1、第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析6.1 6.1 概述概述测试工作的最终目的测试工作的最终目的 通过测试数据认识事物内在规律，研究事物通过测试数据认识事物内在规律，研究事物相互关系和预测事物发展趋势的重要依据相互关系和预测事物发展趋势的重要依据,并在此并在此基础上对已获得的数据进行科学的处理，才能去基础上对已获得的数据进行科学的处理，才能去粗取精、去伪存真、由表及里，从中提取能反映粗取精、去伪存真、由表及里，从中提取能反映事物本质和运动规律的有用信息。事物本质和运动规律的有用信息。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析6.2 6.2 实验数据的表述方法实验数据的
2、表述方法 实验数据最终必然要以人们易于接受的实验数据最终必然要以人们易于接受的方式表述出来，常用的表述方法有方式表述出来，常用的表述方法有:表格法、图解法和方程法三种。表格法、图解法和方程法三种。表述方法的基本要求是：表述方法的基本要求是：确切地将被测量的变化规律反映出来；确切地将被测量的变化规律反映出来；便于分析和应用便于分析和应用;第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析6.2.1 表格法表格法 表格法是把被测量数据精选、定值，按一表格法是把被测量数据精选、定值，按一定的规律归纳整理后列于一个或几个表格定的规律归纳整理后列于一个或几个表格中，该方法比较简便、有效、数据具体、中，
3、该方法比较简便、有效、数据具体、形式紧凑、便于对比。形式紧凑、便于对比。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析列表时应注意以下几个问题：列表时应注意以下几个问题：数据的写法要整齐规范，数值为零时要记数据的写法要整齐规范，数值为零时要记“0”0”，不可遗漏；试验数据空缺时应记为，不可遗漏；试验数据空缺时应记为“”；表达力求统一简明。同一竖行的数值、小数表达力求统一简明。同一竖行的数值、小数点应上下对齐。当数值过大或过小时，应以点应上下对齐。当数值过大或过小时，应以1010n n表示，表示，n n为正、负整数；为正、负整数；根据测量精度的要求，表中所有数据有效数根据测量精度的要求，表
4、中所有数据有效数字的位数应取舍适当字的位数应取舍适当。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析6.2.2 图解法图解法 图解法是把互相关联的实验数据按照自变图解法是把互相关联的实验数据按照自变量和因变量的关系在适当的坐标系中绘制量和因变量的关系在适当的坐标系中绘制成几何图形，用以表示被测量的变化规律成几何图形，用以表示被测量的变化规律和相关变量之间的关系。和相关变量之间的关系。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析曲线描绘时应注意如下几个问题曲线描绘时应注意如下几个问题：合理布图；合理布图；正确选择坐标分度；正确选择坐标分度；灵活采用特殊坐标形式；灵活采用特殊坐标形式
5、；正确绘制图形；正确绘制图形；图的标注要规范；图的标注要规范；第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析6.2.3 6.2.3 经验公式经验公式 通过试验获得一系列数据，这些数据可通过试验获得一系列数据，这些数据可用图表法表示出函数之间的关系，也可用图表法表示出函数之间的关系，也可用与图形相对应的数学公式来描述函数用与图形相对应的数学公式来描述函数之间的关系，从而进一步用数学分析的之间的关系，从而进一步用数学分析的方法来研究这些变量之间的相关关系。方法来研究这些变量之间的相关关系。该数学表达式称为经验公式，又称为回该数学表达式称为经验公式，又称为回归方程。归方程。第第6 6章章 测试
6、结果及误差分析测试结果及误差分析根据变量个数以及变量之间的关系根据变量个数以及变量之间的关系不同，常用的回归方程有：不同，常用的回归方程有：一元线性回归方程（直线拟合）一元线性回归方程（直线拟合）;一元非线性回归方程（曲线拟合）一元非线性回归方程（曲线拟合）;多元线性回归和多元非线性回归多元线性回归和多元非线性回归;第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析6.3 回归分析及其应用回归分析及其应用 6.3.1 6.3.1 一元线性回归一元线性回归 一元线性回归是最基本的回归方法，也是最常一元线性回归是最基本的回归方法，也是最常用的回归方法之一。用的回归方法之一。1.1.线性相关线性相
7、关 所谓相关指变量之间具有某种内在的物理联系。所谓相关指变量之间具有某种内在的物理联系。对于确定性信号来说，两个变量之间可用函数对于确定性信号来说，两个变量之间可用函数关系来描述，两者一一对应。而两个随机变量关系来描述，两者一一对应。而两个随机变量之间不一定具有这样确定性的关系，可通过大之间不一定具有这样确定性的关系，可通过大量统计分析发现它们之间是否存在某种相互关量统计分析发现它们之间是否存在某种相互关系或内在的物理联系。系或内在的物理联系。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析 现讨论两个随机变量现讨论两个随机变量x x、y y数值对的总体。每一对值数值对的总体。每一对值在在
8、xyxy坐标中用点来表示。坐标中用点来表示。图图6-16-1（a a）中，各对）中，各对x x和和y y值之间没有明显的关系，值之间没有明显的关系，两个变量是不相关的。两个变量是不相关的。图图6-16-1（b b）中）中x x和和y y具有确定的关系，大的具有确定的关系，大的x x值对值对应大的应大的y y值，小的值，小的x x值对应小的值对应小的y y值，所以说这两个值，所以说这两个变量是相关的。变量是相关的。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析 如希望用直线形式来表示如希望用直线形式来表示x x和和y y的近似函数的近似函数关系，则可使关系，则可使y y的实际值和用直线来近
9、似的的实际值和用直线来近似的y y预预计值之差的均方值为最小，见图计值之差的均方值为最小，见图6-26-2所示。所示。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析2 2.线性回归方程的确定线性回归方程的确定 若所获取的一组xi、y i数据可用线性回归方程来描述，确定回归方程的方法较多，常用“最小二乘法”。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析 假设有一组实测数据，含有假设有一组实测数据，含有N对对xi、y i值，用回归值，用回归方程来描述：方程来描述：由上式可计算出与自变量由上式可计算出与自变量xi对应的回归值对应的回归值 ,即即 (i=1，2，N)。由于数据的误差和公式
10、的近似性，回归值与对应由于数据的误差和公式的近似性，回归值与对应测量值测量值y i间会有一定的偏差，偏差计算公式：间会有一定的偏差，偏差计算公式：通常该差值称为剩余误差，表征了测量值与回归通常该差值称为剩余误差，表征了测量值与回归值的偏离程度。剩余误差越小，测量值与回归值值的偏离程度。剩余误差越小，测量值与回归值越接近。根据最小二乘法理论，若剩余误差的平越接近。根据最小二乘法理论，若剩余误差的平方和为最小，即方和为最小，即 iy bkxyii bkxy iiiyyv 第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析 意味着回归值的平均偏差程度最小，回归意味着回归值的平均偏差程度最小，回归直
11、线为最能代表测量数据内在关系的曲线。直线为最能代表测量数据内在关系的曲线。根据求极值的原理应有根据求极值的原理应有min2121)()(QbkxyyyQiNiiiNii0)(21iiNiixbkxykQ0)(21bkxybQiNii 第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析解此方程组有：)(1yyxxLNiiixy)(1111NiiNiiiNiiyxNyxNiiyNy11 NiixxxxL12)(2112)(1NiiNiixNx NiixNx11 第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析则得则得:回归方程的另一种形式为：回归方程的另一种形式为：xxxyLLk xkyb
12、xxyyk)(xxkyy 第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析3.回归方程的精度问题 用回归方程根据自变量用回归方程根据自变量x x的值，求因变量的值，求因变量y y的值，其的值，其精度如何，即测量数据中精度如何，即测量数据中yi yi和回归值的差异可能有和回归值的差异可能有多大，用回归方程的剩余标准偏差来表征，有多大，用回归方程的剩余标准偏差来表征，有qNvqNyyqNQNiiNiii1212)(式中，式中，N N为测量次数，或成对测量数据的对数；为测量次数，或成对测量数据的对数；q q为回归方程中待定常数的个数为回归方程中待定常数的个数。越小表示回归方程对测试数据拟合越好。
13、越小表示回归方程对测试数据拟合越好。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析6.3.2 6.3.2 多元线性回归多元线性回归 设因变量设因变量y y依赖若干个变量依赖若干个变量x xj j(j j=1=1、2 2、m m)变化而变化，按照间接测量的原理，对上述变化而变化，按照间接测量的原理，对上述变量进行测量，可获得变量进行测量，可获得 X X1 1、X X2 2、X Xm m、y y 数据对，此时回归方程可表示为：数据对，此时回归方程可表示为：mmxkxkxkky22110 第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析y yi i在某点上与上述回归方程差值为在某点上与上述
14、回归方程差值为:)(22110mimiiiiixkxkxkkyyyy利用最小二乘原理，可求出系数利用最小二乘原理，可求出系数k k0 0、k k1 1、k k2 2、k km m，即有：，即有：0)()()(21202miiikykyky 第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析得到正规方程组得到正规方程组:miiiiiiimmimiimiimimimiiiiiiimiiiiiiimiiixyxyxyykkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxn212102122212212111121 上式可解出回归系数上式可解出回归系数k k0 0、k k1 1、k k2 2、k
15、 km m 。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析Snyxxyknininiijijiimjj1111)(Lnyyniinii )(2112相关系数相关系数 LS2 标准差标准差 1mnSL式中，式中，m m为自变量个数，为自变量个数，n n为测量次数为测量次数。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析6.3.3 6.3.3 非线性回归非线性回归 在测试过程中，被测量之间并非都是线性关系，在测试过程中，被测量之间并非都是线性关系，很多情况下，它们遵循一定的非线性关系。求解很多情况下，它们遵循一定的非线性关系。求解非线性模型的方法通常有：非线性模型的方法通常有：利用变
16、量变换把非线性模型转化为线性模型。利用变量变换把非线性模型转化为线性模型。利用最小二乘原理推导出非线性模型回归的正利用最小二乘原理推导出非线性模型回归的正规方程，然后求解。规方程，然后求解。采用直接最优化方法，以残差平方和为目标函采用直接最优化方法，以残差平方和为目标函数，寻找最优化回归函数。数，寻找最优化回归函数。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析1.1.模型转换模型转换 一些常用非线性模型，可用变量变换的方一些常用非线性模型，可用变量变换的方法使其转化为线性模型，如指数函数法使其转化为线性模型，如指数函数BxAye两边取对数得：两边取对数得：BxAy lnlnty lnC
17、A ln令令，则方程可化为，则方程可化为 CBxt第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析对幂函数对幂函数 BAxy xBAylnlnln ytln1xtln2ACln ，CBtt21 。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析2.2.非线性回归分析简介非线性回归分析简介 并不是所有非线性模型都能用上述方法进行转化。如当 ，就无法用上述办法来处理，可采用多项式回归方法来解决。对于若干测量数据对（xi，yi），经绘图发现其间存在着非线性关系时，可用含m+1个待定系数的m阶多项式来逼近。即：axbyC0mimiiixkxkxkky2210第第6 6章章 测试结果及误差分析测
18、试结果及误差分析 将上式作如下变量置换，将上式作如下变量置换，令令 ，即可将上式转化为多元线性回归模型：即可将上式转化为多元线性回归模型：iixx122iixxmimixxmmmixkxkxkky222110第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析6.4 误差的定义及分类误差的定义及分类 6.4.1 6.4.1 误差的概念误差的概念 1.1.真值真值 真值即真实值，是指在一定时间和空间条件下，真值即真实值，是指在一定时间和空间条件下，被测物理量客观存在的实际值。一般说的真值是被测物理量客观存在的实际值。一般说的真值是指理论真值、规定真值和相对真值。指理论真值、规定真值和相对真值。理
19、论真值：理论真值也称绝对真值。理论真值：理论真值也称绝对真值。规定真值：国际上公认的某些基准量值。规定规定真值：国际上公认的某些基准量值。规定真值也称约定真值。真值也称约定真值。相对真值：是指计量器具按精度不同分为若干相对真值：是指计量器具按精度不同分为若干等级，上一等级的指示值即为下一等级的真值，等级，上一等级的指示值即为下一等级的真值，此真值称为相对真值。此真值称为相对真值。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析 2.误差 误差存在于一切测量中，误差定义为测量结果减去被测量的真值0 xxx xx0 x式中式中 测量误差（又称真误差）；测量误差（又称真误差）；测量结果（由测量所
20、得到的被测量值）；测量结果（由测量所得到的被测量值）；被测量的真值。被测量的真值。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析 3.3.残余误差残余误差 测量结果减去被测量的最佳估计值测量结果减去被测量的最佳估计值xx v v式中式中v残余误差（简称残差）；残余误差（简称残差）；x 真值的最佳估计（也即约定真值）。真值的最佳估计（也即约定真值）。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析 第第6 6章章 测试结果及误差分析之二测试结果及误差分析之二6.4.2 6.4.2 误差的分类误差的分类 1.1.产生误差的主要因素：产生误差的主要因素：工具误差：它包括试验装置、测量仪器所
21、带来的工具误差：它包括试验装置、测量仪器所带来的误差；误差；方法误差：这种误差亦称为原理误差或理论误差；方法误差：这种误差亦称为原理误差或理论误差；环境误差：在测量过程中，因环境条件的变化而环境误差：在测量过程中，因环境条件的变化而产生的误差。产生的误差。人员误差：测量者生理特性和操作熟练程度的优人员误差：测量者生理特性和操作熟练程度的优劣引起的误差称为人员误差。劣引起的误差称为人员误差。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析 2.2.误差的分类误差的分类 按照误差的特点和性质进行分类，可分按照误差的特点和性质进行分类，可分为随机误差、系统误差、粗大误差。为随机误差、系统误差、粗
22、大误差。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析 随机误差随机误差 产生误差的原因及误差数值的大小、正负是随机的，没有确定的规律性，或者说带有偶然性，这样的误差就称为随机误差。随机误差就个体而言，从单次测量结果来看是没有规律的，但就其总体来说，随机误差服从一定的统计规律。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析.系统误差系统误差 在相同的测量条件下，多次测量同一物理量时，误差不变在相同的测量条件下，多次测量同一物理量时，误差不变或按一定规律变化着，这样的误差称之为系统误差。系统或按一定规律变化着，这样的误差称之为系统误差。系统误差等于误差减去随机误差，是具有确定性规律的
23、误差，误差等于误差减去随机误差，是具有确定性规律的误差，可以用非统计的函数来描述。可以用非统计的函数来描述。系统误差又可按下列方法分类。系统误差又可按下列方法分类。按对误差的掌握程度可分为：已定系统误差和未定系统按对误差的掌握程度可分为：已定系统误差和未定系统误差。误差。按误差的变化规律可分为：定值系统误差、线性系统误按误差的变化规律可分为：定值系统误差、线性系统误差、周期系统误差和复杂规律系统误差。差、周期系统误差和复杂规律系统误差。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析 粗大误差粗大误差 粗大误差是指那些误差数值特别大，超出在规粗大误差是指那些误差数值特别大，超出在规定条件下
24、的预计值，测量结果中有明显错误的误定条件下的预计值，测量结果中有明显错误的误差，也称粗差。差，也称粗差。出现粗大误差的原因是由于在测量时仪器操作出现粗大误差的原因是由于在测量时仪器操作的错误，或读数错误，或计算出现明显的错误等。的错误，或读数错误，或计算出现明显的错误等。粗大误差一般是由于测量者粗心大意、实验条件粗大误差一般是由于测量者粗心大意、实验条件突变造成的。突变造成的。粗大误差由于误差数值特别大，容易从测量结粗大误差由于误差数值特别大，容易从测量结果中发现，一经发现有粗大误差，应认为该次测果中发现，一经发现有粗大误差，应认为该次测量无效，即可消除其对测量结果的影响。量无效，即可消除其对
25、测量结果的影响。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析6.4.3 6.4.3 误差的表示方法误差的表示方法 常用的几种误差表示方法：绝对误差、常用的几种误差表示方法：绝对误差、相对误差和引用误差。相对误差和引用误差。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析 1.1.绝对误差绝对误差 绝对误差是指测得值与真值之差，可表示绝对误差是指测得值与真值之差，可表示为为:绝对误差绝对误差=测得值测得值-真值真值 即：即：0 xxx第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析 2.2.相对误差相对误差 相对误差是指绝对误差与被测真值之比值，通常用百分数表示，即00100被测
26、真值绝对误差相对误差000100 xxr第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析说明：说明：1）当被测真值为未知数时，一般可用测得值的算术平均值代替被测真值。2）对于不同的被测量值，用测量的绝对误差往往很难评定其测量精度的高低，通常采用相对误差来评定。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析 3.3.引用误差引用误差 测量仪器的绝对误差除以仪器的满度值。%100mmxxrmrxmx式中 测量仪器的引用误差；测量仪器的绝对误差，一般指的是测量 仪器的示值绝对误差；测量仪器的满度值，一般又称为引用值，通常是测量仪器的量程。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析
27、说明:1)引用误差实质是一种相对误差，可用于评价某些测量仪器的准确度高低。2)国际规定电测仪表的精度等级指数a分为：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0共七级，其最大引用误差不超过仪器精度等级指数a百分数，即r m a%。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析6.4.4 6.4.4 表征测量结果质量的指标表征测量结果质量的指标 常用正确度、精密度、准确度、不确定度等来描述测量的可信度。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析（1）正确度 正确度表示测量结果中系统误差大小的程度，即由于系统误差而使测量结果与被测量值偏离的程度。系统误差越小，测量结果越正
28、确。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析（2）精密度 精密度表示测量结果中随机误差大小的程度，即在相同条件下，多次重复测量所得测量结果彼此间符合的程度，随机误差越小，测量结果越精密。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析（3）准确度 准确度表示测量结果中系统误差与随机误差综合大小的程度，即测量结果与被测真值偏离的程度，综合误差越小，测量结果越准确。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析（4）不确定度 不确定度表示合理赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。不确定度越小，测量结果可信度越高。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析6
29、.5 6.5 不确定度评定的基本知识不确定度评定的基本知识 测量不确定度就是对测量结果质量的定测量不确定度就是对测量结果质量的定量表征，测量结果的可用性很大程度上量表征，测量结果的可用性很大程度上取决于其不确定度的大小。所以测量结取决于其不确定度的大小。所以测量结果必须附有不确定度说明才是完整并有果必须附有不确定度说明才是完整并有意义。意义。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析6.5.16.5.1有关不确定度的术语有关不确定度的术语 1 1、以标准差表示的测量不确定度。、以标准差表示的测量不确定度。2 2、用对观测列进行统计分析的方法来评定、用对观测列进行统计分析的方法来评定标
30、准不确定度，又称为标准不确定度，又称为A A类不确定度评定。类不确定度评定。3 3、用不同于观测列进行统计分析的方法来、用不同于观测列进行统计分析的方法来评定标准不确定度，又称为评定标准不确定度，又称为B B类不确定度评类不确定度评定。定。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析 4 4、当测量结果是由若干个其它量的值求得、当测量结果是由若干个其它量的值求得时，按其它各量的方差和协方差算得标准时，按其它各量的方差和协方差算得标准不确定度。不确定度。5 5、确定测量结果区间的量，合理赋予被测、确定测量结果区间的量，合理赋予被测量之值分布的大部分可望含于此区间，有量之值分布的大部分可望
31、含于此区间，有时也称为展伸不确定度或范围不确定度。时也称为展伸不确定度或范围不确定度。6 6、为求得扩展不确定度，对合成标准不确、为求得扩展不确定度，对合成标准不确定度所乘之数字因子。定度所乘之数字因子。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析6.5.2 6.5.2 产生测量不确定度的原因和测量模型产生测量不确定度的原因和测量模型 1.1.测量不确定度的来源测量不确定度的来源 被测量的定义不完整；被测量的定义不完整；复现被测量的测量方法不理想；复现被测量的测量方法不理想；取样的代表性不够，即被测样本不能取样的代表性不够，即被测样本不能代表所定义的被测量；代表所定义的被测量；对测量过
32、程受环境影响的认识不恰如对测量过程受环境影响的认识不恰如其分或对环境的测量与控制不完善；其分或对环境的测量与控制不完善；第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析 对模拟式仪器的读数存在人为偏移；对模拟式仪器的读数存在人为偏移；测量仪器的计量性能（如灵敏度、鉴别测量仪器的计量性能（如灵敏度、鉴别力阈、分辨力、死区及稳定性等）的局限力阈、分辨力、死区及稳定性等）的局限性性 测量标准或标准物质的不确定度；测量标准或标准物质的不确定度；引用的数据或其它参数的不确定度；引用的数据或其它参数的不确定度；测量方法和测量程序的近似和假设；测量方法和测量程序的近似和假设；在相同条件下被测量在重复观测
33、中的变在相同条件下被测量在重复观测中的变化。化。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析2.2.测量不确定度及其数学模型的建立测量不确定度及其数学模型的建立 测量不确定度通常用测量过程的数学模型和不确定度的传播律来评定。在实际测量的很多情况下，被测量Y（输出量）不能直接测得，而是由N个其它量X1、X2、XN（输入量）通过函数关系f来确定 Y=f（X1，X2，XN）(A)上式称为测量模型或数学模型。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析 说明：数学模型不是唯一的，如果采用不同说明：数学模型不是唯一的，如果采用不同的测量方法和不同的测量程序就可能有不的测量方法和不同的测量
34、程序就可能有不同的数学模型。同的数学模型。例：一个随温度例：一个随温度t t变化的电阻器两端的电压变化的电阻器两端的电压为为V V，在温度为，在温度为t t0 0时的电阻为时的电阻为R R0 0，电阻器的，电阻器的温度系数为温度系数为，则电阻器的损耗功率，则电阻器的损耗功率P P（被（被测量）取决于测量）取决于V V、R R0 0、和和t t，P P=f f（V V，R R0 0，t t）=V V2 2/R R0 01+1+（t t-t t0 0）第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析 也可采用测量其端电压和流经电阻的电流来获得，也可采用测量其端电压和流经电阻的电流来获得，则则P
35、 P的数学模型就变成的数学模型就变成 P P=f f（V V，I I）=V VI I 最简单的数学模型是最简单的数学模型是Y Y=X X，如用卡尺测量工件的，如用卡尺测量工件的尺寸时，则工件的尺寸就等于卡尺的示值。尺寸时，则工件的尺寸就等于卡尺的示值。式（式（A A）中，被测量）中，被测量Y Y的估计值为的估计值为y y，输入量，输入量X Xi i的的估计值为估计值为xi xi，则有：，则有：y y=f f（x x1 1，x x2 2，x xN N）式（式（A A）中，大写字母表示的量的符号既代表可）中，大写字母表示的量的符号既代表可测的量，代表随机变量。当叙述为测的量，代表随机变量。当叙述为
36、X Xi i具有某概率具有某概率分布时，这个符号的含义就是随机变量。分布时，这个符号的含义就是随机变量。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析 在一列观测值中，第在一列观测值中，第k k 个个X Xi i的观测值用的观测值用X Xik ik表表示。示。当被测量当被测量Y Y的最佳估计值的最佳估计值y y是通过输入量是通过输入量X X1 1，X X2 2，X XN N的估计值的估计值x x1 1，x x2 2，x xN N得出时，得出时，可有以下两种方法：可有以下两种方法：nkkNkknkkxxxfnynyy1,2,11),(11（B）第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误
37、差分析 式中，式中，它是独立观测值它是独立观测值X i,k的算术平均值。的算术平均值。说明说明:（）（）以上两种方法，当以上两种方法，当f是输入量是输入量Xi的的线性函数时，它们的结果相同。线性函数时，它们的结果相同。（）当（）当f是是Xi的非线性函数时，的非线性函数时，式式（）的计算方法较为优越。（）的计算方法较为优越。),(21Nxxxfy nkkiiXnx1,1第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析（）在数学模型中，输入量（）在数学模型中，输入量X X1 1、X X2 2、X XN N可以是：可以是：由当前直接测定的量；由当前直接测定的量；由外部来源引入的量；由外部来源引入
38、的量；x xi i的不确定度是的不确定度是y y的不确定度的来源。的不确定度的来源。（4 4）评定）评定y y的不确定度之前，为确定的不确定度之前，为确定Y Y的最佳的最佳值，应将所有修正量加入测得值，并将所值，应将所有修正量加入测得值，并将所有测量异常值剔除。有测量异常值剔除。（5 5）Y Y的不确定度将取决于的不确定度将取决于x xi i的不确定度，为的不确定度，为此首先应评定此首先应评定x xi i的标准不确定度的标准不确定度u u（x xi i）。评。评定方法可归纳为定方法可归纳为A A、B B两类。两类。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析6.6 标准不确定度的标准不
39、确定度的A类评定类评定6.6.1 6.6.1 单次测量结果试验标准差与平均值试单次测量结果试验标准差与平均值试验标准差验标准差 等精度测量定义：使用同样的仪器，在同等的等精度测量定义：使用同样的仪器，在同等的测量环境条件下，同一人员进行的测量。测量环境条件下，同一人员进行的测量。不等精度测量定义：使用不同的仪器或在不同不等精度测量定义：使用不同的仪器或在不同的测量环境条件下，由不同人员进行的测量。的测量环境条件下，由不同人员进行的测量。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析 对被测量对被测量X X，在重复性条件或复现性条件下进行，在重复性条件或复现性条件下进行n n次独立次独立重
40、复观测，观测值为重复观测，观测值为 （i i=1,2,=1,2,n n）。算术平均值）。算术平均值 为为 为单次测量的实验标准差，由贝塞尔为单次测量的实验标准差，由贝塞尔 公式公式计算得到；计算得到；为平均值的实验标准值，其值为为平均值的实验标准值，其值为 niixnx11ixx）（ixs)xs（nxsxsi)()（第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析 通常以样本的算术平均值作为被测量值的估通常以样本的算术平均值作为被测量值的估计（即测量结果），以平均值的实验标准差计（即测量结果），以平均值的实验标准差作为被测量结果的标准不确定度，即作为被测量结果的标准不确定度，即A A类标类
41、标准不确定度。准不确定度。当测量结果取观测列的任一次时所对应的当测量结果取观测列的任一次时所对应的A A类不确定度为类不确定度为 当测量结果取当测量结果取n n次的算术平均值时，所对次的算术平均值时，所对应的应的A A类不确定度为类不确定度为)()(ixsxunxsxui/)()(第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析 当测量结果取其中的当测量结果取其中的m m次的算术平均值时，次的算术平均值时，所对应的所对应的A A类不确定度为类不确定度为 的自由度是相同的，的自由度是相同的，都是都是 mxsxuim/)()()(xu)(xu)(mxu1 n第第6 6章章 测试结果及误差分析测
42、试结果及误差分析 观测次数观测次数n n充分多，才能使充分多，才能使A A类不确定度的类不确定度的评定可靠，一般认为评定可靠，一般认为n n应大于应大于5 5；当该当该A A类不确定度分量对合成标准不确定度类不确定度分量对合成标准不确定度的贡献较大，的贡献较大，n n也不宜太小；也不宜太小；当该当该A A类不确定度对合成标准不确定度的贡类不确定度对合成标准不确定度的贡献较小，献较小，n n小一些关系也不大。小一些关系也不大。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析 例：对一等标准活塞压力计的活塞有效面例：对一等标准活塞压力计的活塞有效面积进行检定。在各种压力下测得有效面积积进行检定
43、。在各种压力下测得有效面积S S0 0与工作基准面积与工作基准面积S SS S之比之比l l i i如下：如下：0.250670 0.2506730.250670 0.250673 0.250670 0.250671 0.250670 0.250671 0.250675 0.250671 0.250675 0.250671 0.250675 0.250670 0.250675 0.250670 0.250673 0.250670 0.250673 0.250670试计算最佳估计值试计算最佳估计值 L L 、)(ils)(1lu第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析 解：最佳估计值
44、解：最佳估计值L L为为 ：单次测量标准差单次测量标准差 为为250672.010iilnlL)(ils61221005.211010381)()(nLllsii第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析L L由测量重复性导致的标准不确定度由测量重复性导致的标准不确定度 是表示一等标准活塞压力计活塞有效面是表示一等标准活塞压力计活塞有效面积积S S0 0与工作基准面积与工作基准面积S SS S之比之比l l的由测量重复性的由测量重复性引起的不确定度分量，因：引起的不确定度分量，因：)(1lu611063.0)()()(nlsLslui)(1lus0SSl 第第6 6章章 测试结果及误
45、差分析测试结果及误差分析 得到由测量重复性引起的得到由测量重复性引起的S S0 0的标准不确定度的标准不确定度分量：分量：以相对不确定度表示以相对不确定度表示s61s011063.0)()(SluSSu6610s0rel1105.2250672.01063.0)()(luSSSu第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析6.6.2 6.6.2 极差极差 在重复性条件或复现性条件下，对在重复性条件或复现性条件下，对 进行进行n n独立观测，计算结果中的最大值与最小值独立观测，计算结果中的最大值与最小值之差之差R R称为极差。在称为极差。在 可以估计接近正态分可以估计接近正态分布的前提下
46、，单次测量结果布的前提下，单次测量结果 的实验标准的实验标准差差 ，可按下式近似地评定，可按下式近似地评定 上式中系数上式中系数C C及自由度及自由度 如表如表6-46-4所示。所示。iXiXix）（ixs）（）（iixuCRxs第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析 表表6-4 6-4 极差系数极差系数C C及自由度及自由度n23456789C1.131.642.062.332.532.702.852.970.91.82.73.64.55.36.06.8第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析 例：用金属洛氏硬度计测量混凝土回弹仪例：用金属洛氏硬度计测量混凝土回弹仪
47、试验钢砧的硬度，测量试验钢砧的硬度，测量5 5次，硬度值分别为：次，硬度值分别为：60.060.0、60.860.8、61.861.8、62.0HRC62.0HRC，5 5次平均值次平均值 为为61.1HRC61.1HRC。用贝塞尔公式算得平均值的实。用贝塞尔公式算得平均值的实验标准差为验标准差为:自由度为自由度为 H HRC 36.0 1 2 ）（）（）（n n H H H u i 41 n第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析如采用极差法进行计算，则如采用极差法进行计算，则 自由度自由度 极差法与贝塞尔法相比，得到不确定度的自极差法与贝塞尔法相比，得到不确定度的自由度下降了，
48、也就是说不确定度评定的可由度下降了，也就是说不确定度评定的可靠性有所降低。靠性有所降低。HRC38.033.20.600.62511minmaxCHHnHu）（6.3第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析6.6.3 最小二乘法最小二乘法 当当X的估计值由实验数据用最小二乘法拟合的的估计值由实验数据用最小二乘法拟合的直线或曲线上得到时，任意预期是估计值或表直线或曲线上得到时，任意预期是估计值或表征曲线拟合参数的标准不确定度可以用已知的征曲线拟合参数的标准不确定度可以用已知的统计程序计算得到的。统计程序计算得到的。如两估计值如两估计值x、y有线性关系有线性关系 ，对其，对其独立测得若
49、干对数据（独立测得若干对数据（x1，y1），（），（x2，y2），），（，（x n，y n），），n2，欲得到参数，欲得到参数b、k及其标准不确定度，以及预期估计值及其标及其标准不确定度，以及预期估计值及其标准不确定度，要用到最小二乘法。准不确定度，要用到最小二乘法。kxby第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析 实验标准差：实验标准差：212nsnii式中式中i为残差为残差.xxxxnLxsxsnLbsbu1222）（）（xxxxLssLksku112）（）（第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析6.6.4 不确定度不确定度A A类评定的独立性类评定的独立性 在重
50、复性条件下所得的测量列的不确定在重复性条件下所得的测量列的不确定度，通常比其它评定方法所得到的不确度，通常比其它评定方法所得到的不确定度更为客观，并具有统计学的严格性，定度更为客观，并具有统计学的严格性，但要求有充分的重复次数。但要求有充分的重复次数。第第6 6章章 测试结果及误差分析测试结果及误差分析6.6.5 A A类不确定度评定的自由度和评定流程类不确定度评定的自由度和评定流程 对于独立重复测量，自由度对于独立重复测量，自由度 （n n为测量次数）。为测量次数）。对于最小二乘法，自由度对于最小二乘法，自由度 （n n为为数据个数，数据个数，t t为未知数个数）为未知数个数）1 ntn 第
