1、.3.4 基本不等式基本不等式2baab.思考：这会标中含有怎思考：这会标中含有怎样的几何图形？样的几何图形？思考：你能否在这个图思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系案中找出一些相等关系或不等关系？或不等关系？探究探究1 1.abab22+问问2 2：RtRtABF,RtABF,RtBCG,RtBCG,RtCDH,RtCDH,RtADEADE是全等三角是全等三角形，它们的面积和是形，它们的面积和是S S=问问1 1：在正方形在正方形ABCDABCD中中,设设AF=a,BF=b,AF=a,BF=b,则正方形的面积则正方形的面积为为S=S=，问问3 3：S S与与S S有什么样的关系？有什么样
2、的关系？22ab2ab2 22 2a a+b b 2 2a ab b从图形中易得，从图形中易得，s ss s,即即探究探究1 1.探究探究2 2问题问题1 1：s,s,S有相等的情况吗？有相等的情况吗？何时相等？何时相等？图片说明：当直角三角形图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即变为等腰直角三角形，即a=ba=b时，正方形时，正方形EFGHEFGH缩为一个点，缩为一个点，这时有这时有 22=2ababu形的角度形的角度u数的角度数的角度 当当a=b时时a2+b22ab=(ab)2=0.结论：结论：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a a、b b，我们有，我们有 当且仅当当且仅当a
3、=ba=b时，等号成立时，等号成立222aba b此不等式称为此不等式称为重要不等式重要不等式探究探究2 2问题问题2 2：当当 a,ba,b为任意实数时，为任意实数时，成成 立吗？立吗？2 22 2a a+b b2 2a ab b.类类 比比 联联 想想 推推 理理 论论 证证（特别的）如果（特别的）如果 也可写成也可写成 ,abab用用和和代代替替、可可得得abab2 2a0 ,b0,(,)002ababab 当且仅当当且仅当 a=b a=b 时时“”号成号成立立 此不等式称为此不等式称为基本不等式基本不等式探究探究3 3.算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数2baaba0 ,b0,(
4、,)002ababab当且仅当当且仅当 a=b a=b 时时“”号成立号成立 此不等式称为此不等式称为基本不等式基本不等式概念：概念：.一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a，b，我们有，我们有abba222当且仅当a=b时等号成立证明：证明：abba2222)(ba0abba222特别的，如果a0，b0，我们用ab,分别代替a，b，可得abba22baab（a0，b0）基本不等式基本不等式分析法证明基本不等式分析法证明基本不等式要证2abab只要证2abab要证，只要证要证，只要证20abab2()0ab显然，是成立的，当且仅当a=b时，中的等号成立运用基本不等式证明：.1.基本不等式：
5、基本不等式：.2abba a=b基本不等式的变形：基本不等式的变形：知识要点：知识要点：（当且仅当（当且仅当_时取时取“”号）号）.2,0,0abbaba 则则如果如果（当且仅当（当且仅当a=b时取时取“”号）号）.2baab 或或.)2(2baab 或或如果如果a0，b0，那么，那么 .重要变形重要变形22220,0,22ababababababab若则，当且仅当时取等号。基础知识基础知识（由小到大）（由小到大）.应用基本不等式求最值的条件：应用基本不等式求最值的条件：a a与与b b为正实数为正实数若等号成立，若等号成立，a a与与b b必须能必须能够相等够相等一正一正二定二定三相等三相等
6、积定和最小积定和最小和定积最大和定积最大2baab（a0，b0）.注意注意1、两个不等式的、两个不等式的适用范围适用范围不同不同;2、一般情况下若、一般情况下若“=”存在时，要存在时，要注明等注明等号成立的条件；号成立的条件；3、运用重要不等式时，要把一端化为、运用重要不等式时，要把一端化为常数常数（定值）。（定值）。一一正正 、二二定定 、三三相等相等.（1）如果）如果a，b0，且，且abP（定值定值），那么），那么a+b有最有最_值值_(当且仅当当且仅当_时取时取“=”）.（2）如果）如果a，b0，且，且abS（定值定值），那么），那么ab有最有最_值值_(当且仅当当且仅当_时取时取“=”
7、）.2.利用基本不等式求最值问题：利用基本不等式求最值问题：.)2(2,0,02baababbaba 或或那那么么如如果果p2241s小小大大利用基本不等式求最值的条件：利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等。一正、二定、三相等。一知识要点一知识要点a=ba=b.（1）把）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ab=36当a=b=6时，和a+b最小为122abab2()2ababa
8、+b=18当a=b=9时，积ab最大为81不等式不等式2abab是一个基本不等式，它在解决实际问题中由广泛的应用，是一个基本不等式，它在解决实际问题中由广泛的应用，是解决是解决最大（小）值最大（小）值问题的有力工具。问题的有力工具。【应用练习】.;1,0)1(1的的最最值值求求已已知知：例例xxx .21xx1x2121:时时原原式式有有最最小小值值即即当当且且仅仅当当解解 xxxx;1,0)2(的的最最值值求求已已知知xxx 有有最最值值，并并求求其其最最值值。为为何何值值时时，函函数数当当函函数数若若xxxyx,31,3)3(结论结论1 1：两个正数积为定值，则和有最小值两个正数积为定值，
9、则和有最小值.5331)3(233-x1)3-x(31y3x:3 xxxx、解解。最最大大值值为为时时，函函数数有有最最大大值值，即即当当且且仅仅当当54,313 xxx.21xx1x2)1()(2)x1()x(1:2 时时有有最最大大值值即即当当且且仅仅当当、解解xxxx.一利用基本不等式证明不等式一利用基本不等式证明不等式44441.14;114.0,0,1abcdabcdababab 例（）证明不等式：（2）已知：且，求证：.444222222442244224422444222222444222222222222()2222)2()(),abca bb cc aabc abcaba b
10、bcb ccaa cabca bb cc aabca bb cc aa bb cc aabc abca b c成立证明：三式相加得（即同理可证：又互不相等，所以等号不成立所以444222222,()a b cabca bb cc aabc abc举一反三：若是互不相等的正数，求证:.122.10()3120()30,0,41,42,2490,0,1,xf xxxxf xxxaba babxxxxyxyxy 例（）若，求的最小值。(2)若，求的最大值。（3）已知且求 的最大值。（4）已知求的最小值。（5）已知且求的最小值。二、利用基本不等式求函数的最值二、利用基本不等式求函数的最值.例例:某工厂
11、要建造一个长方体形无盖贮水池某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为其容积为4800m4800m3 3,深为深为3m.3m.如果池底每平方米如果池底每平方米的造价为的造价为150150元元,池壁每平方米的造价为池壁每平方米的造价为120120元元,怎样设计水池能使总造价最低怎样设计水池能使总造价最低?最低总造最低总造价是多少价是多少?分析分析:水池呈长方体形水池呈长方体形,它的高是它的高是3m,3m,底面的长底面的长与宽没有确定与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了如果底面的长与宽确定了,水池的总造价也就确定了水池的总造价也就确定了.因此应当考察底因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价
12、最低。面的长与宽取什么值时水池总造价最低。.解解:设底面的长为设底面的长为xm,xm,宽为宽为ym,ym,水池总造价为水池总造价为z z元元.根据题意根据题意,有有:由容积为由容积为4800m4800m3 3,可得可得:3xy=4800:3xy=4800因此因此 xy=1600 xy=1600由基本不等式与不等式的性质由基本不等式与不等式的性质,可得可得即即 当当x=y,x=y,即即x=y=40 x=y=40时时,等号成立等号成立 所以所以,将水池的地面设计成边长为将水池的地面设计成边长为40m40m的正方形的正方形时总造价最低时总造价最低,最低总造价为最低总造价为297600297600元元
13、.4800z150120(2 3x2 3y)3240000720(xy)240000720(xy)240000720 2 xyz240000720 2 1600z297600.设计一副宣传画，要求画面面积为设计一副宣传画，要求画面面积为4840cm4840cm2 2，画面，画面的宽与高的比为的宽与高的比为a(a1)a(a1)，画面的上下各留出，画面的上下各留出8cm8cm的的空白，左右各留空白，左右各留5cm5cm的空白，怎样确定画面的高与的空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？4 48 84 40 03 30 02 25 5S S
14、=(x x+1 10 0)(+1 16 6)=5 50 00 00 0+1 16 6(x x+)x xx x3 30 02 25 55 50 00 00 0+1 16 62 2x x=6 67 76 60 0 x x3 30 02 25 5只只有有x x=即即x x=5 55 5取取 =x x4 48 84 40 05 55 5=8 88 8,a a=0，0，若，若 是是 与与 的等比中项，则的等比中项，则ab3a3b3ba11得最小值为（得最小值为（）A.8 B.4 C.1 D.41（2009年天津理年天津理6）B.a2.（2009山东理山东理12T)设设 满足约束条件满足约束条件 若目标函
15、数若目标函数yx,0y,0 x,02yx,06yx3byaxz （0，0）的最大值为的最大值为12，则，则 的最小值为（的最小值为（）bb3a2 A.B.C.D.4 62538311略解略解：xy02-2202yx063 yxbyaxz(4,6)点选把把（4 4，6 6）代代入入z z=a ax x+b by y得得4 4a a+6 6b b=1 12 2,2 23 32 23 3 2 2a a+3 3b b即即2 2a a+3 3b b=6 6,而而+=+a ab ba ab b6 61 13 3b ba a1 13 32 25 5=+(+)+2 2=,故故A A6 6a ab b6 66
16、6A.1.1.两个不等式两个不等式（1 1）（2 2）当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立注意：注意：1.1.两公式条件，前者要求两公式条件，前者要求a,ba,b为实数；后者要求为实数；后者要求a,ba,b为正数。为正数。2.2.公式的正向、逆向使用的条件以及公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。的成立条件。2.2.不等式的简单应用：主要在于不等式的简单应用：主要在于求最值求最值 把握把握 “七字方针七字方针”即即 “一正，二定，三相等一正，二定，三相等”)(2R,22号时取当且仅当那么baabbaba(a0,b0)2abab.3.利用基本不等式求最值时，如果无定值，要先配、凑出定利用基本不等式求最值时，如果无定值，要先配、凑出定值，再利用基本不等式求解。值，再利用基本不等式求解。4.形如形如 这类函数，当不能利用基本不等式求这类函数，当不能利用基本不等式求最值时，可以借助函数单调性求解。最值时，可以借助函数单调性求解。)0(axaxy
