1、第 2 章电路的分析方法第2章电路的分析方法2.1支路电流法支路电流法2.2网孔电流法网孔电流法2.3节点电压法节点电压法2.4叠加定理叠加定理2.5戴维南定理与诺顿定理戴维南定理与诺顿定理本章小结本章小结思考题与习题思考题与习题第 2 章电路的分析方法 2.1 支路电流法支路电流法支路电流法的解题步骤如下：(1)首先假定各支路电流的参考方向和绕行方向。(2)如果电路有n个节点，根据基尔霍夫电流定律列出n1个独立的节点电流方程。（3）如果电路有m条支路，根据基尔霍夫电压定律列出mn+1个独立的回路电压方程。（4）联立m个独立方程n1+mn+1=m，解方程组，求出m个支路电流。第 2 章电路的分
2、析方法例2-1 电路如图2-1所示，已知E1=70 V，R1=20，E2=40 V,R2=10，R=10。试求各支路电流及各电源的功率。解 先假定各支路电流的参考方向如图2-1所示。根据基尔霍夫电流定律IK=0，列出节点电流方程。图2-1所示的电路共有A和B两个节点。对于节点AI1+I3I2=0 （1）对于节点BI2I1I3=0第 2 章电路的分析方法图2-1 例2-1的电路第 2 章电路的分析方法将节点A的方程乘以1，就是节点B的方程，因此，节点A与节点B的方程只有一个是独立的。对于节点电流方程，若电路有n个节点，则可以列出n1个独立的节点电流方程。根据基尔霍夫电压定律RKIK=Ej，列出回
3、路电压方程。同样，所列的回路电压方程应该是独立的，为此，选定的每一个回路必须至少包含一条新的支路。选定回路和回路的循行方向如图2-1所示。对于回路 R1I1RI3=E1 （2）对于回路 RI3+R2I2=E2 （3）第 2 章电路的分析方法将回路和回路的电压方程分别记作（2）式和（3）式。本例中共有三条支路，相应的有三个待求电流I1、I2和I3，为了使待求的支路电流能够求解，需要三个独立的方程。联立（1）式、（2）式和（3）式，代入数据，解方程组，求出支路电流。I1+I3I2=020I110I3=7010I3+10I2=40第 2 章电路的分析方法解得 I1=2 A,I2=1 A,I3=3 A
4、电压源E1吸收的功率为 P1=E1I1=702=140 W电压源E2吸收的功率为 P2=E2I2=40(1)=40 W三个电阻上消耗的功率分别为 I21R1=80 W I22R2=10 W I23R=90 W第 2 章电路的分析方法例2-2 电路如图2-2所示，已知E1=8 V，R1=10，E2=4 V，R2=10，IS=1 A，求电路中各电源的功率及两电阻吸收的功率。解 假定各支路电流及电流源端电压的参考方向如图2-2所示。根据基尔霍夫电流定律得I1+ISI2=0（1）选定回路和回路的循行方向如图2-2所示。第 2 章电路的分析方法图2-2 例2-2的电路第 2 章电路的分析方法根据基尔霍夫
5、电压定律得:回路R1I1+UE1=0 （2）回路R2I2+E2U=0 （3）联立方程（1）、（2）、（3），代入数据I1+1I2=010I1+U8=010I2+4U=0第 2 章电路的分析方法解方程组得 I1=0.3 A,I2=0.7 A,U=11 V电压源E1吸收的功率为 P1=E1I1=8(0.3)=2.4 W电压源E2吸收的功率为P2=E2I2=40.7=2.8 W电流源IS吸收的功率为PS=UIS=111=11 W （实为发出功率）两电阻吸收的功率为P=I21R1+I22R2=(0.3)210+0.7210=5.8 W第 2 章电路的分析方法2.2 网孔电流法网孔电流法2.2.1 网孔
6、电流网孔电流网孔电流实际上是一种假想电流，所谓网孔是指平面电路（画在平面上不出现支路交叉的电路）中的一个回路，在它所包围的范围内不存在其他支路，如图2-3所示：有三个网孔，沿着网孔内流动的电流Ia、Ib、Ic就是假想的网孔电流。网孔电流只在各自的网孔内流动，彼此各自独立无关。第 2 章电路的分析方法图2-3 网孔电流电路第 2 章电路的分析方法从图2-3可以看出支路电流与网孔电流的关系HJ*5/9I1=IaI2=Ia+IcI3=IcI4=IbI5=IaIbI6=Ib+Ic第 2 章电路的分析方法2.2.2 网孔电流方程网孔电流方程下面以图2-3所示电路为例列KVL方程 R1Ia+R5Ia+R2
7、IaR5Ib+R2IcUS1=0 R4Ib+R6Ib+R5IbR5Ia+R6Ic=0 R3Ic+R6Ic+R2Ic+R6Ib+R2IaUS2=0第 2 章电路的分析方法整理后可进一步写为233323123222111312110scbacbascbaUIRIRIRIRIRIRUIRIRIR(2-1）式(2-1)中，R11,R22,R33分别代表三个网孔的自阻之和，R11=R1+R5+R2，R22=R4+R5+R6，R33=R2+R3+R6，R12,R21,R13,R31,R23,R32为三个网孔的公共电阻，称为互阻。第 2 章电路的分析方法把上述结论推广到具有m个网孔的平面电路时，独立方程应为
8、m个，即SmmmmmmmSmmSmmUIRIRIRUIRIRIRUIRIRIR2211222222121111212111(2-2）式（2-2）中，I1、I2、Im为网孔电流，R11、R22、Rmm为各自网孔的自阻，自阻总是正的。其他电阻为互阻（两个相关网孔的公共电阻）。第 2 章电路的分析方法例2-3 电路如图2-4所示,应用网孔电流法求各支路电流。图2-4 例2-3的电路第 2 章电路的分析方法解 指定网孔电流I1、I2、I3的参考方向如图2-4所示。列出网孔电流方程(2+3)I13I2=123I1+(3+3+5)I25I3=85I2+(5+1.5)I3=8 解方程可得I1=3 A,I2=
9、1 A,I3=2 A第 2 章电路的分析方法则各支路电流为A 2A 1A 1A 2A 33232211IIIIIIIIIIIIedcba第 2 章电路的分析方法例2-4 电路如图2-5所示，应用网孔电流法求各支路电流。解 指定网孔电流I1、I2、I3的参考方向如图2-5所示。将电流源两端电压U也作为变量，列出网孔电流方程2I12I2=12U3I2+(3+1)I3=6+U第 2 章电路的分析方法图2-5 例2-4的电路第 2 章电路的分析方法解上面的三个方程得I1=7 A，I3=6 A,U=6 V,则各支路电流为A 7A 4A 2A 3A 61232213IIIIIIIIIIIIedcba第 2
10、 章电路的分析方法由上所述，将网孔电流法求支路电流的具体步骤归纳如下：(1)选定各个网孔电流的参考方向，它同时也是回路绕行方向。(2）根据式（2-2）列网孔电流方程，自阻总是正的，互阻的正负要看公共电阻上的两网孔电流的方向是否一致。(3）解方程组，求解网孔电流。第 2 章电路的分析方法(4）指定支路电流参考方向，通过相关网孔电流的代数和求解各支路电流。(5）如果电路中存在电流源与电阻并联，可以先转化为电压源与电阻的串联后再列网孔电流方程。(6）如果电路中的电流源没有电阻并联，可以根据电流源的电流与网孔电流的关系，也可以将电流源的电压作为未知量列补充方程求解。第 2 章电路的分析方法2.3 节点
11、电压法节点电压法支路电流法直接利用支路电流作为未知量，有m条支路就需要列出m个方程，网孔电流法虽然可以减少n1个方程，但是当电路的节点较少，网孔较多时也会比较烦琐，节点电压法就是针对这种情况提出的一种改进分析法。第 2 章电路的分析方法如图2-6所示的电路有3个节点和4个网孔支路。若用网孔电流法需要列出4个方程，比较繁琐。选0为参考节点，设V0=0 V，根据图示参考方向，由KCL和欧姆定律可得如下公式对节点1I1+I2=I3+I4对节点2I4=I5+IS第 2 章电路的分析方法图2-6 节点电压法电路第 2 章电路的分析方法各支路电流255252144214133131S2221S221S11
12、11S11)()()(UGRUIUUGRUUIUGRUIUUGRUUIUUGRUUI第 2 章电路的分析方法整理得：节点1 S11S22S112414321)(IUGUGUGUGGGG节点2S22S25414)(IIUGGUG这就是以节点电压U1、U2为未知量的节点电压方程。上式还可进一步写为第 2 章电路的分析方法2S2222121S11212111IUGUGIUGUG(2-3）其中,G11=G1+G2+G3+G4为与节点1相连的各支路电导的代数和，称为节点1的自导，G22=G4+G5为与节点2相连的各支路电导的代数和，称为节点2的自导，G12=G21=G4为节点1、2间的互导。第 2 章电
13、路的分析方法把上述结论推广到具有n个节点的电路时，节点方程)1)(1()1()1)(1(22)1(11)1(22)1()1(222212111)1()1(1212111nnSnnnnnSnnSnnIUGUGUGIUGUGUGIUGUGUG(2-4）第 2 章电路的分析方法例2-5 电路如图2-7所示，应用节点电压法求各支路电流。图2-7 例2-5的电路第 2 章电路的分析方法 解 选定0为参考节点，参考电压为0 V。对节点1和2列节点电压方程1080)111(15101)111(154212221321URRRURURURRR整理得 0.5U10.1U2=2，0.1U1+0.3U2=8解得 U
14、1=10 V,U2=30 V第 2 章电路的分析方法根据欧姆定律，各支路电流为A 2101030A 051010102122111RUUIRUIA 580A 31030A 2510525424313RUIRUIRUI第 2 章电路的分析方法当电路中某些支路只有电压源而没有电阻与其串联时，无法将其等效为电流源和电阻并联，在这种情况下：（1）将电压源的一端作为参考节点，则电压源的另外一个节点的节点电压就为该电压源的电压。（2）将电压源一端的电流作为未知量，增加一个节点电压与该理想电压源之间的约束关系，列出一个补充方程，这样独立方程的个数和未知数相等，即可解出各未知量。第 2 章电路的分析方法例2-
15、6 电路如图2-8所示，应用节点电压法求各支路电流。解 选取节点0为参考节点，则支路30中电压源电压为已知，即U3=10 V，因此不必对节点3列电压方程。设6 V电压源的电流为I1。第 2 章电路的分析方法图2-8 例2-6的电路第 2 章电路的分析方法对节点1和2列节点电压方程：6)1(11112112213213313UUIURRURIURUR第 2 章电路的分析方法整理得解得U1=2 V,U2=8 V,I1=7 A65.15.0121123131UUIUUIUU第 2 章电路的分析方法根据欧姆定律，各支路电流为A 9)1(8A 818A 122A 81834531342323122III
16、RUUIRUUIRUI第 2 章电路的分析方法由上所述，将节点电压法求支路电流的具体步骤归纳如下：(1)选定参考点，一般设参考点电压为0 V，其余各节点电压的参考方向均指向参考点。(2）根据式（2-4）列节点方程，自导总是正的，互导总是负的。如果电路中存在电压源与电阻串联的支路，将其转化为电流源与电阻并联，流入该节点的电流取正号，流出取负号。第 2 章电路的分析方法(3）如果支路中的电压源没有电阻串联，将电压源一端的电流作为未知量，增加一个节点电压与该理想电压源之间的约束关系，列出一个补充方程求解。(4）解方程组，求出各节点电压。(5）指定支路电流的参考方向，通过欧姆定律和KCL求解各支路电流
17、。第 2 章电路的分析方法2.4 叠叠 加加 定定 理理例2-7 电路如图2-9(a)所示。R1=R2=8，R3=4,US1=US2=12 V，IS=2 A,求电路中通过R3的电流IL。解 电路中共有三个电源。先考虑电流源单独作用，此时电压源视为短路，如图2-9(b)所示。第 2 章电路的分析方法图2-9 例2-7的电路第 2 章电路的分析方法由图2-9(b)可知R1R2R3=2 则A 1422LI再考虑两个电压源单独作用，此时电流源视为开路，如图2-9(c)所示。第 2 章电路的分析方法由图2-9(c)可知A 5.1/31131223223211LRRRRRRURRRRRRUISS叠加后得A
18、 5.25.11LLLIII第 2 章电路的分析方法例2-8 电路如图2-10(a)所示，求电压U1。图2-10 例2-8的电路第 2 章电路的分析方法解 这是一个含有受控源的电路。按叠加定理，分别作出电流源单独作用的电路如图2-10(b)所示，电压源单独作用的电路如图2-10(c)所示。在图2-10(b)和图2-10(c)中，都将受控电压源保留在了原处，相应的控制量分别标为I和I。对于图2-10(b)，根据基尔霍夫电流定律，可列出节点电流方程1223III第 2 章电路的分析方法解得I=0.6 A 对于图2-10(c)，根据基尔霍夫电压定律，可列出回路电压方程2I+I+2I10=0解得I=2
19、 A则有I=I+I=1.4 A第 2 章电路的分析方法使用叠加定理时应注意以下几点：（1）叠加定理只适用于分析计算线性电路中的电压和电流，不适用于直接计算功率。（2）叠加定理是反映电路中理想电压源或理想电流源所产生的响应，而不是实际电源所产生的响应，所以实际电源的内阻必须保留在原处。第 2 章电路的分析方法（3）叠加时应注意原电路中各电压和电流的参考方向。以原电路中电压和电流的参考方向为准，求其代数和。分电压和分电流的参考方向与其一致时取正号，不一致时取负号。（4）每个电源单独作用时，不要改变电路的结构。不用的恒压源短路，不用的恒流源开路。第 2 章电路的分析方法2.5 戴维南定理与诺顿定理戴
20、维南定理与诺顿定理2.5.1 戴维南定理戴维南定理任何一个具有两个端点与外部相连接的电路，均为二端网络。如果二端网络中含有电流源或电压源，则被称为有源二端网络，不含电源的则被称为无源二端网络。图2-11(a)、(b)所示的两个网络都是已知电路结构的二端网络。图2-11(a)是无源二端网络，图2-11(b)是有源二端网络。第 2 章电路的分析方法图2-11 无源二端网络和有源二端网络第 2 章电路的分析方法用戴维南定理解题的步骤如下：（1）将待求电流或电压的支路从电路中抽出作为负载，将剩余部分有源二端网络等效为一个电压源。（2）求有源二端网络的两端点间开路电压U0，作为等效电压源的电动势，注意其
21、参考方向。（3）计算有源二端网络“除源”（恒压源短路、恒流源开路）后所得到的无源二端网络的等效电阻，作为等效电压源的内阻R0。（4）将等效的电压源与负载连接成整体，用欧姆定律求电流或电压。第 2 章电路的分析方法例2-9 试用戴维南定理求解例2-1中通过电阻R的电流 I。图2-12 例2-9的电路第 2 章电路的分析方法解 根据戴维南定理，将所求支路移开，电路如图2-12（a）所示。（1）其理想电压源的电动势E为A、B两端的开路电压U0 A 11020407021212RREEI故E=U0=R2I2+E2=101+40=50 V第 2 章电路的分析方法(2）内阻R0为A、B两端无源网络的入端电
22、阻，这可由图2-12(b)求得。图2-12(b)中)(3201020102021210RRRRR（3）戴维南等效电路如图2-12(c)所示。通过电阻R的电流为A 332010500RREI第 2 章电路的分析方法例2-10 电路如图2-13(a)所示，已知R1=4，R2=8，R3=2，R4=4，R5=4，求通过电阻R5的电流 I5。解 根据戴维南定理，将所求支路移开，电路可以改画为图2-13（a）。第 2 章电路的分析方法图2-13 例2-10的电路第 2 章电路的分析方法（1）其理想电压源的电动势为A、B两端的开路电压U0，如图2-13（b）所示。A 1841212211RRIA 24212
23、12432RRI故 U0=R2I1R3I2=8122=4 V第 2 章电路的分析方法（2）内阻R0为B、D两端无源网络的入端电阻，这可由图2-14(a)求得。图2-14(a)中 442428484/4343212143210RRRRRRRRRRRRR（3）戴维南等效电路如图2-14(b)所示A 5.04445005RRUI第 2 章电路的分析方法图2-14 例2-10的电路第 2 章电路的分析方法由图2-14(b)所示，需U0=0，由图2-13(b)可知043321223120RRURRRURIRIRU则433212RRRRRR于是4231RRRR第 2 章电路的分析方法2.5.2 诺顿定理诺
24、顿定理利用戴维南定理可以将有源二端网络用电压源来等效代替，而电压源与电流源可以等效变换，因此有源二端网络也可用电流源来等效代替。如图2-15所示，图2-15(a)的二端网络可以变换成图2-15(b)的电流源。图2-15(b)中的IS=U/R0即为网络的短路电流。这一关系可用诺顿定理叙述为：第 2 章电路的分析方法图2-15 诺顿定理等效电路图第 2 章电路的分析方法用诺顿定理解题的步骤与戴维南定理类似：（1）将待求电流或电压的支路从电路中抽出作为负载，将剩余部分有源二端网络等效为一个电流源。（2）将待求支路（负载）短路，求有源二端网络的短路电流IS，作为等效电流源中的恒定电流。（3）计算有源二
25、端网络“除源”（恒压源短路、恒流源开路）后所得到的无源二端网络的等效电阻，作为等效电流源的内阻R0。（4）将等效的电流源与负载连接成整体，用欧姆定律求电流或电压。第 2 章电路的分析方法例2-11 用诺顿定理计算例2-10中流过R5的电流I5。图2-16 例2-11的图第 2 章电路的分析方法解 图2-16可以用图2-17所示的等效电路来表示。图2-17 例2-11的电路第 2 章电路的分析方法（1）电流源的电流。如图2-16（a）所示A 112124231SRRRRI（2）将电压源短路后，如图2-16（b）所示442428484/4343212143210RRRRRRRRRRRRR（3）诺顿
26、等效电路如图2-17所示，则有A 5.04441500S5RRRII第 2 章电路的分析方法2.5.3 最大功率输出最大功率输出根据戴维南定理，任何有源二端网络都可以用图2-18所示的电路等效。在电子测量线路中，电子设备所用电源不管内部电路多么复杂，对负载来说就是一个含源二端网络。当负载不同时，它输出的功率也不同。在电子线路里人们总是希望使负载能获得较大的功率，那在什么样的条件下负载才能够获得较大的输出功率呢？第 2 章电路的分析方法图2-18 最大功率传输第 2 章电路的分析方法如图2-18（b）所示的等效电路，负载RL从电源获得的功率为20L20L2)(LRRRURIP功率P为负载RL的函
27、数。在RL=0时，P=0；RL时，电流为0，功率P=0，可见RL从0增加的过程中，获得的功率必然有最大值。第 2 章电路的分析方法对上式求导3L0L0204L0LL02L020)()()(2)(ddRRRRURRRRRRRURP当dPdR=0时，功率有最大值，即R0=RL时，负载获得最大功率。最大功率公式为020max4RUP(2-5）第 2 章电路的分析方法例2-12 如图2-19所示电路，U=12 V，R1=R2=2,负载何时获得最大功率？最大功率等于多少？电源的传输效率有多大？解 将图2-19（a）虚线框中的网络用戴维南等效电路表示，如图2-19（b）所示。负载开路时电压为V 62210
28、RRRUU第 2 章电路的分析方法电压源短路时，戴维南等效电路内阻为R0=R1R2=1 则当RL=R0=1 时,获得功率最大。W9402maxRUPO第 2 章电路的分析方法在图2-19（a）中，电压源的输出电流为A 5.43/2212/21LRRRUI电源输出效率为%67.165.4129maxPP第 2 章电路的分析方法本本 章章 小小 结结(1)支路电流法是求解电路的最基本的方法。它以支路电流为待求量，应用基尔霍夫定律列出电路方程。当电路有n个节点、m条支路时，可列n1个独立的电流方程，然后根据网孔可列出mn+1个独立的电压方程，联立成为m个独立的方程组，即可解出m个支路电流。第 2 章
29、电路的分析方法(2)网孔电流法，以网孔电流为未知量，当电路有n个节点、m条支路时，可以列m（n1）个网孔的KVL方程，联立求解出网孔电流，然后根据网孔电流与支路电流的关系，求出支路电流。在节点多、回路少的电路里非常简捷。第 2 章电路的分析方法(3)节点电压法，以节点电压为未知量，当电路有n个节点、m条支路时，可以列n1个节点电压方程，联立求解出节点电压，然后根据节点电压与支路电流的关系，求出支路电流。在节点少、回路多的电路里非常简捷。第 2 章电路的分析方法(4)叠加定理反映了线性电路的基本性质。在线性电路中，多个独立电源（电压源或电流源）同时作用时，在任一支路产生的电压或电流，等于这些电源
30、单独作用在该支路所产生电压或电流的代数和。第 2 章电路的分析方法(5)戴维南定理：任何一个有源二端线性网络都可以用一个电动势为E的理想电压源和内阻R0串联的有源支路来等效代替，而对外电路的作用不变。戴维南定理常用于求解某一支路的电流。(6)诺顿定理：任何一个有源二端线性网络都可以用一个电流为IS的理想电流源和内阻R0并联的有源支路来等效代替。第 2 章电路的分析方法思考题与习题思考题与习题2-1 电路如图2-20所示。（1）说明电路的独立节点数和独立回路数；（2）选出一组独立节点和独立回路，列出I=0和U=0的方程。第 2 章电路的分析方法图2-20 习题2-1的图第 2 章电路的分析方法2
31、-2 如图2-21所示电路，试用支路电流法求电流I。图2-21 习题2-2的图第 2 章电路的分析方法2-3 在图2-22所示电路中，US1=12 V，US2=8 V，R1=8，R2=4,R3=2,试用电源模型的等效变换求R3中的电流，并验证功率平衡。图2-22 习题2-3的图第 2 章电路的分析方法2-4 电路如图2-23所示，已知E1=8 V，E2=4 V，E3=4 V，R1=2，R2=2，R3=1，求各支路电流。图2-23 习题2-4的图第 2 章电路的分析方法2-5 试用支路电流法求图2-24所示电路中的电流I1、I2。已知E1=12 V,E2=4 V,电阻R1=R2=2,R3=1。图
32、2-24 习题2-5的图第 2 章电路的分析方法2-6 用网孔电流法求图2-25所示电路中的各支路电流。图2-25 习题2-6的图第 2 章电路的分析方法2-7 试用网孔电流法求图2-26电流 I。图2-26 习题2-7的图第 2 章电路的分析方法2-8 试用节点电压法重求上题中的电流 I。2-9 试用节点电压法求图2-27所示电路中各支路电流。图2-27 习题2-9的图第 2 章电路的分析方法2-10 试用节点电压法求图2-28所示电路中的各节点电压。图2-28 习题2-10的图第 2 章电路的分析方法2-11 试用叠加定理重解习题2-7。2-12 试用叠加定理求解图2-29所示电路中的电流
33、 I。图2-29 习题2-12的图第 2 章电路的分析方法2-13 画出图2-30所示电路的戴维南等效电路。图2-30 习题2-13的图2-14 试用戴维南定理求图2-29所示电路中的电流 I。第 2 章电路的分析方法2-15 试用戴维南定理求图2-31所示电路中的电流I。图2-31 习题2-15的图第 2 章电路的分析方法2-16 在图2-32所示电路中，求RL为多大时，它吸收的功率最大，并求此最大功率。图2-32 习题2-16的图第 2 章电路的分析方法2-17 电路如图2-33所示，（1）用戴维南定理求 I；（2）求A点电位；（3）求恒流源的功率，判断它是电源还是负载。第 2 章电路的分析方法图2-33 习题2-17的图
