1、高三理科数学试题卷 第 1 页 （ 共 4 页 ） 2020 年高中毕业年级第二次质量预测 理科数学试题卷 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写 在本试卷上无效 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本 大题共 12 小题 ，每小题 5 分，共60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1. 已知集合 A = xa +lx3a 5 , B = x|30,b0)的右焦点
2、为F，过F作直线y=- b ax和垂线，垂足为M,且交 双曲线的左支于N点，若2FNFM ，则该双曲线的离心率为 A. 3 B.2 C. 5 D. 7 二、填空题：本大题共4小题，每小题5 分，共20 分 13. 二项式(x+2 x) 6的展开式中的常数项为 14. 已知函数f(x) 2x， g ( x ) =xcosx-sinx, 当x 4，4且xO 时，方程f ( x ) = g ( x) 根的个数是 . 15. 已知四边形 ABCD 中，AD /BC, BAD= 90 . AD=l ,BC=2 ,M是AB 边上的动点， 则 MCMD 的最小值为 高三理科数学试题卷 第 3 页 （ 共 4
3、 页） 16.设函数 32, ln , xxxe y x xe m 的图象上存在两点 P，Q, 使得POQ 是以 O 为直角顶 点的直角三角形（其 中 0 为坐标原点），且斜边的中点恰好在 y 轴上，则实数 m 的取值 范围 是 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考 题，每个试题考生 都必须作答第22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17. (12 分） 巳知数列an为公差不为零的等差数列，S7=77,且满足a112=a1a61. (I) 求数列 an 的通项公式 ； ( II ) 若 数 列 bn.满足 1 11
4、(*) n nn anN bb , 且 1 1 3 b ,求数列bn的前 n 项和 Tn. 18. (1 2 分） 由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同 举办的 2018 年度全国“最美中学生“寻访活动结果出炉啦， 此项活动于 2018 年 6 月启 动，面向 全 国中学在校学生，通过 投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方 面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学 生”。现随 机抽取了 30 名学生的票数，绘 成如图所示的茎叶 图，若规定票数在 65 票以上（包 括 65 票）定 义为风华组票 数在 65 票以下（不包括 65 票）的学生定义
5、为青春组 (I) 在这 30 名 学 生 中 ，青 春组学生中有男生 7 人， 风华组学生中有女生 12 人，试问 有 没有 90%的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关； ( II ) 如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取 5 人，再从 这 5 人中随机抽取 2 人 ，那么至 少有 1 人 在青春组的概率是多少？ （III）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取 4 人，用表示所选 4 人中青春组的人数，试写出的 分 布列，并求出 的 数 学期 望 19. (1 2 分） 如图，四边形 ABCD 是矩形，沿对角线 AC 将ACD 折起，使得点 D
6、 在平面ABC 内的 射影恰好落在边AB 上 高三理科数学试题卷 第 4 页 （ 共 4 页） 4 ( I ) 求证：平面 ABD平面 BCD; （II )当AB AD= 2 时，求二 面角 D- AC- B 的余弦值 i:Q A二 C 20. (12 分） 在平面直角坐标系 xOy 内，动点 A 到定点F ( 3, 0) 的距离与 A 到定直线x = 4 距离之比 为 3 2 ( I ) 求动点 A 的轨迹C 的方程； ( II )设点 M , N 是轨迹 C 上两个动点直 线 OM, ON 与轨迹 C 的另一交点分别为 P , Q, 且直线 OM,ON 的斜率之积等于1 4 ，问四边形 M
7、NPQ 的面积 S 是否为定值？ 请说明理由 21. (12 分） 已知函数 ln1 ( ), ( )(0) xx f xg xx ax ( I ) 当a = l 时 ，求曲线 y = ( )f x x 在 x = l 处的切线方程； (II )讨论函数 F (x ) = 1 ( ) ( ) f x g x 在 ( 0, 十oo ) 上的单调性 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按 所做的第 一题记分 22. 选修 4- 4: 坐标系与参数方程 (10 分） 在极坐标系中，圆C 的 方程 为 = 2asin (a 0). 以极点为坐标原点，极轴为x
8、 轴的正 半轴建立平面直角坐标系，设直线 l 的 参数方 程为 31, 43 xt yt ( t 为参数） (I) 求 圆 C 的标准方程和直线 l 的普通方程， (II )若直线 l 与圆 C 交于A , B 两点，且|AB| 3 . 求实数 a 的取值范围 23. 选修 4- 5: 不等式选讲 (10 分） 已知函数 f ( x) = lx + I l a |x 1 |. ( I )当 a = - 2 时，解不等式 f (x ) 5; ( II )若 f (x )a |x + 3|, 求 a 的 最小值 高三理科数学试题卷 第 5 页 （ 共 4 页） 郑州市2020年高中毕业年级第二次质
9、量预测 理科数学 评分参考 一、选择题 BCCCA ABBBD CC 二、填空题 13.160； 14.8； 15.3； 16.1,).e 三、解答题 17.(1)设等差数列 n a的公差为d，则 1 2 111 72177, (60 )(10 ) , ad a adad 3分 解得 1 5, 23. 2, n a an d 5分 (2)由 1 11 1111 ,(2,). nn nnnn aann bbbb N 当2n 时， 121 1122111 111111111 ()()() nn nnnnn aaa bbbbbbbbb =(1)(25)3(2).nnn n 8分 对 1 1 3 b
10、也适合， 9分 11 11 (2)()(). 22 n n n nnNb bnn 10分 2 1111111 31135 (1)(). 232422 2124(1)(2) n nn T nnnnnn 12分 18. (I)作出2 2列联表： 青春组 风华组 合计 男生 7 6 13 女生 5 12 17 合计 12 18 30 3分 由列联表数据代入公式得 2 2 () 1.83 ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，5分 因为1.832.706， 故没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关. 6分 () 用A表示“至少有1人在青春组”，则 2 3 2 5
11、7 ( )1 10 C p A C . 8分 (III)由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的概率为 122 305 ， 那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是 2 5 ，又因为所取总体数量较多，抽取4名学生可以 看出4次独立重复实验，于是服从二项分布 2 (4, ) 5 B. 10分 显然的取值为0，1，2，3, 4 . 且 4 4 22 ()( ) (1),0,1,2,3,4 55 kkk PkCk. 所以得分布列为： 高三理科数学试题卷 第 6 页 （ 共 4 页） 数学期望 28 4 55 E 12分 19.（）设点D在平面ABC上的
12、射影为点E，连接DE，则DE 平面ABC， DEBC.2分 四边形ABCD是矩形，ABBC，BC 平面ABD，BCAD. 4分 又ADCD，所以AD 平面BCD，而AD 平面ABD，平面ABD平面BCD. 6分 （）以点B为原点，线段BC所在的直线为x轴，线段AB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如 图所示.设ADa，则2ABa，(0,2 ,0)Aa，( ,0,0)C a. 由（）知ADBD，又2 AB AD ，30DBA，60DAB， cosAEADDAB 1 2 a， 3 2 BEABAEa， 3 sin 2 DEADDABa， 33 (0,) 22 Daa， 13 (0,) 22 A
13、Daa，( , 2 ,0)ACaa.8分 设平面ACD的一个法向量为( , , )mx y z， 则 0 0 m AD m AC ，即 13 0, 22 20. ayaz axay 不妨取1z ，则3y ，2 3x ，(2 3, 3,1)m . 而平面ABC的一个法向量为(0,0,1)n ，10分 cos,m n | m n m n 222 1 (2 3)( 3)1 1 4 . 故二面角DACB的余弦值为 1 4 .12分 20.解解(I)设 ,A x y ，由题意， 22 (3)3 |4|2 xy x， 2分 0 1 2 3 4 P 81 625 216 625 216 625 96 625
14、 16 625 高三理科数学试题卷 第 7 页 （ 共 4 页） 化简得 22 412xy，（3分）所以，动点A的轨迹C的方程为 22 1. 123 xy 4分 ()解：解：设),( 11 yxA，),( 22 yxB，则由斜率之积，得 12 12 1 4 y y x x，6分 2 21 2 21 )()(|yyxxAB，因为点,M N在椭圆C上， 所以 22 22 12 12 3,3. 44 xx yy化简得 22 12 12xx 8分 直线AB的方程为0)()( 21121212 yxyxyxxxyy，原点O到直线MN的距离为 . )()( 2 12 2 12 1221 yyxx |yxy
15、x| d 所以，MON的面积| 2 1 | 2 1 1221 yxyxdABS AOB ， 根据椭圆的对称性，四边形MNPQ的面积S|2 1221 yxyx，10分 所以，)2(4)(4 2 1 2 22121 2 2 2 1 2 1221 2 yxyyxxyxyxyxS 22 12 12()144xx ，所以12.S 所以，四边形MNPQ的面积为定值12 12分 21.解析：（）当1a时，曲线 . 1 ln x xx xgxfy 22 1 ln1lnln1. 11 xxxxxx y xx 2分 1x 时，切线的斜率为 1 2 ，又切线过点1,0 所以切线方程为210xy 4分 （） 2 11
16、1 ,() 1 fx axg x x ， 2 22 1111 (), 11 xax Fxfx g xax xax x 5分 当0a时， 0Fx，函数 F x在0,上单调递减；7分 当0a时，令 2 121 1 k xxx aaa ， 4 1, a 当0 时，即04a， 0k x ，此时 0Fx，函数 F x在0,上单调递增; 当0 时，即4a，方程 2 121 10 xx aaa 有两个不等实根 12 xx， 所以 12 01xx ， 22 12 2424 , 22 aaaaaa xx 此时，函数 F x在 12 0,xx 上单调递增；在 12 ,x x上单调递减.11分 高三理科数学试题卷
17、第 8 页 （ 共 4 页） 综上所述，当0a时， F x的单减区间是0,； 当4a时， F x的单减区间是 22 2424 , 22 aaa aaa ， 单增区间是 22 2424 0, 22 aaaaaa 当04a时， F x单增区间是0,.12分 22.（）C的直角坐标方程为 2 22 ()y axa ， 2分 消t得到4350xy4分 （）要满足弦3ABa及圆的半径为a可知只需圆心（0，a）到直线l的距离 1 2 da即可。由点到直线 的距离公式有： 2 2 351 2 ( 3) 4 a a 7分 整理得： 2 111201000,aa即(1110)(10)0aa解得：1010 11 a， 故实数a的取值范围为1010 11 a10分 23.解：（）当a2时，f(x) 13 ,1, 3, 11, 31,1. x x xx xx 3分 由f(x)的单调性及f( 4 3 )f(2)5， 得f(x)5的解集为x|x 4 3 ，或x25分 （）由f(x)a|x3|得a |1| , |1|3| x xx 7分 由|x1|x3|2|x1| 得 |1| |1|3| x xx 1 2 ，得a 1 2 故a的最小值为 1 2 10分
