1、第二章 矩阵及其运算矩阵是线性代数的一个主要研究对象，也是数学上的一个重要工具。矩阵的应用已经渗透到了包括自然科学、人文科学、社会科学在内的各个领域。在矩阵理论中，矩阵的运算起着重要的作用，本章主要讨论有关矩阵运算的一些基本规则与技巧。2.2 逆矩阵2.1 矩阵的概念及运算2.3 矩阵的分块1.定义定义 由mn个数aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成的m行n列的数表111212122212.nnmmmnaaaaaaaaa称m行n列矩阵，简称mn矩阵。记作111212122212.nnmmmnaaaaaaaaaA一、概念：这 mn 个数称为矩阵 A 的元素，简称为元，数 aij 位于矩阵
2、 A 的第 i 行第 j 列，称为矩阵 A的(i,j)元。以数 aij 为(i,j)元的矩阵可简记作(aij)或(aij)mn，mn 矩阵 A也记作A mn。元素是实数的矩阵，称为实矩阵；元素是复数的矩阵称为复矩阵。行数与列数都等于 n 的矩阵称之为 n 阶方阵，记作 An。2.行矩阵、列矩阵与方阵行矩阵、列矩阵与方阵 只有一行的矩阵称行矩阵，又称行向量。只有一列的矩阵称为列矩阵，又称为列向量。行数与列数都等于n的矩阵叫方阵，记为An。3.同型矩阵与矩阵相等同型矩阵与矩阵相等:如果两个矩阵的行数相等、列数也相等，就称它们是同型矩阵。如果两个同型矩阵的对应元素相等，那么就称这两个矩阵相等。记作：
3、A=B4.零矩阵零矩阵:元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O。不同型的零矩阵是不相等的。5.对角矩阵、单位矩阵与数量矩阵对角矩阵、单位矩阵与数量矩阵 如果 n 阶方阵除主对角线上的元素不全为零外，其余元素全为零，这样的 n 阶方阵称为对角矩阵。记作 A=diag(1,2,n)如果n 阶方阵如果满足主对角线上的元素全为1，其余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶单位矩阵。记作En 或 E。如果n 阶方阵主对角线上的元素全为k，其余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶数量矩阵。二、矩阵的运算1.矩阵的加法矩阵的加法:设有两个同型的 mn 阶矩阵A=(aij)、B=(bij)，则矩阵 A
4、与 B 的和记为A+B，并规定 111112121121212222221122.nnnnmmmmmnmnabababababababababAB注：矩阵的加法只能在两个 同型矩阵之间进行；两个矩阵相加时，对应 元素进行相加。矩阵加法的运算律：(1)A+B=B+A (2)(A+B)+C=A+(B+C)设矩阵 A=(aij)，记A=(aij)，称 A为矩阵 A的负矩阵。由矩阵加法的定义，显然有 A+(A)=O，由此，矩阵的减法可定义为 B=+(B)2.矩阵的数乘：矩阵的数乘：数与矩阵的乘积记为A或A，并规定：111212122212.nnmmmnaaaaaaaaaA 由此可见，矩阵的数乘仍然是一
5、个与原矩阵同型的矩阵，并且，是用数与矩阵的每一个元素相乘。矩阵数乘的运算律：矩阵的加法与数乘合起来通称为矩阵的线性运算。3.矩阵的乘法：矩阵的乘法：设矩阵 A为mn 阶矩阵、矩阵B为 np 阶矩阵，A=(aij)mn、B=(bij)np，则矩阵 A与 B 的乘积为一 mp 阶矩阵C=(cij)mp，记 C=AB，且(1)()()(2)()(3)()AAAAAABAB11.jiinijnjbaacb 1 12 211,2,()1,2,ijijijinnjnikkjkca ba ba bima bjp 就是说，矩阵C 的第 i 行第 j 列的元素等于矩阵 A 的第 i 行的所有元素与矩阵 B 的第
6、 j 列的对应元素的乘积之和。(1)()()(2)()()()(3)()()(4)mm nm nm nnm nAB CA BCABA BABA BCABACBC ABACAE AAAEA矩阵 A 与矩阵 B 做乘法必须是左矩阵的列数与右矩阵的行数相等；矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，AB是A左乘B的乘积，BA是A右乘B的乘积；AB与BA不一定同时会有意义；即是有意义，也不一定相等；AB=O 不一定有A=O或B=O；A(X Y)=O 且 A O 也不可能一定有X=Y1 111 1 11122 22.ABABBAABABBAO0如：显然有：矩阵乘法不满足交换律与结:消去律总只有方阵，它的乘幂
7、才有意义。由于矩阵的乘法满足结合律，而不满足交换律，因而有下面的式子：(1)An Am=An+m (2)(An)m=An m (3)(AB)k Ak Bk()nnnAAAA为正数 4.矩阵的乘幂：矩阵的乘幂：设 A 是 n 阶方阵，定义：5.矩阵的转置：矩阵的转置：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的一个新矩阵，叫做 A的转置矩阵，记作AT。如果 A是一个 mn 阶矩阵，那么 AT 就是一个 nm 阶矩阵。且 A 的行一定就是 AT中同序数的列T141232545636AATTTTTTTTTT(1)()(2)()(3)()(4)()AAABABAAABB A证明：设矩阵 A为ms 阶矩阵，矩阵
8、 B为sn阶矩阵，那么：(AB)T与 BTAT 是同型矩阵；又设 C=A B，因为 CT的第 i 行第 j 列的元素正好是 C 的 cji，即cji=aj1b1i+aj2b2i+ajsbsi=b1iaj1+b2iaj2+bsiajs而b1i，b2i，bsi 正好是 BT的第 i 行，aj1,aj2,ajs 正好是 AT的第 j 列，因此 cji 是 BTAT的第 i 行第 j 列的元素。故 (AB)T=AT BT6.方阵的行列式方阵的行列式 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式(各元素的位置不变)，称为方阵 A 的行列式，记为|A|或 det A。注意：行列式与方阵是两个不同的概念，且它们
9、的记号也是不同的。方阵的行列式满足以下运算规律(设 A、B为n 阶方阵，为实数)T(1)|(2)|(3)|(4)|nAAAAABABABBA2.上上(下下)三角矩阵：三角矩阵：10.00.001.00.0.00.100.kkkkkE1112111222212212.0.00.0 .00.nnnnnnnnaaaaaaaaaaaa1.数量矩阵数量矩阵：矩阵 k E 称为数量矩阵。三、几类特殊的矩阵3.行阶梯矩阵与行最简矩阵行阶梯矩阵与行最简矩阵：一个 mn 阶矩阵 A=(aij)它的第 i 行的第一个非零元素记为 ,如果当ik时,有 ji jk 时，称 A为行阶梯矩阵。若矩阵 B 满足以下条件 (
10、1)B是行阶梯矩阵；(2)B的每一非零行的第一 个非零元素为1；(3)每一非零行的第一个非零元素所在的列除它自身外其余元素全为零。称矩阵 B 为行最简矩阵。iija2 3 0 0 1 50 0 7 8 2 00 0 0 1 0 90 0 0 0 0 0A1 3 0 0 1 50 0 1 0 2 00 0 0 1 0 90 0 0 0 0 0B4.对称矩阵与反对称矩阵对称矩阵与反对称矩阵：设 A为 n 阶方阵，若AT=A，即 aij=aji(i,j=1,2,n)，称矩阵A 为对称矩阵；若AT=A，即 aij=aji (i,j=1,2,n)，称矩阵 A 为反对称矩阵。5.正交矩阵正交矩阵：若 n
11、阶方阵 A 满足 AAT=ATA=E称 A为正交矩阵。6.幂等、幂零、幺幂矩阵幂等、幂零、幺幂矩阵：若 n 阶方阵A满足：A2=A，称 A为幂等矩阵 Ak=O，称 A为幂零矩阵 Ak=E，称 A为幺幂矩阵7.伴随矩阵：伴随矩阵：设 A=(aij)nn，矩阵A中元素aij的代数余子式Aij构成的如下矩阵11211*1222212.nnnnnnAAAAAAAAAA称矩阵A的伴随矩阵，记为A*(det)AAA AA E伴随矩阵有如下重要性质：T1 1 1 2 312 3 nABCABC设，求例例1 11123112332.()().()().()11 1 1 232 33111 123132 12
12、3331nnnn CCC CABABABA BABA BBAC而所以：解：TTTTTTTTTT ()()nABAB ABAAB ABB ABB ABB AB设、为阶矩阵，且为对称矩阵，证明，仍是对称矩阵。因为，所以证故是对阵：。明称矩例例2.2.TTTTTTTTT ()()()nABABABBAABABABABB AAABBABB ABAABBAAB设、都是 阶对称矩阵，证明是对称矩阵的充要条件是是对称矩阵而，又，所以有：故是为对称矩阵证明：的充要条件.例3.TT12TTTTTTTTT2T2TT2TT(,.,)2(2)(2)2(2)44()44()(4nx xxnXX XEHEXXHHHEHE
13、XXEXXEXXHHHHEXXEXXXXEXXXX设列矩阵满足=1,为 阶单位矩阵，,证明是对称：矩证阵，且=明例.TTTTTT)44()44XXEXXX X X XEXXXXE 设对于 n 阶方阵 A，若存在 n 阶方阵 B 使得 A B=B A=E恒成立，则称矩阵 A 可逆；B 称为 A 的逆矩阵，记为 A1=B 。1.若矩阵 A可逆，则 A的逆矩阵是唯一的。证明：设 A有两个逆矩阵B1、B2，则 B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2一、可逆矩阵的定义二、可逆矩阵的判断2.若|A|0，则 A可逆，且1*1121111121*122222122212121 .nnnnn
14、nnnnnnnijijaaaaaaaaaa A A A A A A A A AA A A A AA A其中是矩阵 的元素 的代数余子式。证明：由行列式的代数余子式的性质及矩阵乘法的定义有：AA*=A*A=|A|E，又|A|0*1*111()():|AAA AEAAAAA故3.对于n 阶方阵 A、B 若有 AB=E则：A、B 均可逆，且它们互为可逆矩阵。证明：AB=E|A|B|=1 故|A|0且|B|0，A、B均可逆，且 A1=B1.若 A 可逆，则|A|0证明：A可逆 A A1=A1 A=E故|A|A1|=1，即|A|0 同时还有11|AA三、可逆矩阵的性质奇异矩阵与非奇异矩阵：若n方阵的行列
15、式|A|0，称矩阵 A为非奇异矩阵，否则矩阵A称为奇异矩阵。2.如果A、B均可逆，那么AT与AB都可逆，且 (AT)1(A1)T (AB)1B1A1证明：A、B均可逆 AA1=A1AE 故 (AA1)T=(A1)TATET=E (AT)1=(A1)T同理(AB)(B 1 A1)(B 1 A1)(AB)E (A)1=1 A111111.0 1.11nnnnaaaaaaAABABBAEAB设且，求：且所以例有解：1*1*3 1.0 22160 31113 6102.2AAAAAAA例解：设，求，1*1*1 2 3 40 1 2 30 0 1 20 0 0 112 100 12 110 0120 0
16、011231010 12 10 01201.00AAAAAAA设，求：，例解：所以1212121212 ().().(.()(.4.(.kkkkkkkAEAEAAAEA EAAAEAAAEAEAAAAAAEAE0如果，那么（）例证明：）*1*1().0 1()5.AAAAAA AAAA EAAAAEAAAAAAQ设矩阵 可逆，求证也可逆，并求可逆，有由公式 有，可逆且 例证：21TT111TT11T1TT1111 T11T111 ()()()()()()()()()()()()()()(6).nABAABEEA BEBAEA BEBAEA BAABAEB AAB AEB AA ABEBAA A
17、BABAB已知，为阶对称矩阵，且 可逆，化简例解：22AB*11*(A)(B)(C)(D7.)nnnDAAAAAAAAA设 为 阶可逆矩阵，则例111(A)(B)8.(C)(D)()nCABABABABBAABA BABBA设，为 阶矩阵，则例1 2 31 32 12 2 1,2 0,5 33 4 339.1.ABCXAXBC已知求矩阵 使满足例111 2 32 12 2 120,10,5 33 4 3132313 23 5 2,52111ABAB A B均逆，且解可：111321 3313 23 5 22 0521113 1112131 02104.5202104XA CB 故：2310:0
18、41.AAEOAAE已知，证明和都可逆，并求出例它们的逆矩阵13(3)10101(3)10AEA AEEAEAAAE所以 可逆且证：，明111111 ()()()()()()()()()()11.nA BEABEBAEBAEB EABAEBA EB EABAEBAEBA B EABAEBABBAB EABAEBAB EAB EABAEBABAE设，为 阶方阵，且与均可逆，证：明：例证1(4)()6(4)61(4)()6AEAEAEEAEEAAEAE又所以 可逆，且 本节来介绍一个在处理高阶矩阵时常用的方法，即矩阵的分块。将矩阵A用若干条横线与若干条纵线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵A的
19、子块。以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。特别在运算中，把这些小矩阵当做一个数来处理。111213142122232431323334 aaaaaaaaaaaaAA例如，设矩阵，将矩阵分成子块的形式有很多种，下面就是三种不同11121314212223243132333411121314111213142122232421222324313233343132333411122122 1)2)3)1)aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaAAAAA的分块形式：在分块形式中，其中11111212131423242122212231323334 ,aaaaaaa
20、aaaaaAAAA，111211112121222212221212.ssssrrrsrrrsAAABBBAAABBBABAAABBB即Aij与Bij有相同的列数与行数，则：A与B 的和就是以Aij与Bij为元素的形式矩阵相加。一、分块矩阵的加法：设矩阵A、B是同型矩阵，且 A 与 B 有相同的分块方法111112121121212222221122.ssssrrrrrsrsABABABABABABAABABAB二、分块矩阵的乘法：设矩阵 Amn、Bnp 且矩阵 A 列的分法与矩阵 B 的行的分法相同。11121111212122221222121212112122.srsststrrrsss
21、sttmmmpnnnnpnnpAAABBBAAAABBBBAAABBB111212122212112212112.(1,2,.,1,2,.,)ttrrrtspqpqpqpssqpkkqktrpppmrqmpmtCCCCABCCCCCCCA BA BA BA B于是有，其中，1111222212111212122212TTT21TTTTTTT.rrssrsssrrrsAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA设矩阵 的分块矩阵为则矩阵 的转置矩阵为三、分块矩阵的转置 它的特点是不在主对角线上的子块全为零矩阵，而在主对角线上的矩阵均为不全为零的方阵，则称 A为准对角矩阵准对角矩阵（或分块对角矩阵
22、分块对角矩阵）。对于准对角矩阵，有以下运算性质：若A与B是具有相同分块的准对角矩阵，且设120.00.0.00.sAAAA四、准对角矩阵 若矩阵A的分块矩阵具有以下形式11220.00.00.00.0.00.00.ssABABABAB则：11220.00.0.00.ssABABABAB11220.00.0.00.ssABA BABA BT1TT2T0.00.0.00.sAAAA 若准对角矩阵A的主对角线上的每一个方阵均可逆，则矩阵A也可逆，且1111210.00.0.00.sAAAA12120.00.0.00.ssAAAA AAA五、矩阵分块的应用15 0 00 3 10 2 11.AAAA设
23、求根据矩阵 的特点，对 进行例解：如下分块 1121112211511125 0 000 3 1500 2 113 1112 12 35000011002 3AAAAAAAAAA，其中、111111221221112121222121112221212111222121111122122 2,.,0 AXABXB 0XXXXXEXXXXE00 AXXB 00 EX B X AE0X B X A0 EX BE X A0X B0 X AEX0XBXAX0X设且 与 均可逆，求设例解：则有即，1110BA01231231 2 0 0 03 7 0 0 00 0 1 0 00 0 0 9 50 0 0
24、 7 41 2 0 0 03 7 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 9 50 0 0 7 41 2 9 5|13 7 73.4AAAAAAAAA AA设，求对 进行分块如下解：例：11111122122111212122211121112112222 .4 A 0XACB CXXXXX XEXXXXE0A 0B CXX0 EAXAXE0BXCXBXCX0 E设，且与均是可逆例解：矩阵，求设即：1111111212111121211122222211111 0 XAAXEXAXBXCXXC BABXCXEXCAXC BAC故：0001TTTTT1T1T1TT1T11 T1 T1 TT1
25、T1 T11111 ()()()()()()5 .A BXAC0 CXA0XBCA0XCBACA0XCBACAA BCX0CQ-例解：设且 与 均是可逆矩阵，求（）（）（）（）故：1111111123121331111 1 31236.2 1 3 40 2 1 3 0 0 2 10 0 0 25 5118 1624 11 5024 8AAAA A AA AAAAAAA A A例解：设，求，00551124816511124811241200 00 0 0A故：六、矩阵按行、列分块11121T212221212T1T2T.(,.,).1,2,.,.nniiiinmmmnmaaaaaaaaaima
26、aaAAL记，则：1112121222121212.(1,2,.)(,.,).nnmmmnjjjnmjaaaaaaaaaaajnaAA 记则11 11221121 1222221 1221112111122212222.().nnnnmmmnnmijnnnma xa xa xba xa xa xba xaxa xbaaaabxbxbaaabxbAxbB对于线性方程组记12.mmmnmaaabAxb则 如果把系数矩阵A按行分成m块，则线性方程组 可记作bAx T11T22TT .1,2,.,)mmiibbbbimAxx x即 （12121 122 (,.,).nnnnxxxxxxAx bb即 如
27、果把系数矩阵A按列分成 n块，则线性方程组 可记作bAx 对于矩阵 与矩阵 的乘积 ，若把矩阵 A 按行分成 m 块，把矩阵 B 按列分成 n 块，便有：ijm saA ijs nbB ijm ncABCTTTT111211TTTT22122212TTTT12.nnnmmmmn b b b b b bABb bb b b b七.方阵A的n次多项式012012 ()()()()()()()nnkmxaa xaaxnmaaaafmggx2n2nfx+.+xA f AEAA+.+AAAAAEAf AAA f AA设为 的 次多项式，为 阶方阵，记称为矩阵 的 次多项式.由于方阵、对乘法是可交换的，所
28、以矩阵 的多项式的乘法也是可交换的，即从而 的多项式可以象数 的多项式分233232(2)()()33AAEAEAEAEAAAE解因式.如：11012121101211212(1)()()(2)(,.,)(,.,),kknnnnkkkknaaaaaaaafdiagdiag 2nAP PAP Pf AEAA+.+AEPPP P+.+P PP P如果，则，从而如果，那么从而我们经常用如下的方法来计算矩阵的多项式：01212012112222212().11 .1 .()().()nnnnnnnnnaaaaaaaafff2nf E+821 15()(75).6.APPPAAEAA1 11设，其中=1 0-2，求例1-1 1118910()()()5612(1)(1)0(50:)APPAPPAP P解而11()()1 11121 11 1 0201 0211101111 0 02221 121 0 030361 0 01211 1 1 4 1 1 11 1 1AP P
