1、4.定轴转动的基本动力学方程定轴转动的基本动力学方程2()()nGnGtG tGFm amrFm amrzMzI牛顿第二定律牛顿第二定律刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律Fmaa mIz质点惯性的量度质点惯性的量度刚体转动惯性的量度刚体转动惯性的量度2zi iImr刚体对转轴的转动惯量刚体对转轴的转动惯量izzMIMechanics Of Rigid Bodies22zmVIr dmrdV刚体对转轴刚体对转轴z的转动惯量：的转动惯量：2zi iImr如果刚体质量连续分布：如果刚体质量连续分布：mi dm,q与刚体的质量有关与刚体的质量有关q 依赖于刚体中质量的分布依赖于刚体中质量的分
2、布质量分质量分布的离转轴越远，转动惯量越大布的离转轴越远，转动惯量越大;q与转轴的位置有关与转轴的位置有关;Unit:kgm2Dimension:ML2特性：特性：r:质元质元dm到转轴的距离到转轴的距离dmr21INi iimrdmr2I 遍及刚体中所遍及刚体中所有质元的积分有质元的积分一维刚体一维刚体(细棒，忽略棒的粗细）细棒，忽略棒的粗细）:dm=dx二维刚体二维刚体(刚体为无限薄的面刚体为无限薄的面):dm=dA三维刚体三维刚体:dm=dVdmrrimizz圆环圆环I=mR2 RmO 圆柱圆柱 221mRI LR2121mlI 细圆棒细圆棒l132Iml细圆棒细圆棒lR圆球圆球 252
3、mRI 球壳球壳R232mRI 圆筒圆筒)(212221RRmI R2R1l质量为质量为m的刚体对质心轴的转动惯量：的刚体对质心轴的转动惯量：ICl刚体对与质心轴平行的转轴刚体对与质心轴平行的转轴 z 的转动惯量：的转动惯量：Iz=IC+md2平行轴定理平行轴定理质心轴质心轴:通过刚体质心的转轴通过刚体质心的转轴d：两轴间的垂直距离：两轴间的垂直距离CdzIzICzCoxyzyxdm(xc,yc,zc)(x,y,z)(x,y,z)dProof:dmyxdmrIz)(222代入代入 x=x+xC 和和 y=y+yC 得得222222222)()()()(mdIdmyydmxxdmyxdmyxdm
4、yyxxICCCCCCCzICmd20Cxm0Cym例：细杆，对过杆的一端且与杆垂直的轴例：细杆，对过杆的一端且与杆垂直的轴IEND=IC+md2Ld=L/2mxCM2121ImLC222312121ImLLmmLENDICIEND 刚体是厚度为无穷小的薄板刚体是厚度为无穷小的薄板建立建立O-xyz坐标系，坐标系，z轴垂直于薄板平面，轴垂直于薄板平面，x和和y轴位于薄板平轴位于薄板平面内面内Iz=Ix+IyzyxO 垂直轴定理垂直轴定理Proof:zyxroxydmxyzIIdmzydmzxdmydmxdmyxdmrI)()()(222222222 z=0IyIxMab例例:2121MaIy2
5、121MbIx)(22121baMIz如果刚体是由一些简单的几何体如果刚体是由一些简单的几何体(如圆盘、球、细杆如圆盘、球、细杆)组成，组成，则刚体对任意轴的转动惯量可用以下方法求得则刚体对任意轴的转动惯量可用以下方法求得:2.刚体的总转动惯量等于各部分转动惯量之和刚体的总转动惯量等于各部分转动惯量之和1.先求出各个部分对该转轴的转动惯量；先求出各个部分对该转轴的转动惯量；RRM例例:2RM RRMM-MRRMRM4122222 222212213213)2()2(MRRMRMMRIMechanics Of Rigid BodiesABDWGGABDW刚体处于不同方位时刚体处于不同方位时,重力
6、作重力作用线都要通过的那一点用线都要通过的那一点.()0GiiiGiiiGiMrWrrWrWrWGiWWGririrOiiWk,WWkiiWW i iGrkrkWWi iGrrWWgmWii 重心坐标与质心坐标同重心坐标与质心坐标同Mechanics Of Rigid BodiesOLBvsvBOLBvsvB=0角动量守恒恢复系数角动量守恒恢复系数质点和刚体组成的系统：质点和刚体组成的系统：对转轴的角动量守恒对转轴的角动量守恒动量守恒？动量守恒？Mmm对定轴对定轴O的角动量守恒的角动量守恒:OLBvsvBOLBvsvB=0恢复系数恢复系数:OssILmLmvv231MLIOMmsBssBeev
7、vvvv)(LB vMechanics Of Rigid Bodiesu基本动力学方程基本动力学方程FaMizizCmI求解刚体定轴转动的动力学问题的方法：求解刚体定轴转动的动力学问题的方法：力力-质量质量-加速度方法加速度方法+冲量冲量-动量方法：动量方法：u利用牛顿运动定律描述问题中质点的运动利用牛顿运动定律描述问题中质点的运动u刚体对固定轴的转动惯量刚体对固定轴的转动惯量Izu定轴转动中角量与线量之间的关系：定轴转动中角量与线量之间的关系：rv2aatnrrizCzidtmdtI FMv1T2T理想滑轮：理想滑轮：12TT1T2TRm,Ia2112a=RTTT RT RI例题例题 7.3
8、-1(课本课本228页，例题页，例题4)放水用的弧形闸门，半径为放水用的弧形闸门，半径为R，质量为，质量为m，质心，质心C距转轴距转轴O的距的距离为离为 ，对，对O轴的转动惯量为轴的转动惯量为 ,开始提升闸门时开始提升闸门时,弧弧形部分加速度形部分加速度 ，(不计摩擦不计摩擦)，求，求23R279OImRa0.1g求开始提升时的瞬时，钢丝绳求开始提升时的瞬时，钢丝绳对弧形闸门的拉力和支点对闸对弧形闸门的拉力和支点对闸门钢架的支承力门钢架的支承力.若以同样加速度提升同样重量若以同样加速度提升同样重量的平板闸门需拉力是多少？的平板闸门需拉力是多少？图图(a)TF图图(b)OC23Ra0.1g解解（
9、1）以弧形闸门及钢架为隔）以弧形闸门及钢架为隔离体，受力如图所示离体，受力如图所示.建立直角坐建立直角坐标系标系Oxy，TNcmFFWaaaNxTNcxycyFmFmgFml质心运动定理质心运动定理 l转动定理转动定理22739TzF RmgRmR279OImRxyONFTFWR23RCca即起动瞬时绳对闸板的拉力为即起动瞬时绳对闸板的拉力为 ，支点，支点O 对闸门钢对闸门钢架的支承力竖直向上，大小等于架的支承力竖直向上，大小等于29mg/90.mg9067mgFy9029N mgF9067T 0N xFa0cxaR2a3cyR起动时起动时aaNxTNcxycyFmFmgFm22739TF R
10、mgRmRxyONFTFWR23RCcaTF W图图(b)(2)用用 表示提升平板形闸门所用的拉力，对闸门应表示提升平板形闸门所用的拉力，对闸门应用牛顿第二定律，得：用牛顿第二定律，得：TF mgF1011T 比较上面结果，可见提升弧形闸门比较上面结果，可见提升弧形闸门所用的拉力较小所用的拉力较小.mamgF T1m2mRM,1mgm11TRM,1T2T2T2m解：解：am gTm111 （1）aTm22 （2 2）()TT RI12（3 3）IMR212质量为质量为 m1 和和m2 两个物体，跨在定滑两个物体，跨在定滑轮上轮上,m2 放在光滑的桌面上，滑轮半放在光滑的桌面上，滑轮半径为径为
11、R，质量为，质量为 M，求：，求：m1 下落的下落的加速度，和绳子的张力加速度，和绳子的张力 T1、T2。aR（4 4）例题例题 7.3-3 联立方程，求解得：联立方程，求解得：11122am gmmM112211122()m mM gTmmM1221122m m gTmmM当当 M=0 时：时：121212m m gTTmm1m2mRM,Mechanics Of Rigid BodiesMechanics Of Rigid Bodies外力对定轴转动的刚体所作的功可用外力对转轴的力矩所做的外力对定轴转动的刚体所作的功可用外力对转轴的力矩所做的功来计算功来计算.FrFiiiiidAdtv()(
12、)iFF rrFiiiiiv()()AB CCAB()()iiiiirFrFMiAdtdtdt iiiMMkMkizMkddt()izAMdi力矩的功力矩的功OzivooxyridiFidr()izAMdi力矩的功力矩的功当刚体作定轴转动时，外力所作的功当刚体作定轴转动时，外力所作的功=外力对转轴的力矩对角坐标的积分外力对转轴的力矩对角坐标的积分微分形式：微分形式：()(izizdAAddMdMii()()()izizddpAMMdtdti力矩的功率：力矩的功率：OzivooxyridiFidrMechanics Of Rigid Bodies当刚体绕定轴转动时当刚体绕定轴转动时,其动能为所有
13、质点作圆周其动能为所有质点作圆周运动动能的总和运动动能的总和.212kzEI212kkiiiEEmv221()2i imr221122iiiiEmmk2ivr任意质元的动能：任意质元的动能：1.定轴转动刚体的动能定轴转动刚体的动能 刚体的转动动能：刚体的转动动能：OzivooxyridiFidr2.定轴转动刚体的动能定理定轴转动刚体的动能定理 根据质点系动能定理：根据质点系动能定理：.int.0()()iextikkAAEE2211022()izzzMdII转动动能的增量等于刚体所受外力矩做功的代数和。转动动能的增量等于刚体所受外力矩做功的代数和。刚体定轴转动的动能定理：刚体定轴转动的动能定理
14、：对于作定轴转动的刚体：对于作定轴转动的刚体：.2int.()0()1(2)IiextizkziEAMdA2.定轴转动刚体的动能定理定轴转动刚体的动能定理 动能定理的微分形式：动能定理的微分形式：212()()izzdMddI由微分形式可指导出转动定理由微分形式可指导出转动定理:212()()()izizzzzdddMMIIIdtdtdt转动定理和动能定理不是相互独立的：转动定理和动能定理不是相互独立的：p当需要计算当需要计算 时时 转动定理转动定理p当需要计算当需要计算 时时 动能定理动能定理izzMIMechanics Of Rigid Bodies刚体刚体和地球所组成的物体系：和地球所组
15、成的物体系：Epg =W yG =mg yG 重力对质点系作的功重力对质点系作的功=重力的合力对质点系的质心所重力的合力对质点系的质心所作的功作的功重力势能重力势能=重力的合力对质点系质心所作的功的负值重力的合力对质点系质心所作的功的负值装置如图所示，均质圆柱体质量为装置如图所示，均质圆柱体质量为m1，半径为，半径为R，重锤质量，重锤质量为为m2，最初静止，后将重锤释放下落并带动柱体旋转，求重，最初静止，后将重锤释放下落并带动柱体旋转，求重锤下落锤下落 h 高度时的速率高度时的速率v，不计阻力，不计绳的质量及伸长，不计阻力，不计绳的质量及伸长.1m2mhR方法方法1.利用质点和刚体转动的动能定
16、理求解利用质点和刚体转动的动能定理求解.22212m ghThmv22211124TRIm R例题例题1a TTm2gRRvhR 21222m ghmmv方法方法2.利用质点系动能定理求解利用质点系动能定理求解将转动柱体、下落物体视作质点系将转动柱体、下落物体视作质点系 222222221112211 1()22 2m ghmImm Rvv1m2mhRa TTm2gRRvhR 21222m ghmmv内力内力T：对转动柱体作正功：对转动柱体作正功：TR对下落物体作负功：对下落物体作负功：Th内力的总功为零内力的总功为零均质杆的质量为均质杆的质量为m，长为，长为l,一端为光滑的支点一端为光滑的支
17、点.最初处于水平最初处于水平位置，释放后杆向下摆动，如图所示位置，释放后杆向下摆动，如图所示.O例题例题2（1）求杆在图示的竖直位置时，其下端）求杆在图示的竖直位置时，其下端点的线速度点的线速度v；（2）求杆在图示的竖直位置时，杆对支）求杆在图示的竖直位置时，杆对支点的作用力点的作用力.NFne te CEp=0W解解(1)由机械能守恒得由机械能守恒得221 Imghc lhc21 231mlI 3lglv3gl(2)根据质心运动定理根据质心运动定理camWF NtNtcmaF Nn2ccFmgmrvNFne te CEp=0W杆处于铅直位置时不受力矩作用，由转动定理，角杆处于铅直位置时不受力
18、矩作用，由转动定理，角加速度为零，所以加速度为零，所以0Nt F 11,3222ccrlgllvmgmgmgFF2523NnN 方向向上方向向上.求杆在下摆过程中任一位置处，支点对杆的作用力求杆在下摆过程中任一位置处，支点对杆的作用力 例题例题2 拓展：拓展：O 转动定理：转动定理：NFte CWne 090cos2lmgI3cos2gl机械能守恒机械能守恒21sin22lmgI3singl质心运动定理质心运动定理camWF NaaNnNtsincosCnCtFmgmFmgmNFte CWne 0903cos2gl3singlaa23sin223cos24CnCtlglgNnNt35(sinsin)sin2337(coscos)cos44mgFmgmgFmg
