1、 和平区2019-2020 学年度第二学期高三年级线上学习阶段性评估检测 数学学科试卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 A1，2，6，B2，4，CxR|1x5，则（AB）C（ ） A2 B1，2，4 C1，2，4，5 DxR|1x5 2设 aR，则“|a1|1”是“a2+3a0”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 3已知过点 P（2，2）的直线与圆（x1）2+y25 相切，且与直线 axy+10 垂直，则 a （ ） A B1 C2 D 4某产品
2、的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表： 广告费用 x（万元） 1 2 4 5 销售额 y（万元） 10 26 35 49 根据上表可得回归方程x的等于9， 据此模型预报广告费用为6万元时， 销售额约为（ ） A54 万元 B55 万元 C56 万元 D57 万元 5设 asin ，blog23，c（ ），则（ ） Aacb Bcab Cbac Dcba 6著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔 裂分家万事休”如函数 f（x）的图象大致是（ ） A B C D 7已知双曲线1（a0，b0）的左顶点与抛物线 y22px（p0）的焦点的距离 为 4，
3、且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（2，1） ，则双曲线的焦 距为（ ） A2 B2 C4 D4 8已知函数 f（x）cosx|sinx|，那么下列命题中假命题是（ ） Af（x）是偶函数 Bf（x）在，0上恰有一个零点 Cf（x）是周期函数 Df（x）在，0上是增函数 9已知函数 f（x），g（x）x22x，设 a 为实数，若存在实数 m， 使 f（m）2g（a）0，则实数 a 的取值范围为（ ） A1，+） B （，13，+） C1，3 D （，3 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分把答案填在答题卷上分把答案填在答
4、题卷上 10设复数 z 满足（1+i）z3i，则|z| 11二项式的展开式中，常数项为 （用数字作答） 12如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，若四边形 AA1C1C 是边长为 4 的正方形，且 AB 3，BC5，M 是 AA1的中点，则三棱锥 A1MBC1的体积为 13一个口袋中装有大小相同的 2 个黑球和 3 个红球，从中摸出两个球，则恰有一个黑球的 概率是 若 X 表示摸出黑球的个数，则 EX 14已知 a0，b0，当（a+4b）2取得最小值为 时，a+b 15如图，在等腰ABC 中，ABAC3，D，E 与 M，N 分别是 AB，AC 的三等分点，且 1，则 tanA ， 三、解答题
5、：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16已知函数 f（x）sin2xcos2x （1）求 f（x）的最小值，并写出取得最小值时的自变量 x 的集合 （2）设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 c，f（C）0，若 sinB2sinA，求 a，b 的值 17 如图， 在三棱柱 ABCA1B1C1中， 已知 BC1， BB12， BCC190 ， AB侧面 BB1CC1 （1）求直线 C1B 与底面 ABC 所成角的正弦值； （2）在棱 CC1（不包含端点 C，C1）上确
6、定一点 E 的位置，使得 EAEB1（要求说明理 由） （3）在（2）的条件下，若 AB，求二面角 AEB1A1的大小 18 （15 分）已知点 A（1，）是离心率为的椭圆 C：（ab0）上的一 点，斜率为的直线 BD 交椭圆 C 于 B、D 两点，且 A、B、D 三点不重合 （ I）求椭圆 C 的方程； （ II）求证：直线 AB，AD 的斜率之和为定值 （ III） ABD 面积是否存在最大值？若存在， 求出这个最大值； 若不存在， 请说明理由？ 19已知正项等比数列an满足 a12，2a2a4a3，数列bn满足 bn1+2log2an （1）求数列an，bn的通项公式； （2）令 cna
7、nbn，求数列cn的前 n 项和 Sn； （3）若 0，且对所有的正整数 n 都有 22k+2成立，求 k 的取值范围 20已知函数 （1）当 a0 时，求函数 f（x）的最小值； （2）当 a0 时，求函数 f（x）的单调区间； （3）当 a0 时，设函数 g（x）xf（x） ，若存在区间，使得函 数 g（x）在m，n上的值域为k（m+2）2，k（n+2）2，求实数 k 的最大值 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1A1，2，6，B2，4，AB1，2，4，6， 又 CxR|1x5，（AB）C1，2，4
8、 故选：B 2|a1|1，解得：0a2，a2+3a0，解得：0a3， “|a1|1”是“a2+3a0”的充分非必要条件 故选：A 3因为点 P（2，2）满足圆（x1）2+y25 的方程，所以 P 在圆上， 又过点 P（2，2）的直线与圆（x1）2+y25 相切，且与直线 axy+10 垂直， 所以切点与圆心连线与直线 axy+10 平行， 所以直线 axy+10 的斜率为：a2 故选：C 4由题意，（1+2+4+5）3，（10+26+35+49）30 回归方程x的等于 9， 309 3+a， a3 y9x+3 当 x6 时，y9 6+357 万元 故选：D 5a，b1，c， cab 故选：B
9、6根据题意，函数 f（x），其定义域为x|x0， 有 f（x）（）f（x） ，即函数 f（x）为奇函数，排除 A， 又由 x0 时，有 exe x，即有 exex0，则有 f（x）0，排除 D， 当 x+时，f（x）+，排除 C； 故选：B 7根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（2，1） ， 即点（2，1）在抛物线的准线上，又由抛物线 y22px 的准线方程为 x，则 p 4， 则抛物线的焦点为（2，0） ； 则双曲线的左顶点为（2，0） ，即 a2； 点（2，1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为 yx， 由双曲线的性质，可得 b1； 则 c，则焦距为 2c2 故选：A
10、 8对于 A，函数 f（x）cosx|sinx|，定义域为 R， 且满足 f（x）cos（x）|sin（x）|cosx|sinx|f（x） ，f（x）为定义域 R 上的 偶函数，A 正确； 对于 B，x，0时，sinx0，f（x）cosx|sinx|cosx+sinxsin（x） ， 且 x，f（x）在，0上恰有一个零点是，B 正确； 对于 C，根据正弦、余弦函数的周期性知，函数 f（x）是最小正周期为 2 的周期函数， C 正确； 对于 D，x，0时，f（x）sin（x） ，且 x， f（x）在，0上先减后增，D 错误 故选：D 9g（x）x22x，设 a 为实数， 2g（a）2a24a，a
11、R， y2a24a，aR， 当 a1 时，y最小值2， 函数 f（x）， f（7）6，f（e 2）2， 值域为2，6 存在实数 m，使 f（m）2g（a）0， 22a24a6， 即1a3， 故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分把答案填在答题卷上分把答案填在答题卷上 10由（1+i）z3i，得 z12i， |z|； 故答案为： 11 依 题 意 ， 二 项 式的 展 开 式 的 第k+1项 为 ： Tk+1， 由 80 解得，k6， 所以常数项为：112， 故答案为：112 12在直三棱柱 ABCA1B1C1中，若四边形 A
12、A1C1C 是边长为 4 的正方形，且 AB3， BC5， A1C1AA1，AC2+AB2BC2，A1C1A1B1， AA1A1B1A1，A1C1平面 A1MB， M 是 AA1的中点，3， 三棱锥 A1MBC1的体积： 4 故答案为：4 13恰有一个黑球的概率 P 由题意可得：X0，1，2 P（X0），P（X1），P（X2） 可得 X 的分布列： X 0 1 2 P EX12 故答案为： 14因为 a0，b0， 所以 a+4b，当且仅当 a4b 时取等号， 所以（a+4b）216ab， 则（a+4b）28， 当且仅当即 a1，b时取等号，此时取得最小值 8，a+b 故答案为：8， 15以边
13、BC 所在直线为 x 轴，以边 BC 的中垂线为 y 轴，建立如图所示平面直角坐标系， 设 A（0，b） ，B（a，0） ，C（a，0） ，且 D，E 与 M，N 分别是 AB，AC 的三等分点， D（，） ，E（，） ，M（ ，） ，N（ ，） ， （a，） ，（a，） ，且 1， a21， 又 AC3，a2+b29， 联立得，a2， 在ABC 中，由余弦定理得，cosA 因为 A 为等腰三角形的顶角；且 cosA， sinA； tanA； sin； cosBcos（）sin； 3 2a cosB3 故答案为：， 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 75 分解答应
14、写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （本题满分为 14 分） 解： （1）f（x）sin2xcos2xsin2xsin（2x） 1，4 分 当 2x2k，即 xk（kZ）时，f（x）的最小值为2，6 分 此时自变量 x 的集合为：x/xk，kZ7 分 （2）f（C）0， sin（2C）10， 又0C， 2C，可得：C，9 分 sinB2sinA，由正弦定理可得：b2a，又 c， 由余弦定理可得： （）2a2+b22abcos，可得：a2+b2ab3，13 分 联立解得：a1，b214 分 17如图，以 B 为原点建立空间直角坐标系，则 B（0，0，0
15、） ，C1（1，2，0） ，B1（0，2， 0） （1）直三棱柱 ABCA1B1C1中， 平面 ABC 的法向量，又， 设 BC1与平面 ABC 所成角为 ，则 （2） 设 E （1， y， 0） ， A （0， 0， z） ， 则， EAEB1， y1，即 E（1，1，0）所以 E 为 CC1的中点 （3）A（0，0，） ，则， 设平面 AEB1的法向量 m（x1，y1，z1） ， 则， 取 m（1，1，） ， ， BEB1E，又 BEA1B1BE平面 A1B1E， 平面 A1B1E 的法向量， cosm， 二面角 AEB1A1为 45 18 （）点 A（1，）是离心率为的椭圆 C：（ab0
16、）上的一点， ，解得 a2， 椭圆 C 的方程为（2 分） 证明： （）设 D（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 直线 AB、AD 的斜率分别为：kAB、kAD， 则 kAD+kAB ， （*） 设直线 BD 的方程为， 联立， 8b2+640，解得2b2， ， 将、式代入*式整理得0， kAD+kAB0，直线 AB，AD 的斜率之和为定值 解： （）|BD|x1x2|， 设 d 为点 A 到直线 BD：的距离， ， 当且仅当 b 2 时取等号， 2，当 b 2 时，ABD 的面积最大，最大值为 19 （1）正项等比数列an的公比设为 q，q0， a12，2a2a4a3，可得 4q2q32
17、q2，解得 q2（1 舍去） ， 可得 an2n； bn1+2log2an1+2log22n1+2n； （2）cnanbn（2n+1）2n， 前 n 项和 Sn32+54+78+（2n+1）2n， 2Sn34+58+716+（2n+1）2n+1， 两式相减可得Sn6+2（4+8+2n）（2n+1）2n+1 6+2（2n+1）2n+1， 化简可得 Sn2+（2n1）2n+1； （3）若 0，且对所有的正整数 n 都有 22k+2成立， 即为 22k+2的最大值， 由0， 可得递减，可得 n1 时，取得最大值， 可得 22k+2，即为 k2的最小值， 可得 222，当且仅当 时取得最小值 2， 则
18、 k2 20 （1）当 a0 时，f（x）xlnx（x0） ，这时的导数， 令 f（x）0，即，解得 x1，令 f（x）0 得到 x1，令 f（x）0 得到 0x1， 故函数 f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增；故函数 f（x）在 x1 时取 到最小值， 故 f（x）minf（1）1； （ 2 ） 当a 0时 ， 函 数导 数 为 ， 若 a1 时，f（x）0，f（x）单调递减， 若 a1 时，当 x1 或时，f（x）0，当时，f（x） 0， 即函数 f（x）在区间， （1，+）上单调递减，在区间上单调递增 若 0a1 时，当或 0x1 时，f（x）0，当时，f（x） 0， 函
19、数 f（x）在区间（0，1） ，上单调递减，在区间上单调递增 综上，若 a1 时，函数 f（x）的减区间为（0，+） ，无增区间， 若 a1 时，函数 f（x）的减区间为， （1，+） ，增区间为， 若 0a1 时，函数 f（x）的减区间为（0，1） ，增区间为 （3）当 a0 时，设函数 g（x）xf（x）x2xlnx 令 g（x）2xlnx1， 当时，g（x）0，g（x）为增函数，g（x）为增函 数，g（x）在区间上递增， g（x）在m，n上的值域是k（m+2）2，k（n+2）2， g（x）k（x+2）2 在上至少有两个不同的正根， ，令， 求导得， 令， 则， 所以 G（x）在递增，G（1）0， 当，G（x）0， F（x）0，当 x1，+） ，G（x）0， F（x）0， 所以 F（x）在上递减，在1，+）上递增， ， k 的最大值为
