1、1.理解含绝对值不等式的性质，及理解含绝对值不等式的性质，及其中等号成立的条件，并能恰当运用；其中等号成立的条件，并能恰当运用；2.会解简单的含绝对值的不等式；会解简单的含绝对值的不等式；3.会应用柯西不等式及排序不等式会应用柯西不等式及排序不等式求有关最值及证明不等式求有关最值及证明不等式.1.若若|x-a|,|y-|,则下列不等式成立的则下列不等式成立的是是()C2aA.x-yC.|x-2y|3 由由|y-|知知|a-2y|2.又又|(x-a)+(a-2y)|x-a|+|a-2y|+2,即即|x-2y|3，选，选C.2a2.不等式不等式|2x-1|3的解集是的解集是 .x|-1x23.若若
2、0a1a2,0b1b2,且且a1+a2=b1+b2=1,则下则下列代数式中值最大的是列代数式中值最大的是()AA.a1b1+a2b2 B.a1a2+b1b2C.a1b2+a2b1 D.12 因为因为0a1a2，0b1b2，由排序不等，由排序不等式可知式可知a1b1+a2b2最大最大.4.若若2x+3y=1，则，则4x2+9y2的最小值为的最小值为 ,且且最小值点为最小值点为 .121 1(,)4 6 由柯西不等式，由柯西不等式，所以所以(4x2+9y2)(12+12)(2x+3y)2=1,所以所以4x2+9y2 .当且仅当当且仅当2x1=3y1，即，即2x=3y时取等号时取等号.2x=3y x
3、=2x+3y=1 y=,所以所以4x2+9y2的最小值为的最小值为 ,最小值点为最小值点为(,).12由由，得，得14161214165.5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分个人的水桶需要的时间分别是别是4分钟、分钟、8分钟、分钟、6分钟、分钟、10分钟、分钟、5分钟，统筹安排这分钟，统筹安排这5个人接水的顺序，使个人接水的顺序，使他们等待的总时间最少为他们等待的总时间最少为 分钟分钟.84 5个人接水分别按个人接水分别按4分钟、分钟、5分钟、分钟、6分钟、分钟、8分钟、分钟、10分钟的顺序进行，分钟的顺序进行，
4、因 此 等 待 的 总 时 间 最 少 为因 此 等 待 的 总 时 间 最 少 为45+54+63+82+101=84分钟分钟.1.含绝对值不等式的性质含绝对值不等式的性质(aR)(1)|a|0(当且仅当当且仅当a=0时取时取“”号号)；(2)|a|a;(3)-|a|a|a|；(4)|ab|.2.柯西不等式柯西不等式设设a1,a2,a3,an,b1,b2,b3,bn是实数，则是实数，则(a12+a22+an2)(b12+b22+bn2).,当且仅当当且仅当bi=0(i=1,2,3,n)或存在一个数或存在一个数k,使得使得 时等号成立时等号成立.|a|-|b|a|+|b|(a1b1+a2b2+
5、anbn)2ai=kbi(i=1,2,3,n)3.排序不等式排序不等式设设a1a2an,b1b2bn为两组数，为两组数，c1,c2,cn是是b1,b2,bn的任一排列，那么的任一排列，那么 .a1c1+a2c2+ancn ,当且仅当当且仅当a1=a2=an或或b1=b2=bn时，反序时，反序和 等 于 顺 序 和和 等 于 顺 序 和.排 序 不 等 式 可 简 记 为排 序 不 等 式 可 简 记 为“”.a1bn+a2bn-1+anb1a1b1+a2b2+anbn反序和反序和乱序和乱序和顺序和顺序和例例1解不等式解不等式|x2-9|x+3.（方法一）（方法一）x2-90 x2-90 x2-
6、9x+3 9-x2x+3由由解得解得x=-3或或3x4，由，由解得解得2x3,所以原不等式的解集是所以原不等式的解集是x|2x4或或x=-3.原不等式原不等式或或,(方法二方法二)原等式原等式-(x+3)x2-9x+3 x-3或或x2 -3x4所以原不等式的解集是所以原不等式的解集是x|2x4或或x=-3.(方法三方法三)设设y1=|x2-9|,y2=x+3(x-)，由，由|x2-9|=x+3解得解得x1=4,x2=-3,x3=2,在同一坐标系下作出他们的在同一坐标系下作出他们的图象，由图得使图象，由图得使y1y2的的x的的取值范围是取值范围是x=-3或或2x4,所以原不等式的解集是所以原不等
7、式的解集是x|2x4或或x=-3.x=-3或或2x4,数形结合的运用要解出两函数图象的交点数形结合的运用要解出两函数图象的交点.例例2 已知已知a、bR,且且ab,求证求证:-|a-b|.211a 211b 原不等式等价于原不等式等价于|a-b|,即等价于即等价于|a+b|0,所以所以(a2+1)(b2+1)a+b.同理，同理，(a2+1)(b2+1)+(a+b)=2a2b2+a2+b2+(a+1)2+(b+1)20,所以所以(a2+1)(b2+1)-（a+b）.从而原不等式成立从而原不等式成立.1212(证法二证法二)先用比较法后用放缩法先用比较法后用放缩法.(a2+1)(b2+1)-(|a
8、|+|b|)=a2b2+(|a|-)2+(|b|-)2+0,从而从而|a+b|a|+|b|(a2+1)(b2+1),从而原不等式成立从而原不等式成立.(证法三证法三)三角代换法三角代换法.令令a=tan,b=tan,则则a+b=,(a2+1)(b2+1)=,即证即证|sin(+)|coscos|1,此式显然成立此式显然成立.121212|sin()|coscos|221coscos例例3 (1)设设x、y满足满足2x2+3y2=5,求求A=x+2y的最值的最值;(2)设设x+y+z=1,求求A=2x2+3y2+z2的的最小值最小值.(1)(x+2y)2=(x +y )（2x2+3y2）(+)=
9、(2x2+3y2).因为因为2x2+3y2=5,所以所以(x+2y)2 ,所以所以-x+2y .x=2x2+3y2=5 y=x=-y=-212313124311655633063306当当212x343y=,即解得即解得330222 33033时时,Amax=,3306解得解得330222 33033时，时，Amin=-.3306(2)(x+y+z)2=(x +y +z)2(2x2+3y2+z2)(+1).因为因为x+y+z=1,所以所以2x2+3y2+z2 .=z x+y+z=1,Amin=.2123131213611当当212x313x即即x=,y=,z=时时,311211611611 配
10、凑出符合公式的形式，注意公式的配凑出符合公式的形式，注意公式的正用、逆用正用、逆用.在二次形式限制下，求一次函在二次形式限制下，求一次函数的最值，在一次形式的条件下，求二次数的最值，在一次形式的条件下，求二次形式的最小值等形式的最小值等.例例4 在在ABC中，角中，角A、B、C所对边分所对边分别为别为a、b、c.求证求证:.3aAbBcCabc2 不妨设不妨设abc,于是于是ABC，由排序，由排序不等式：不等式：aA+bB+cCaA+bB+cC;aA+bB+cCbA+cB+aC;aA+bB+cCcA+aB+bC.三式相加得：三式相加得：3(aA+bB+cC)(a+b+c)(A+B+C)=(a+
11、b+c),得得 .又由又由0b+c-a,0a+b-c,0a+c-b,得得0A(b+c-a)+C(a+b-c)+B(a+c-b)=a(B+C-A)+b(A+C-B)+c(A+B-C)=a(-2A)+b(-2B)+c(-2C)=(a+b+c)-2(aA+bB+cC),所以所以 ,所以所以 .3aAbBcCabc2aAbBcCabc32aAbBcCabc 注意排序式的轮换对称，同时注意注意排序式的轮换对称，同时注意内角和的条件，甚至把内角和的条件，甚至把变成变成A+B+C寻找寻找不等转换的条件不等转换的条件.P是是ABC内一点，内一点，x、y、z分别是分别是P到三边到三边a、b、c的距离，的距离，R
12、是是ABC外接圆外接圆半径半径,求证：求证：+.xyz22212abcR 记记S为为ABC的面积，的面积，则则ax+by+cz=2S=2 =,所以所以 +=.4abcR2abcRxyz111axbyczabc111axbyczabc1112abcRabc2abcabbccaRabc12abbccaR22212abcR1.解含绝对值不等式的思路：解含绝对值不等式的思路：化去绝化去绝对值符号，转化为不含绝对值的不等式对值符号，转化为不含绝对值的不等式.解解法如下：法如下：(1)|f(x)|0)-af(x)a(a0)f(x)a;(3)|f(x)|g(x)-g(x)f(x)g(x)f(x)g(x);(
13、5)|f(x)|g(x)|f(x)2|g(x)|f(x)2g(x)2.(7)含有两个或两个以上绝对值符号的含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于不等式，一般可用零点分段法求解，对于型如型如|x-a|+|x-b|m或或|x-a|+|x-b|m(m为正常为正常数数)的不等式，利用实数绝对值的几何意义的不等式，利用实数绝对值的几何意义求解较简便求解较简便.2.要重视绝对值的几何意义、数形结合，要重视绝对值的几何意义、数形结合，快速解出型如快速解出型如|x-a|+|x-b|c等这类含绝对值等这类含绝对值不等式的解集不等式的解集.3.注意存在性与恒成立问题的区别，不注意存在性
14、与恒成立问题的区别，不等式有解，不一定恒成立，但不等式恒成等式有解，不一定恒成立，但不等式恒成立，一定有解立，一定有解.4.注意：注意：二维形式的柯西不等式；二维形式的柯西不等式；向量形式的柯西不等式：设向量形式的柯西不等式：设,是两是两个向量，则个向量，则|，当且仅当，当且仅当是零向是零向量或存在实数量或存在实数k,使使=k时，等号成立时，等号成立;注意公式的逆用注意公式的逆用:如如a1b1+a2b2+a3b3 ;解题的关键是找出两组数解题的关键是找出两组数.21 1223 3()aba ba b222222123123()()aaabbb5.二维形式的三角不等式：设二维形式的三角不等式：设
15、x1、y1、x2、y2R,那么那么 +.注意：把不等式两边各个式子与两注意：把不等式两边各个式子与两点距离公式联系起来，运用几何关系、点距离公式联系起来，运用几何关系、数形结合法证明不等式，当三点共线时数形结合法证明不等式，当三点共线时取等号取等号.2211xy2222xy221212()()xxyy学例1 (2009广东卷广东卷)不等式不等式 1的实的实数解为数解为 .|1|2|xx(-,-2)(-2,-.32 1|x+1|x+2|且且|x+2|0,解得解得x-且且x-2.|1|2|xx32学例2 (2006广东卷广东卷)A是由定义在是由定义在2,4上且满上且满足如下条件的函数足如下条件的函
16、数(x)组成的集合：组成的集合：对任意对任意x1,2，都有，都有(2x)(1,2);存在常数存在常数L(0L1)，使得对任意的，使得对任意的x1、x21,2，都有，都有|(2x1)-(2x2)|L|x1-x2|.(1)设设(x)=,x2,4,证明证明:(x)A;(2)设设(x)A,如果存在如果存在x0(1,2),使得使得x0=(2x0)，证明：这样的证明：这样的x0是惟一的是惟一的;(3)设设 (x)A,任 取任 取 x1(1,2),令令xn+1=(2xn),n=1,2,证明证明:给定正整数给定正整数k,对任意对任意的正整数的正整数p,不等式不等式|xk+p-xk|x2-x1|成立成立.1x3
17、11KLL (1)对任意对任意x1,2，(2x)=,x1,2,(2x),1 2,所以所以(2x)(1,2).对任意对任意x1、x1,2,|(2x1)-(2x2)|=|x1-x2|,因为因为6 +9,1x3335333532211222(12)(12)(12)(12)xxxx33321(12)x12(12)(12)xx22(12)x333所以所以 .令令 =L,0L1,所以所以|(2x1)-(2x2)|L|x1-x2|，所以所以(x)A.292211222(12)(12)(12)(12)xxxx333132211222(12)(12)(12)(12)xxxx333(2)反证法：设存在两个反证法：
18、设存在两个x0,x0(1,2),x0 x0使得使得x0=(2x0),x0=(2x0)，则由则由|(2x0)-(2x0)|Lx0-x0,得得x0-x0L|x0-x0|，所以所以L1，矛盾，故假设不成立，从而所证结，矛盾，故假设不成立，从而所证结论成立论成立.(3)|x3-x2|=|(2x2)-(2x1)|L|x2-x1|,所以所以|xn+1-xn|Ln-1|x2-x1|,所以所以|xk+p-xk|=|(xk+p-xk+p-1)+(xk+p-1-xk+p-2)+(xk+1-xk)|xk+p-xk+p-1|+|xk+p-1-xk+p-2|+|xk+1-xk|Lk+p-2|x2-x1|+Lk+p-3|x2-x1|+Lk-1|x2-x1|x2-x1|.故对于给定的正整数故对于给定的正整数k,对任意的正整数对任意的正整数p，不等式不等式|xk+p-xk|x2-x1|成立成立.11kLL11kLL本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来立足教育，开创未来
