板板书书设计设计27.2.3 相似三角形应用举例1.测量不能达到顶部的物体高度2.测量不能直接测量的两点间的距离
