1、 专题专题 0808 二次函数的图象性质与应用问题二次函数的图象性质与应用问题 【典例分析】 【考点【考点 1】二次函数的图象与性质】二次函数的图象与性质 【例【例 1 1】（2019 四川中考真题）二次函数四川中考真题）二次函数 2 yxaxb的图象如图所示，对称轴为直线的图象如图所示，对称轴为直线2x，下列结论，下列结论 不正确的是（不正确的是（ ） A4a B当当4b 时，顶点的坐标为时，顶点的坐标为(2, 8) C当当1x时，时，5b D当当3x 时，时，y 随随 x 的增大而增大的增大而增大 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 【分析】 根据对称轴公式 2 b x a 和二次函数的
2、性质，结合选项即可得到答案. 【详解】 解：二次函数 2 yxaxb 对称轴为直线2 2 a x 4a，故 A 选项正确； 当4b 时， 22 44(2)8yxxx 顶点的坐标为(2, 8)，故 B 选项正确； 当1x时，由图象知此时0y 即1 40b 5b，故 C 选项不正确； 对称轴为直线2x且图象开口向上 当3x 时，y 随 x 的增大而增大，故 D 选项正确； 故选 C 【点睛】 本题考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数. 【变式【变式 1 1- -1 1】 （2019 重庆中考真题）抛物线重庆中考真题）抛物线 2 362yxx 的对称轴是（的对称轴是（ ） A直线直线2x B直
3、线直线2x C直线直线1x D直线直线1x 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 【分析】 将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴 【详解】 解： 22 3623(1)5yxxx ， 抛物线顶点坐标为(1,5)，对称轴为1x 故选：C 【点睛】 本题考查了二次函数的性质抛物线 2 ()ya xhk的顶点坐标为（h，k） ，对称轴为 xh 【变式【变式 1 1- -2 2】（2019 浙江中考真题）已知抛物线浙江中考真题）已知抛物线 2 24yxxc与与x轴有两个不同的交点轴有两个不同的交点. (1)求求c的取值范围；的取值范围； (2)若抛物线若抛物线 2 24yxxc经过点经
4、过点2,Am和点和点3,Bn，试比较，试比较m与与n的大小，并说明理由的大小，并说明理由. 【答案】【答案】(1) c的取值范围是2c； (2)mn. 理由见解析. 【解析】【解析】 【分析】 （1）由二次函数与 x 轴交点情况，可知 0； （2）求出抛物线对称轴为直线 x=1，由于 A（2，m）和点 B（3，n）都在对称轴的右侧，即可求解； 【详解】 (1) 2 2 44816 8baccc . 由题意，得 2 40bac， 16 80c c的取值范围是2c. (2)mn. 理由如下: 抛物线的对称轴为直线1x ， 又2 0a， 当1x 时，y随x的增大而增大. 23，mn. 【点睛】 本题
5、考查二次函数图象及性质；熟练掌握二次函数对称轴，函数图象的增减性是解题的关键 【考点【考点 2】抛物线的平移与解析式的确定】抛物线的平移与解析式的确定 【例【例 2 2- -1 1】（2019 山东中考真题）将抛物线山东中考真题）将抛物线 2 65yxx向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位 长度后，得到的抛物线解析式是（长度后，得到的抛物线解析式是（ ） A 2 (4)6yx B 2 (1)3yx C 2 (2)2yx D 2 (4)2yx 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 【分析】 由平移可知，抛物线的开口方向和大小不变，顶点改变，将抛物线化为
6、顶点式，求出顶点，再由平移求出 新的顶点，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式 【详解】 解： 2 2 6534yxxx，即抛物线的顶点坐标为3, 4， 把点3, 4向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度得到点的坐标为4, 2， 所以平移后得到的抛物线解析式为 2 42yx 故选：D 【点睛】 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变，所以求平移后的抛物线 解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式； 二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式 【例【例 2 2- -2 2】（2019 山西中考真
7、题）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥山西中考真题）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图如图 1)，它由五个高度不同，跨，它由五个高度不同，跨 径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图 2 所示，此钢拱所示，此钢拱(近似看成二次函数近似看成二次函数 的图象的图象-抛物线抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于 A，B 两点，拱高为两点，拱高为 78 米米(即最高点即最高点 O 到到 AB 的距离为的距离为 78 米米)，跨径为，跨径为 90 米米(即即 A
8、B=90 米米)，以最高点，以最高点 O 为坐标原点，以平行于为坐标原点，以平行于 AB 的直线为的直线为x轴建轴建 立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( ) A 2 26 675 yx B 2 26 675 yx C 2 13 1350 yx D 2 13 1350 yx 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 【分析】 设抛物线解析式为 y=ax2，由已知可得点 B 坐标为(45，-78)，利用待定系数法进行求解即可. 【详解】 拱高为 78 米(即最高点 O 到 AB 的距离为 78 米)，跨径为 90 米(即 AB=90 米)，以
9、最高点 O 为坐标原点， 以平行于 AB 的直线为x轴建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式为 y=ax2，点 B(45，-78)， -78=452a， 解得：a= 26 675 ， 此抛物线钢拱的函数表达式为 2 26 675 yx ， 故选 B. 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键. 【变式【变式 2 2- -1 1】（2019 西藏中考西藏中考真题）把函数真题）把函数 2 1 2 yx 的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数 21 11 2 yx 的图象（的图象（ ） A向左平移向左平移1个单位，再向下平移
10、个单位，再向下平移1个单位个单位 B向左平移向左平移1个单位，再向上平移个单位，再向上平移1个单位个单位 C向右平移向右平移1个单位，再向上平移个单位，再向上平移1个单位个单位 D向右平移向右平移1个单位，再向下平移个单位，再向下平移1个单位个单位 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 【分析】 根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项 【详解】 抛物线 2 1 2 yx 的顶点坐标是00（ ， ），抛物线线 21 11 2 yx 的顶点坐标是11（， ）， 所以将顶点00（ ， ）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点11（， ）， 即将函数 2 1 2 yx 的图象向右平移1个单位，再
11、向上平移1个单位得到函数 21 11 2 yx 的图象 故选：C 【点睛】 主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减并用规律求函数解析式 【变式【变式 2 2- -2 2】（2019 江苏中考真题）已知二次函数的图象经过点江苏中考真题）已知二次函数的图象经过点(2,2)P，顶点为，顶点为(0,0)O将该图象向右平移，将该图象向右平移， 当它再次经过点当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为时，所得抛物线的函数表达式为_ 【答案】【答案】 2 1 (4) 2 yx 【解析】【解析】 【分析】 设原来的抛物线解析式为： 2 yax利用待定系数法确定函数关系式；然后利
12、用平移规律得到平移后的解 析式，将点P的坐标代入即可 【详解】 设原来的抛物线解析式为： 2 yax (0)a ， 把 (2,2)P 代入，得24a， 解得 1 2 a ， 故原来的抛物线解析式是： 2 1 2 yx， 设平移后的抛物线解析式为： 2 1 () 2 yxb， 把 (2,2)P 代入，得 2 1 2(2) 2 b， 解得0b(舍去)或4b， 所以平移后抛物线的解析式是： 2 1 (4) 2 yx， 故答案是： 2 1 (4) 2 yx 【点睛】 本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征利用待定系数法 确定原来函数关系式是解题的关键 【变式【变式
13、 2 2- -3 3】（2019 浙江中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线浙江中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线(5)(3)yxx经过变换后得到抛物经过变换后得到抛物 线线(3)(5)yxx，则这个变换可以是（，则这个变换可以是（ ） A向左平移向左平移 2 个单位个单位 B向右平向右平移移 2 个单位个单位 C向左平移向左平移 8 个单位个单位 D向向右平移右平移 8 个单位个单位 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 【分析】 根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律 【详解】 y=（x+5） （x-3）=（x+1）2-16，顶点坐标是（-1，-16） y=（x+3） （x-5）=（x
14、-1）2-16，顶点坐标是（1，-16） 所以将抛物线 y=（x+5） （x-3）向右平移 2 个单位长度得到抛物线 y=（x+3） （x-5） ， 故选 B 【点睛】 此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减 【变式【变式 2 2- -4 4】（2019 四川中考真题）将抛物线四川中考真题）将抛物线 2 3)2yx( 向左平移向左平移_个单位后经过点个单位后经过点(2 2)A ， 【答案】【答案】3 【解析】【解析】 【分析】 直接利用二次函数的平移规律结合二次函数图象上点的性质进而得出答案 【详解】 解：将抛物线 2 32yx（） 向左平移后经过点2
15、2A （ ， ）， 设平移后解析式为： 2 32yxa（） ， 则 2 22 32a（） ， 解得：3a或1a（不合题意舍去） ， 故将抛物线 2 32yx（） 向左平移 3 个单位后经过点2 2A （ ， ） 故答案为：3 【点睛】 考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键 【考点【考点 3】二次函数的图象与字母系数的关系】二次函数的图象与字母系数的关系 【例【例 3 3】（2019 辽宁中考真题）已知二次函数辽宁中考真题）已知二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象如图所的图象如图所示，现给出下示，现给出下列结论：列结论： 0abc ；930abc ； 2 48baca；
16、50abc其中正确结论的个数是（其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 【分析】 根据图象可直接判断 a、c 的符号，再结合对称轴的位置可判断 b 的符号，进而可判断； 抛物线的图象过点（3，0） ，代入抛物线的解析式可判断； 根据抛物线顶点的位置可知：顶点的纵坐标小于2，整理后可判断； 根据图象可知顶点的横坐标大于 1，整理后再结合的结论即可判断. 【详解】 解：由图象可知：0a，0c，由于对称轴0 2 b a ，0b ，0abc ，故正确； 抛物线过(3,0)，3x 时， 930yabc ，故正确； 顶点坐标为： 2 4 , 24 bacb
17、 aa .由图象可知： 2 4 2 4 acb a ，0a， 2 48acba ，即 2 48baca，故错误； 由图象可知：1 2 b a ，0a，20ab， 930abc ，93cab， 5593422(2)0abcabababab ，故正确； 故选：C 【点睛】 本题考查了抛物线的图象与性质和抛物线的图象与其系数的关系，熟练掌握抛物线的图象与性质、灵活运 用数形结合的思想方法是解题的关键. 【变式【变式 3 3- -1 1】（2019 浙江中考真题）小飞研究二浙江中考真题）小飞研究二次函数次函数 y=-(x-m)2-m+1(m 为常为常数数)性质时如下结性质时如下结论：论：这个这个 函数
18、图象的顶点始终在直线函数图象的顶点始终在直线 y=-x+1 上；上；存在一个存在一个 m 的值，使得函数图象的顶点与的值，使得函数图象的顶点与 轴的两个交点构成等轴的两个交点构成等 腰直角三角形；腰直角三角形；点点 A(x1,y1)与点与点 B(x2,y2)在函数图象上，若在函数图象上，若 x12m，则，则 y10 时有最小值，a0 时，y随x的增大而增大，这个函数的表达式可以是 2 yx=， 故答案为： 2 yx=(答案不唯一). 【点睛】 本题考查了函数的性质，熟练掌握一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质是解本题的关键. 28 （ （2019 四川中考真题）在某市中考体考前，某
19、初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现四川中考真题）在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现 实心球飞行高度实心球飞行高度 y（米）与水平距离（米）与水平距离 x（米）之间的关系为（米）之间的关系为 2 125 1233 yxx ，由此可知该生此次实心，由此可知该生此次实心 球训练的成绩为球训练的成绩为_米米 【答案】【答案】10 【解析】【解析】 【分析】 根据铅球落地时，高度0y，把实际问题可理解为当0y时，求 x 的值即可 【详解】 解：当0y时， 2 125 0 1233 yxx ， 解得，2x（舍去） ，10x 故答案为：10 【点睛】 本题考查
20、了二次函数的实际应用中，解析式中自变量与函数表达的实际意义；结合题意，选取函数或自变 量的特殊值，列出方程求解是解题关键 29 （ （2019 湖北中考真题）湖北中考真题）“互联网互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐某网店专售一款休闲裤，其成本为时代，网上购物备受消费者青睐某网店专售一款休闲裤，其成本为 每条每条 40 元，当售价为每条元，当售价为每条 80 元时，每月可销售元时，每月可销售 100 条为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施据市条为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施据市 场调查反映：销售单价每降场调查反映：销售单价每降 1 元，则每月可多销售元，则每月可多销售 5 条设每条裤子
21、的售价为条设每条裤子的售价为x元元(x为正整数为正整数)，每月的销，每月的销 售量为售量为y条条 (1)直接写出直接写出y与与x的函数关系式；的函数关系式； (2)设该网店每月获得的利润为设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降元，当销售单价降低多少元低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ (3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出 200 元资助贫困学生为了保证捐款后每月利润不低元资助贫困学生为了保证捐款后每月利润不低 于于 4220 元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单
22、价？元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？ 【答案】【答案】(1)5500yx ；(2)当降价 10 元时，每月获得最大利润为 4500 元；(3)当销售单价定为 66 元时， 即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠 【解析】【解析】 【分析】 (1)直接利用销售单价每降 1 元，则每月可多销售 5 条得出y与x的函数关系式； (2)利用销量 每件利润总利润进而得出函数关系式求出最值； (3)利用总利润4220200，求出x的值，进而得出答案 【详解】 解：(1)由题意可得：100 5 80yx整理得5500yx ； (2)由题意，得： 405500wxx 2 570020
23、000xx 2 5704500x 50a ， w有最大值， 即当70x时， 4500w 最大值 ， 应降价80 7010(元) 答：当降价 10 元时，每月获得最大利润为 4500 元； (3)由题意，得： 2 57045004220200x 解之，得： 1 66x ， 2 74x ， 抛物线开口向下，对称轴为直线70x， 当6674x时，符合该网店要求 而为了让顾客得到最大实惠，故66x， 当销售单价定为 66 元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠 【点睛】 此题主要考查了二次函数的应用，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最 优方案，正确得出w与x之间的函数
24、关系式是解题关键 30 （ （2019 湖北中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线湖北中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线 2 :21(0)C yaxxa和直线和直线 l:y=kx+b， 点点 A(-3,-3)，B(1,-1)均在直线均在直线 l 上上 （1）若抛物线）若抛物线 C 与直线与直线 l 有交点，求有交点，求 a 的取值范围；的取值范围； （2）当）当 a=-1，二次函数，二次函数 2 21yaxx的自变量的自变量 x 满足满足 mxm+2 时，函数时，函数 y 的最大值为的最大值为-4，求，求 m 的值；的值； （3）若抛物线）若抛物线 C 与线段与线段 AB 有两个不同的
25、交点，请直接写出有两个不同的交点，请直接写出 a 的取值范围的取值范围 【答案】【答案】 （1）a 9 8 且 a0； （2）m=-3 或 m=3； （3） 49 98 a或 a-2； 【解析】【解析】 【分析】 （1）点3, 3A ，1, 1B代入ykxb，求出 13 22 yx；联立 2 21yaxx与 13 22 yx， 则有 2 2310axx ，9 80a 即可求解； （2）根据题意可得， 2 21yxx ，当 4y 时，有 2 214xx ，1x或3x ；在1x 左侧，y随x的增大而增大，21xm时，y有最大值-4，3m； 在对称轴1x 右侧，y随x最大而减小，3xm时，y有最大值
26、4； （3）0a时，1x 时，1y ，即2a； 0a时，3x时，3y ，即 4 9 a ，直线AB的解析式为 13 22 yx，抛物线与直线联立： 2 13 21 22 axxx ， 9 20 4 a ，则 9 8 a ，即可求a的范围. 【详解】 解： （1）点3, 3A ，1, 1B代入ykxb， 1 33 kb kb ， 1 2 3 2 k b ， 13 22 yx； 联立 2 21yaxx与 13 22 yx，则有 2 2310axx ， 抛物线C与直线l有交点， 9 80a ， a 9 8 且 a0； （2）根据题意可得， 2 21yxx ， 0a， 抛物线开口向下，对称轴 1x ，
27、 2mxm时，y有最大值， 当4y 时，有 2 214xx ， 1x 或3x ， 在1x 左侧，y随x的增大而增大， 21xm 时，y有最大值4， 3m； 在对称轴1x 右侧，y随x最大而减小， 3xm 时，y有最大值4； 综上所述：m=-3 或 m=3； （3）0a时，1x 时，1y ， 即2a； 0a时，3x时，3y ， 即 4 9 a ， 直线AB的解析式为 13 22 yx， 抛物线与直线联立： 2 13 21 22 axxx ， 2 31 0 22 axx， 9 20 4 a， 9 8 a， a的取值范围为 49 98 a或 a-2. 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，一次函数
28、的图象及性质；熟练掌握待定系数法求解析式，数形结合，分 类讨论函数在给定范围内的最大值是解题的关键 31 （ （2019 浙江中考真题）有一块形状如图的五边形余料浙江中考真题）有一块形状如图的五边形余料ABCDE， ，6ABAE，5BC ， 90AB ，135C，90E .要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一边在要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一边在AE上，并使上，并使 所截矩形的面积尽可能大所截矩形的面积尽可能大. （1）若所截矩形材料的一条边是）若所截矩形材料的一条边是BC或或AE，求矩形材料的面积；，求矩形材料的面积； （2）能否截出比（）能否截出比（1）中面积更大的矩形材料？如果
29、能，求出这些矩形材料面积的最大值，如果不能，请）中面积更大的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值，如果不能，请 说明理由说明理由. 【答案】【答案】 （1）S=30； （2）能，S的最大值为 30.25. 【解析】【解析】 【分析】 （1）若所截矩形材料的一条边是 BC，过点 C 作 CFAE 于 F，得出 S1=ABBC=65=30； 若所截矩形材料的一条边是 AE， 过点 E 作 EFAB 交 CD 于 F， FGAB 于 G， 过点 C 作 CHFG 于 H， 则四边形 AEFG 为矩形，四边形 BCHG 为矩形，证出CHF 为等腰三角形，得出 AE=FG=6，HG=BC=5，
30、 BG=CH=FH，求出 BG=CH=FH=FG-HG=1，AG=AB-BG=5，得出 S2=AEAG=65=30； （2）在 CD 上取点 F，过点 F 作 FMAB 于 M，FNAE 于 N，过点 C 作 CGFM 于 G，则四边形 ANFM 为矩形，四边形 BCGM 为矩形，证出CGF 为等腰三角形，得出 MG=BC=5，BM=CG，FG=DG，设 AM=x， 则 BM=6-x，FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11-x，得出 S=AM FM=x（11-x）=-x2+11x，由二次函数的性 质即可得出结果 【详解】 （1）若所截矩形材料的一条边是 BC，如图 1 所示： 过点 C
31、 作 CFAE 于 F，S1=ABBC=65=30； 若所截矩形材料的一条边是 AE，如图 2 所示： 过点 E 作 EFAB 交 CD 于 F，FGAB 于 G，过点 C 作 CHFG 于 H， 则四边形 AEFG 为矩形，四边形 BCHG 为矩形， C=135 ， FCH=45 ， CHF 为等腰直角三角形， AE=FG=6，HG=BC=5，BG=CH=FH， BG=CH=FH=FG-HG=6-5=1， AG=AB-BG=6-1=5， S2=AEAG=65=30； （2）能；理由如下： 在 CD 上取点 F，过点 F 作 FMAB 于 M，FNAE 于 N，过点 C 作 CGFM 于 G，
32、 则四边形 ANFM 为矩形，四边形 BCGM 为矩形， C=135 ， FCG=45 ， CGF 为等腰直角三角形， MG=BC=5，BM=CG，FG=DG， 设 AM=x，则 BM=6-x， FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11-x， S=AM FM=x（11-x）=-x2+11x=-（x-5.5）2+30.25， 当 x=5.5 时，S 的最大值为 30.25 【点睛】 本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形面积公式以及二次函数的应用等知识；熟练 掌握矩形的性质，证明三角形是等腰直角三角形是解题的关键 32.（2019 浙江中考真题）已知函数浙江中考真题）已知函
33、数 2 yxbxc（b，c为常数）的图象经过点为常数）的图象经过点2,4 . （1）求）求b，c满足的关系式；满足的关系式； （2）设该函数图象的）设该函数图象的顶点坐标顶点坐标是是,m n，当，当b的值变化时，求的值变化时，求n关于关于m的函数解析式；的函数解析式； （3）若该函数的图象不经过第三象限，当）若该函数的图象不经过第三象限，当51x 时，函数的最大值与最小值之差为时，函数的最大值与最小值之差为 16，求，求b的值的值 【答案】【答案】 （1）c=2b（2） 2 2nbm（3）2 或 6 【解析】【解析】 【分析】 （1）把点2,4代入函数即可得到结论； （2）根据顶点坐标即可求解
34、； （3）把函数化为 2 2 2 22 24 bb yxbxbxb ，根据图像不经过第三象限进行分类讨论进行求解. 【详解】 （1）将点2,4代入 2 yxbxc， 得20bc ， 2cb； （2） 2 b m ， 2 4 4 cb n ， 2 8 4 bb n ， 22 2=-4nbmmm， （3） 2 2 2 22 24 bb yxbxbxb ， 对称轴 2 b x ， 当0b时，0c，函数不经过第三象限，则0c =； 此时 2 yx=，当51x 时，函数最小值是 0，最大值是 25， 最大值与最小值之差为 25； （舍去） 当0b时，0c ，函数不经过第三象限，则0， 08b， 40 2
35、 b x ， 当51x 时，函数有最小值 2 2 4 b b， 当52 2 b 时，函数有最大值1 3b， 当21 2 b 时，函数有最大值25 3b； 函数的最大值与最小值之差为 16， 当最大值1 3b时， 2 1 3216 4 b bb， 6b 或10b， 48b， 6b ； 当最大值25 3b时， 2 253216 4 b bb， 2b或18b ， 24b， 2b； 综上所述2b或6b ； 【点睛】 此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质. 33 （ （2019 浙江中考真题）如图，已知二次函数浙江中考真题）如图，已知二次函数 2 3yxax的图象经过点的图象经
36、过点2,3P . （1）求）求a的值和图象的的值和图象的顶点坐标顶点坐标。 （2）点）点,Q m n在该二次函数图象上在该二次函数图象上. 当当2m时，求时，求n的值；的值； 若若Q到到y轴的距离小于轴的距离小于 2，请根据图象直接写出，请根据图象直接写出n的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】 （1）1,2； （2） 11；211n. 【解析】【解析】 【分析】 （1）把点 P（-2，3）代入 y=x2+ax+3 中，即可求出 a； （2）把 m=2 代入解析式即可求 n 的值； 由点 Q 到 y 轴的距离小于 2，可得-2m2，在此范围内求 n 即可. 【详解】 （1）解：把2,3P 代
37、入 2 3yxax，得 2 3223a ， 解得2a. 2 2 2312yxxx， 顶点坐标为1,2. （2）当 m=2 时，n=11， 点 Q 到 y 轴的距离小于 2， |m|2， -2m2， 2n11. 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键 34 （ （2019 江苏中考真题）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为江苏中考真题）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为 40 元（市场管理部门规定，该种玩具 元（市场管理部门规定，该种玩具 每件利润不能超过每件利润不能超过 60 元） ，每天可售出元） ，每天可售出 50 件根据市场调查发现，销售单价
38、每增加件根据市场调查发现，销售单价每增加 2 元，每天销售量会减元，每天销售量会减 少少 1 件设销售单价增加件设销售单价增加x元，每天售出元，每天售出y件件 （1）请写出）请写出y与与x之间的函数表达式；之间的函数表达式； （2）当）当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润 2250 元？元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利）设超市每天销售这种玩具可获利w元，当元，当x为多少时为多少时w最大，最大值是多少？最大，最大值是多少？ 【答案】【答案】 （1） 1 50 2 yx （2）当x为 10 时，超市每天销售这种玩具可获利润 2250 元（3）当x
39、为 20 时w最大，最大值是 2400 元 【解析】【解析】 【分析】 （1）根据题意列函数关系式即可； （2）根据题意列方程即可得到结论； （3）根据题意得到 21 302450 2 wx ，根据二次函数的性质得到当30x时，w随x的增大而增 大，于是得到结论 【详解】 （1）根据题意得， 1 50 2 yx ； （2）根据题意得， 1 40502250 2 xx ， 解得： 1 50x ， 2 10x ， 每件利润不能超过 60 元， 10x ， 答：当x为 10 时，超市每天销售这种玩具可获利润 2250 元； （3）根据题意得， 2 11 4050302000 22 wxxxx 21
40、302450 2 x ， 1 0 2 a ， 当30x时，w随x的增大而增大， 当20x=时， 2400w 增大 ， 答：当x为 20 时w最大，最大值是 2400 元 【点睛】 本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键 35 （ （2019 辽宁中考真题）辽宁中考真题）2018 年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019 年我市猪肉售价将逐月上涨，每 年我市猪肉售价将逐月上涨，每 千克猪肉的售价千克猪肉的售价 y1（元）与月份（元）与月份 x（1x12，且，且 x 为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示每千克为整数）之间满足一次函
41、数关系，如下表所示每千克 猪肉的成本猪肉的成本 y2（元）与月份（元）与月份 x（1x12，且，且 x 为整数）之间满足二次函数关系，且为整数）之间满足二次函数关系，且 3 月份每千克猪月份每千克猪肉的成肉的成 本本全年最低，为全年最低，为 9 元，如图所示元，如图所示 月份月份 x 3 4 5 6 售价售价 y1/元元 12 14 16 18 （1）求）求 y1与与 x 之间的函数关系式之间的函数关系式 （2）求）求 y2与与 x 之间的函数关系式之间的函数关系式 （3）设销售每千克猪肉所获得的利润为）设销售每千克猪肉所获得的利润为 w（元） ，求（元） ，求 w 与与 x 之间的函数关系式
42、，哪个月份销售每千克猪肉之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉 所第获得的利润最大？最大利润是多少元？所第获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】【答案】 （1）y12x+6； （2）y2 1 4 x2 3 2 x+ 45 4 ； （3）w 1 4 x2+ 7 2 x 21 4 ，7 月份销售每千克猪肉所第 获得的利润最大，最大利润是 77 元 7 【解析】【解析】 【分析】 （1）设 1 y与 x 之间的函数关系式为 1 ykxb，将（3，12） （4，14）代入 1 y解方程组即可得到结论； （2）由题意得到抛物线的顶点坐标为（3，9） ，设 2 y与 x 之间的函数关系式为： 2
43、y 2 39a x（），将（5， 10）代入 2 y 2 39a x（）得 2 539a（）10，解方程即可得到结论； （3）由题意得到 w 1 y 2 y2x6 1 4 2 x 3 2 x 45 4 1 4 2 x 7 2 x 21 4 ，根据二次函数的性质即可得到 结论 【详解】 （1）设 y1与 x 之间的函数关系式为 y1kx+b， 将（3，12） （4，14）代入 y1得， 312 414 kb kb ， 解得： 2 6 k b ， y1与 x 之间的函数关系式为：y12x+6； （2）由题意得，抛物线的顶点坐标为（3，9） ， 设 y2与 x 之间的函数关系式为：y2a（x3）2+
44、9， 将（5，10）代入 y2a（x3）2+9 得 a（53）2+910， 解得：a 1 4 ， y2 1 4 （x3）2+9 1 4 x2 3 2 x+ 45 4 ； （3）由题意得，wy1y22x+6 1 4 x2+ 3 2 x 45 4 1 4 x2+ 7 2 x 21 4 ， 1 4 0， w 由最大值， 当 x 2 b a 7 2 1 2 4 7 时，w最大 1 4 72+ 7 2 7 21 4 7 【点睛】 本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数求函数解析式、由相等关系得出利润的函数解析式、利 用二次函数的图象与性质是解题的关键 36.（2019 辽宁中考真题）某网店销售一种
45、儿童玩具，进价为每件辽宁中考真题）某网店销售一种儿童玩具，进价为每件 30 元，物价部门规定每件儿童玩具的销 元，物价部门规定每件儿童玩具的销 售利润不高于进价的售利润不高于进价的60%在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量y（件（件）与销售单价与销售单价x（元（元）满满 足一次函数关系当销售单价为足一次函数关系当销售单价为 35 元时，每天的销售量为元时，每天的销售量为 350 件；当销售单价为件；当销售单价为 40 元时，每天的销售量元时，每天的销售量 为为 300 件件 （1）求）求y与与x之间的函数关系式之间的函数关系式 （2）当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？）当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【
