1、第第1章章距离空间与拓扑空间距离空间与拓扑空间1.11.2 1.3 1.4 1.5 定义和举例定义和举例收敛概念收敛概念稠密性与完备性稠密性与完备性可分性与列紧性可分性与列紧性连续映射连续映射在数学分析中在数学分析中 研究对象研究对象函数函数 基本工具基本工具极限，是分析理论的基础极限，是分析理论的基础 定义极限的基础定义极限的基础距离距离 在泛函分析中将上述内容推广在泛函分析中将上述内容推广 研究对象研究对象算子、泛函算子、泛函（空间到空间的映射）（空间到空间的映射）首先引入度量工具首先引入度量工具距离距离 然后在度量空间中然后在度量空间中定义极限，建立相应的理定义极限，建立相应的理论，进一
2、步对每一个具体空间引入相应的结论。论，进一步对每一个具体空间引入相应的结论。1.1 定义和举例定义和举例1）定义（距离空间）定义（距离空间）设设X是非空集合，若是非空集合，若?x,y?X?(x,y)?0 0，且满足（，且满足（距离公理距离公理）按一定按一定规则规则（1）非负性）非负性?(x,y)?0,0,当且仅当当且仅当x?y 时时,?(x,y)?0 0（2）对称性）对称性?(x,y)?(y,x)（3）三角不等式）三角不等式?x,y,z?X,有有?(x,y)?(x,z)?(z,y)则称实数则称实数?(x,y)为元素为元素x与与y之间的距离，称之间的距离，称X为距为距离空间或度量空间，离空间或度
3、量空间，记作记作(X,?)或或 X。距离空间中的元。距离空间中的元素也称为素也称为“点点”，用，用“”表示。表示。距离距离?(?,?)是集合是集合 XX（称为乘积空间或笛卡尔（称为乘积空间或笛卡尔积空间）到实数集合积空间）到实数集合 R 上的二元泛函（或称函数）上的二元泛函（或称函数）。2）举例）举例 例例 1 设设 R 是非空实数集合，是非空实数集合，?x,y?R，111 若定义若定义?(x,y)?x?y，验证知三条距离公理成立，则验证知三条距离公理成立，则 R 按定义按定义?为距为距1离空间，即通常意义下的距离空间，常称欧氏空间。离空间，即通常意义下的距离空间，常称欧氏空间。?(x,y)?
4、1 若定义若定义1x?y验证知三条距离公理验证知三条距离公理1?x?y，成立，所以，成立，所以，R 按定义按定义?1也是距离空间也是距离空间 2 若定义若定义?2(x,y)?x?y?，验证不满足第三条公理，所以验证不满足第三条公理，所以R 按定义按定义?2不是不是 1距离空间距离空间 可见，可见，同一空间可以定义不同的距离，同一空间可以定义不同的距离，从而形成不从而形成不同的距离空间。同的距离空间。例例 2 设设 R 是是 n 维向量全体构成的空间，维向量全体构成的空间，n?x?(x1,x2,L,xn),y?(y1,y2,L,yn)?R?(x,y)?定义定义n n?(x?y)iii?1n2 证
5、明：证明：R 在在?下为距离空间，下为距离空间，即通常意义下的欧氏空间。即通常意义下的欧氏空间。Rn,?x?(x1,x2,L,xn),y?(y1,y2,L?3(x,y)max1?i?nxi?yi，?4(x,y)min1?i?nxi?yi?4(x,y)能否定义能否定义Rn上的距离？上的距离？yn)?Rn,思考：思考：特别的，当特别的，当 n=1 时，时，?(x,y)?x?y，当当 n=2 时，时，?(x,y)?(x1?y1)?(x2?y2)22如果在如果在 R 中，定义中，定义d(x,y)?x1?y1?x2?y2，2验证得知验证得知 R 按按d也是距离空间，但与欧氏空间是不同也是距离空间，但与欧
6、氏空间是不同2的度量空间。的度量空间。例例3 设设Ca,b表示定义在表示定义在a,b上的所有连续函数的上的所有连续函数的全体。全体。?x(t),y(t)?Ca,b，定义，定义?(x,y)?max x(t)?y(t)t?a,b则则Ca,b是距离空间。是距离空间。例例4 设设L a,b(p?1)表示表示a,b上上p方可积的所有函数的方可积的所有函数的?p全体，即全体，即L a,b?x(t)?pp?ba?x(t)dt?。?p?x(t),y(t)?L,定义定义?(x,y)?bax(t)?y(t)dtp?1/p 则则L a,b是距离空间，常称为是距离空间，常称为2pp方可积的空间。方可积的空间。特别的，
7、当特别的，当p=2 时，时，L a,b称为平方可积的空间。称为平方可积的空间。例例 5 设设l(P?1)是所有是所有p方可和的数列所成的集合，方可和的数列所成的集合，p即即?x?xi 满足满足?xi?，i?1?p?pxi?yi?对于对于?x?xi,y?yi?l,定义定义?(x,y)?i?1?p1/p?，则则l是距离空间，常称为是距离空间，常称为p方可和的空间。方可和的空间。p特别的，当特别的，当p=2，l称为平方可和距离空间。称为平方可和距离空间。2Remarks:对对不同的对象（集合）不同的对象（集合），应根据对象的性质定义适当，应根据对象的性质定义适当的、有意义的距离。的、有意义的距离。对
8、对同一个集合定义不同的距离，构成不同的距离空同一个集合定义不同的距离，构成不同的距离空间。间。1.2 收敛概念收敛概念1)定义定义（收敛点列）（收敛点列）设设X是一个距离空间，是一个距离空间，中点列，中点列，x?X。若。若?0,?N,当当n?N时时,?(xn,x)?（即（即n?时时,?(xn,x)?0）则称点列则称点列x n在在X中按距离中按距离?收敛于收敛于x，记作，记作limn?xn?x或或xn?x(n?)此时，称此时，称x n为收敛点列，为收敛点列，x为为x n的极限点。的极限点。x n是是X 定理定理 1（极限唯一性）（极限唯一性）在距离空间在距离空间X中，收敛点列中，收敛点列 x n
9、的极限是唯一的。的极限是唯一的。定理定理 2（极限存在的有界性）（极限存在的有界性）在距离空间在距离空间X中的收敛中的收敛点列点列x n必有界。必有界。即即?x0?X,及实数及实数r?0,使得使得?xn,都有都有?(xn,x0)?r 定理定理 3（距离的连续性）（距离的连续性）在距离空间在距离空间X中，中，距离距离?(x,y)是两个变元是两个变元x,y的连续泛函。即当的连续泛函。即当xn?x0,yn?y0时时?(xn,yn)?(x0,y0)(n?)2）柯西点列（柯西点列（Cauchy）定义定义 设设x n是距离空间是距离空间X中的一个点列，若中的一个点列，若?0,?N,当当n,m?N时时,?(
10、xn,xm)?（即（即n,m?时，时，?(xn,xm)?0）则称则称x n为为基本点列基本点列或或Cauchy点列点列。11例如在例如在 R 中，点列中，点列xn?n，是，是 Cauchy 列，也是收敛列，也是收敛点列。点列。注：注：R 中有结论中有结论：x n是收敛数列是收敛数列?x n是是 Cauchy 数列数列。1但在一般的距离空间中，该结论不成立但在一般的距离空间中，该结论不成立。（X,?）定理定理 若若x n是是中的收敛点列，则中的收敛点列，则x n一定是一定是Cauchy 点列；反之，点列；反之，Cauchy 点列不一定是收敛点列点列不一定是收敛点列证明：设证明：设n?时时,?(x
11、n,x)?0，Q?(xn,xm)?(xn,x)?(xm,x)则则n,m?时时,?(xn,xm)?0。例例 1 在有理数空间在有理数空间 Q 中，点列中，点列 1,1.4,1.41,1.414,1.4142,?2?Q 是是 Q 中的中的 Cauchy 点列，但不是收敛点列；点列，但不是收敛点列；同理，点列同理，点列x(1?1nn?n)是是 Q Q 中的中的 Cauchy 点列，但点列，但不是收敛点列。不是收敛点列。例例 2，设空间，设空间X=(0,1)，则点列，则点列x1n?n?1?X按定义按定义?(x,y)?x?y是是X中的中的 Cauchy 列，但在列，但在X中不收中不收敛（极限值敛（极限值
12、0?(0,1)）。3）距离空间中的开集与闭集）距离空间中的开集与闭集（将实数集中概念推广）（将实数集中概念推广）邻域：邻域：设设A A是一个距离空间，是一个距离空间，x?A,?0，则子集，则子集 O(x,?)?y?(x,y)?,y?A 称称为为x的的?邻邻域域 内点、开集内点、开集：设：设x?A，若存在，若存在O(x,?)?A，称，称x是是A A的的内点。若内点。若A A中所有的点都是内点，则称中所有的点都是内点，则称 A A 是开集。是开集。闭集闭集：设设E E是一个集合，是一个集合，A?E，若若A A的补集的补集A?E?A 为开集，则称为开集，则称A A为为E E中的闭集。中的闭集。CE极
13、限点极限点（聚点）（聚点）、导集导集：设设E E是一个集合，是一个集合，A?E,x0?E，若在若在?O(x0,?)内都含有属于内都含有属于A A而异于而异于x0的点，则称的点，则称x0为为A A的一个的一个 极限点极限点（或聚点（或聚点）。A A的极限点的全体称的极限点的全体称为为A A的的导集导集。记作。记作A?。闭包闭包：A A的导集与的导集与A A的并集称为的并集称为A A的闭包，的闭包，记作记作A?A?U A。结论结论：闭包一定是闭集。：闭包一定是闭集。A A是闭集是闭集?A?A?A?A 1.3 距离空间的稠密性与完备性距离空间的稠密性与完备性1）完备性）完备性 定义（完备性）定义（完
14、备性）在距离空间在距离空间X中，若中，若X中的任一中的任一Cauchy 点列都在点列都在X中有极限，则称中有极限，则称X是完备的距离是完备的距离空间。空间。结论：结论：在完备的距离空间中，在完备的距离空间中，收敛点列与收敛点列与 Cauchy 是是等价的。等价的。例例 1 R 按欧氏距离是完备的距离空间。按欧氏距离是完备的距离空间。证：证：见参考书见参考书 例例2 有理数空间有理数空间 Q 按欧氏距离是不完备的距离空间。按欧氏距离是不完备的距离空间。n2L例例 3 距离空间距离空间l和和a,b按通常意义下的距离是完备的。按通常意义下的距离是完备的。2x(t)?y(t)是完备的距离空间；是完备的
15、距离空间；例例 4 Ca,b按按?(x,y)?tmax?a,bCa,b按按?1(x,y)?ax(t)?y(t)dt是是不完备不完备的距离空间的距离空间?b?Ca,b按按?(x,y)?ax(t)?y(t)dt?是不完备是不完备的距离空间的距离空间?b21/22)稠密性稠密性 定义（稠密性）定义（稠密性）设设 X是距离空间，是距离空间，A,B?X。若。若?x?A，总存在，总存在B中的点列中的点列 x n收敛于收敛于 x（即（即?x?A,?xn?B，使，使limn?xn?x），则称则称 B在在 A中稠密。中稠密。例例 1 有理数集与无理数集都在有理数集与无理数集都在 R1中稠密。中稠密。定理（稠密等
16、价）定理（稠密等价）设设A,B?X，以下三个命题等价，以下三个命题等价（1）B在在A中稠密；中稠密；（2）B?A，即，即A的任何点都是的任何点都是B的点，或者是的点，或者是B的的聚点；聚点；（3）?x?A，x的任何邻域的任何邻域O(x,?)中都含有中都含有B中的点；中的点；o(x,?)?A。（4）?0,必有必有Ux?B 性质性质：设：设A,B,C?X，若，若 A 在在 B 中稠，中稠，B 在在 C 中稠，中稠，则则 A 在在 C 中稠。中稠。例例 2 设设Pa,b为实系数多项式全体构成的集合，则为实系数多项式全体构成的集合，则?f(x)?Ca,b，必存在，必存在Pa,b中的多项式列中的多项式列
17、Pn(x)按距离按距离?(x,y)?max x(t)?y(t)t?a,b收敛于收敛于f(x)。故。故Pa,b在在Ca,b中稠密。中稠密。证明证明 见参考书见参考书 2 例例 3 若若La,b中定义距离中定义距离?(x,y)?Pa,b，Ca,b都在都在La,b中稠。中稠。2 2?bax(t)?y(t)dt2?1/2，则，则3）距离空间的完备化）距离空间的完备化 距离空间的完备性在很多方面都起着重要的作用。距离空间的完备性在很多方面都起着重要的作用。如何将一个不完备的距离空间扩充为完备的距离空间如何将一个不完备的距离空间扩充为完备的距离空间?这就是距离空间完备化的问题。这就是距离空间完备化的问题。
18、定义定义 1(映射映射)已知已知(R,?),(R1,?1)，如果，如果?x?R?y?R1，一定一定规律规律则称这个对应关系则称这个对应关系T是一个由是一个由R到到R1的映射的映射（或算子）（或算子），记为记为 y?Tx 定义定义 2(等距映射等距映射)设设(R,?),(R1,?1)都是距离空间，都是距离空间，如如果存在一个由果存在一个由R到到R1的映射的映射 T，使得，使得?x,y?R，有，有?1(Tx,Ty)?(x,y)则称则称R与与R1是等距空间，是等距空间，（或称等距同构空间）（或称等距同构空间），T 称为称为等距映射。等距映射。R x y Ty R1 Tx 例例 设设 R 欧氏距离空间
19、，欧氏距离空间，P 是是 n 阶正交矩阵，且阶正交矩阵，且nnTx?Px?x?R，证明：，证明：T是由是由 R 到到 R 的等距映射。的等距映射。nn证：由已知证：由已知?,?R（列向量）（列向量），有，有?(?,?)?n?(x?y)iii?1n2?(?)(?)T故故?(T?,T?)?(P?,P?)?(?,?)定理（完备化定理）定理（完备化定理）对于每一个距离空间对于每一个距离空间 R，必存在，必存在一个完备化的距离空间一个完备化的距离空间 R0，使得，使得 R 等距于等距于 R0中的一个中的一个稠密子空间稠密子空间 R1，并称，并称 R0为为 R 的完备化空间，且在的完备化空间，且在等距等距
20、同构的意义下，同构的意义下，R0是唯一的是唯一的。R R1 R0QQR1例例 1 有理数空间有理数空间 Q 与完备实数空间与完备实数空间 R 中的稠密子空中的稠密子空间间 Q 是等距同构的，所以实数空间是等距同构的，所以实数空间 R 是有理数空间是有理数空间 Q的完备化空间。的完备化空间。11例例 2 Ca,b按距离按距离?(x,y)?ax(t)?y(t)dt是不完备的，是不完备的，但但Ca,b?La,b，且，且Ca,b在在La,b中稠密，故中稠密，故La,b是是Ca,b的完备化距离空间。的完备化距离空间。?b?同理，同理，Ca,b按距离按距离?(x,y)?ax(t)?y(t)dt?的完备化的
21、完备化?21/2b111的距离空间为的距离空间为La,b。21.4 距离空间的可分性和列紧性距离空间的可分性和列紧性定义定义 1(可分性可分性)设设(R,?)是距离空间，如果存在一个是距离空间，如果存在一个可列子集可列子集x n，使得，使得x n在在 R中稠密，则称中稠密，则称 R是可分的是可分的（或可析的）距离空间。（或可析的）距离空间。例例 1 空间空间 R 是可分的，是可分的，因为坐标取有理数点的全体构因为坐标取有理数点的全体构成成 R 的可列稠密子集。的可列稠密子集。nn例例 2 Ca,b是可分的，是可分的，因为多项式全体因为多项式全体Pa,b在在Ca,b中稠密，而系数为有理数的多项式
22、全体中稠密，而系数为有理数的多项式全体P1a,b在在P中中稠密，稠密，P1是可列集是可列集，故，故Ca,b可分。可分。1?P?Ca,b，P同理同理L a,b是可分的。是可分的。2 P1 P Ca,b 例例 3 有界数列全体组成的空间的有界数列全体组成的空间的l?按定义按定义?(x,y)?sup xii?yi 是不可分的。其中是不可分的。其中x?x1,x2,x3,L,y?y1,y2,y3,L 证：见书上证：见书上 。在微积分中闭区间上连续函数性质在微积分中闭区间上连续函数性质（如最大最如最大最小值性，一致连续性等）的证明，是基于小值性，一致连续性等）的证明，是基于 R 中闭区中闭区间上的一个重要
23、性质间上的一个重要性质紧性。紧性。所谓紧性就是有界所谓紧性就是有界数列必有收敛子列。数列必有收敛子列。为了在距离空间中也能像微积分那样来讨论问为了在距离空间中也能像微积分那样来讨论问题，则首先将题，则首先将 R 中紧性的概念推广到距离空间中紧性的概念推广到距离空间1 1定义定义 2(列紧性列紧性)设设R是距离空间，是距离空间，A是是R的子集，的子集，（1）如果如果A的任何点列都有子列在的任何点列都有子列在R中收敛，中收敛，则称则称A是列紧集（或致密集）是列紧集（或致密集）（2）如果）如果A是列紧集，又是闭集，则称是列紧集，又是闭集，则称A是紧集。是紧集。（3）如果）如果R本身是列紧集（必是闭集
24、）本身是列紧集（必是闭集），则称，则称R是是紧空间。紧空间。定义定义 3(?网网)设设R是距离空间，是距离空间，A,B?R，若，若?0，对于，对于?x?B，开球，开球o(x,?)的全体覆盖了的全体覆盖了A，即即Uo(x,?)?A，则称，则称B是是A的一个的一个?网。网。x?B定义定义 4(完全有界集完全有界集)设设R是距离空间，是距离空间，A?R，若对于若对于?0，A 总存在有限的总存在有限的?网，即存在网，即存在x1,x2,L,xn，使得，使得Uo(xi,?)?A，则称，则称A是完全有是完全有i?1n界集。界集。性质性质（1）完全有界集一定是有界集；）完全有界集一定是有界集；（2）完全有界集
25、一定是可分的。）完全有界集一定是可分的。定理定理 1 设设A是距离空间是距离空间R的列紧集，则的列紧集，则A必必是完全有界集；是完全有界集；反之，反之，当当R是完备的距离空间时，是完备的距离空间时，若若A是完全有界集，则是完全有界集，则A必是列紧集。必是列紧集。此定理说明：在完备的距离空间，列紧集与完此定理说明：在完备的距离空间，列紧集与完全有界集是等价的。这一结论在一般的距离空间中全有界集是等价的。这一结论在一般的距离空间中不成立。列紧集一定是完全有界集，但完全有界集不成立。列紧集一定是完全有界集，但完全有界集不一定是列紧集。不一定是列紧集。定理定理 2 有限个列紧集的并仍是列紧集。有限个列
26、紧集的并仍是列紧集。定理定理 3 空集是紧集，任何有限集是紧集。空集是紧集，任何有限集是紧集。定理定理 4 若若f是定义在紧集上的连续函数，则是定义在紧集上的连续函数，则域也是紧集域也是紧集。定理定理 5 若若f是定义在紧集上的连续函数，则是定义在紧集上的连续函数，则界，并且可达到其上、下确界。界，并且可达到其上、下确界。f的值的值f必有必有1.5 距离空间上的连续映射距离空间上的连续映射定义定义(连续映射连续映射)设设(R,?),(R1,?1)都是距离空间，都是距离空间，T是由是由R到到R1的映射。如果对于给定的的映射。如果对于给定的x0?R，映射，映射T满足：满足：?0,?0，当，当x?R
27、,且且?(x,x0)?时，时，?1(Tx,Tx0)?则称映射则称映射T在在x0点连续。如果点连续。如果T在在R中的每一点都中的每一点都连续，则称连续，则称T为由为由R到到R1的连续映射。的连续映射。例例 1 设设R是以是以?为距离的距离空间，为距离的距离空间，x0?R是一是一1Tx?(x,x)个定点，个定点，令令则则 T 是一个由是一个由R到到 R 空间空间0，的连续映射（即连续泛函）的连续映射（即连续泛函）。证证 见书上见书上 定理（定理（连续的充要条件）连续的充要条件）设设R,R1是距离空间，是距离空间，T：R?R1，则，则T 在在R上连续的上连续的?x?R，当，当R中中点列点列xn?x时
28、，时，相应的，在相应的，在R1中的像点列中的像点列Txn?Tx。证证 书上书上 注：该定理类似于分析中的注：该定理类似于分析中的“海因海因”定理定理 性质性质（1）若连续映射定义于距离空间中的紧集，）若连续映射定义于距离空间中的紧集，则它的像集也是紧集。则它的像集也是紧集。（2）若连续映射）若连续映射T定义于距离空间中的紧集，定义于距离空间中的紧集，而而T的像集在实数空间中，则的像集在实数空间中，则Tx可以达到最大值与可以达到最大值与最小值。最小值。注注：由此可见，由此可见，在距离空间中，在距离空间中，定义在紧集上的定义在紧集上的连续映射，连续映射，它的基本性质类似于数学分析中定义在闭它的基本性质类似于数学分析中定义在闭区间上的连续函数。区间上的连续函数。
