1、6019光学信息技术原理及应用常用函数常用函数 卷积与相关卷积与相关(二二)6019复习脉冲函数复习脉冲函数(函数函数)(定义定义,性质性质,物理含义物理含义)光学中几种常见的函数光学中几种常见的函数矩形函数矩形函数,阶跃函数阶跃函数,三角函数等三角函数等学习内容学习内容:6019函数的概念和定义函数的概念和定义6019空间空间函数的图示函数的图示xyz(x,y)0 x0(x)(x+a)(x-a)a-a6019函数的基本性质和物理意义函数的基本性质和物理意义6019其它常用函数和傅立叶变换其它常用函数和傅立叶变换矩形函数矩形函数x rect(x)01/2-1/216019Sinc 函数函数xS
2、inc(x/a)0-aa2a-2a3a-3a主瓣宽度主瓣宽度:2a 描述单缝和矩孔的描述单缝和矩孔的夫琅和费衍射振幅分布夫琅和费衍射振幅分布,其平方表示衍射光强其平方表示衍射光强6019梳状函数梳状函数 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5xComb(x)Comb(x)=(x-n)(n=-)6019（1）常数）常数c（2）函数）函数（3）余弦函数）余弦函数（4）正弦函数）正弦函数 xccfF00exp2xxxjf xF0001cos22xxf xffffF0001sin22xxf xffffFxf02cosxf02sin常用函数及其常用函数及其傅里叶变换傅里叶变换（1 1）60
3、19（5）阶跃函数）阶跃函数 用于表示开关用于表示开关（6）符号函数）符号函数 用于改变极性用于改变极性 （正负号）（正负号）0,00,210,1xxxxstep 1122xxstep xfjfF 0,10,00,1sgnxxxx 1sgnxxjfF常用函数及其常用函数及其傅里叶变换傅里叶变换（2 2）6019（7）矩形函数）矩形函数 表示狭缝表示狭缝（8）三角形函数）三角形函数 表示矩形光表示矩形光 瞳瞳OTF其它,021ax，axrectsinsincxxxafxrectaafaaafF其它,01triax，axax222sintrisincxxxafxaafaaafF常用函数及其常用函数
4、及其傅里叶变换傅里叶变换（3 3）6019（9）梳状函数）梳状函数 用来表示光栅，抽样用来表示光栅，抽样（10）高斯函数）高斯函数 用于表示激光光束光强分布用于表示激光光束光强分布 nnxxcomb combcombxxfF2expx22expexpxxfF常用函数及其常用函数及其傅里叶变换傅里叶变换（4 4）6019卷积的定义卷积的定义 对于两个复值函数对于两个复值函数 和和 ，其卷积定义为其卷积定义为 式中式中*表示卷积运算。表示卷积运算。)(xh)(xf )(*)()(xhxfdxhfxg6019原函数原函数折叠折叠位移位移相乘相乘得到被积函数得到被积函数 其它）其它）(0)10(21x
5、h(0)10(1)(xxxf卷积过程图示（卷积过程图示（1）6019卷积过程图示（卷积过程图示（2）6019展宽展宽平滑化：被积函数经平滑化：被积函数经过卷积运算，其微细过卷积运算，其微细结构在一定程度上被结构在一定程度上被消除，函数本身的起消除，函数本身的起伏变得平缓圆滑。伏变得平缓圆滑。卷积过程的两个效应卷积过程的两个效应60191、交换律、交换律2、分配律、分配律3、结合律、结合律这几个定律不难证明。这几个定律不难证明。xfxhxhxf*)(*xhxwxhxvxhxwxv*)(*xhxwxvxhxwxv*)(*卷积运算定理卷积运算定理6019 任意函数和任意函数和脉冲函数的卷积：脉冲函数
6、的卷积：原点处的篩选性质有原点处的篩选性质有 任意函数和位于任意函数和位于 处的处的脉冲函数的卷积得到脉冲函数的卷积得到 这个性质有助于对于重复的物理结构的描述，如光栅、这个性质有助于对于重复的物理结构的描述，如光栅、双缝等双缝等 dxfxxf)(*xfdxfxxf)(*000)(*xxfdxxfxxxf0 x包含包含函数的卷积函数的卷积-函数的移位函数的移位6019理想的物象关系是点点对应，物象共轭。理想的物象关系是点点对应，物象共轭。实际成象时产生一个弥散斑。由物点和附近的无数个实际成象时产生一个弥散斑。由物点和附近的无数个点共同产生点共同产生如果每个点的贡献只与该点与物点的距离有关，与具
7、如果每个点的贡献只与该点与物点的距离有关，与具体象（高斯物点所成的）的位置无关体象（高斯物点所成的）的位置无关像点的总光能表示为像点的总光能表示为 000dxxxhxfxf卷积的物理意义卷积的物理意义-透镜的非相干成象透镜的非相干成象6019两个函数的互相关定义为：两个函数的互相关定义为：与卷积的差别在于相关运算中后一个函数取复共轭，且不需要折叠，与卷积的差别在于相关运算中后一个函数取复共轭，且不需要折叠，不满足交换律。互相关运算是两个函数间相似性的度量。不满足交换律。互相关运算是两个函数间相似性的度量。函数本身的自相关定义为函数本身的自相关定义为自相关有一个重要性质：它的模在原点处最大，即自相关有一个重要性质：它的模在原点处最大，即这个性质常常用来作为图象（信号）识别的判据这个性质常常用来作为图象（信号）识别的判据)()()(xgxfdxgfxrfg)()()(xfxfdxffxrff 0ffffrxr相关运算相关运算6019互相关在两函数有相似性时出现峰值，自相关则会在位移互相关在两函数有相似性时出现峰值，自相关则会在位移到重叠时出现极大值到重叠时出现极大值互相关与自相关比较互相关与自相关比较
