1、5.放射性核废料处理问题放射性核废料处理问题 以前美国原子能委员会将放射性核废料装在封闭的圆以前美国原子能委员会将放射性核废料装在封闭的圆桶里，扔到水深为桶里，扔到水深为91米的海底。生态学家和科学家担心这米的海底。生态学家和科学家担心这种做法不安全，而原子能委员会向他们保证，圆桶绝不会种做法不安全，而原子能委员会向他们保证，圆桶绝不会破漏。经过周密的试验，证明了圆桶的封闭性确实很好，破漏。经过周密的试验，证明了圆桶的封闭性确实很好，但工程师们提出疑问，圆桶是否会因与海底相撞而发生破但工程师们提出疑问，圆桶是否会因与海底相撞而发生破裂，原子能委员会却说决不会。裂，原子能委员会却说决不会。数学与
2、信息科学学院数学与信息科学学院 于是，工程师们通过大量试验发现：当圆桶在海于是，工程师们通过大量试验发现：当圆桶在海水中的速度超过水中的速度超过 12.2 米时，圆桶就会因碰撞破裂。现米时，圆桶就会因碰撞破裂。现在的问题是，圆桶到达在的问题是，圆桶到达91米的海底时的速度是不是超米的海底时的速度是不是超过了过了 12.2 米的问题。米的问题。首先来建立直角坐标系。设海平面为首先来建立直角坐标系。设海平面为 x 轴，轴，y 轴的方向轴的方向向下为正。向下为正。数学与信息科学学院数学与信息科学学院22d yadt 根据牛顿第二定律：根据牛顿第二定律：F=ma，其中圆桶的质量为，其中圆桶的质量为W=
3、239.456 kg，a 为圆桶下沉的加速度，假设为圆桶下沉的加速度，假设 t 时刻圆桶下时刻圆桶下沉到沉到 y 处，则处，则。圆桶在向海底沉的过程中，受到三个力的作用：圆桶在向海底沉的过程中，受到三个力的作用：一是重力，一是重力，W=239.456 kg；二是圆桶受海水的浮力二是圆桶受海水的浮力 B，已知海水的浮力为，已知海水的浮力为1025.94 kg/m3，圆桶的体积为，圆桶的体积为V=0.208 m3，那么，那么，B=1025.94V=213.396 kg；数学与信息科学学院数学与信息科学学院 三是圆桶下沉过程所受的阻力三是圆桶下沉过程所受的阻力 D，工程师们，工程师们做了大量试验得出
4、结论：阻力与圆桶的方位无关做了大量试验得出结论：阻力与圆桶的方位无关，而与下沉的速度成正比，比例系数，而与下沉的速度成正比，比例系数 k=0.12，于，于是，是，0.12dyDkvdt。数学与信息科学学院数学与信息科学学院根据牛顿第二定律得微分方程：根据牛顿第二定律得微分方程：220;(0)0,(0)01td ydydymWBkyvdtdtdt，()29.8/gm s其中其中 Wgm，为重力加速度。方程（为重力加速度。方程（1）是）是 t 为自变量（但不显含为自变量（但不显含 t），），y 为未知函数的二阶微分方为未知函数的二阶微分方程，我们要求的是当圆桶下沉到程，我们要求的是当圆桶下沉到 9
5、1 米的海底时圆桶下米的海底时圆桶下降的速度，因此，把速度降的速度，因此，把速度 v 看成看成 y 的函数的函数 v=v(y)。因为。因为 dyvdt，所以，所以 22d ydv dydvvdtdy dtdy ，于是方程（，于是方程（1）化为）化为一阶微分方程一阶微分方程数学与信息科学学院数学与信息科学学院(),(0)0dvgvWBkvvdyW，（2）或或,(0)0vgdvdyvWBkvW，（3）2ln()WBCWBk，求解微分方程（求解微分方程（3）得其通解）得其通解21ln()gWByvWBkvCWkk ，（4）将初始条件将初始条件 v=v(0)代入（代入（4）式得）式得从而，方程（从而，
6、方程（3）的特解为）的特解为2ln()gvWBWBkvyWkkWB。（5）数学与信息科学学院数学与信息科学学院 算到这里，我们似乎感到失望，因为不能算到这里，我们似乎感到失望，因为不能从（从（5）式中解出显函数）式中解出显函数 v=v(y)。但是，这个。但是，这个困难是可以克服的。借助于计算机很容易计算困难是可以克服的。借助于计算机很容易计算出出 v(91)，我们只需要为计算机提供一个，我们只需要为计算机提供一个 v(91)的很好的近似表达式，近似表达式可按下述方的很好的近似表达式，近似表达式可按下述方法获得。法获得。22()ugyWBW 在微分方程（在微分方程（3）中，暂时）中，暂时设设 k
7、=0（无阻力），从而（无阻力），从而得新的微分方程得新的微分方程,(0)0ugdudyuWBW，（6）为了区别于方程（为了区别于方程（3）的未知函数，方程（）的未知函数，方程（6）用）用u表示未表示未知函数。直接对（知函数。直接对（6）式积分得）式积分得数学与信息科学学院数学与信息科学学院整理上式得整理上式得2()guWB yW，特别有特别有2 9.8(91)(239.456213.396)9113.93/239.456um s。现在来说明现在来说明 u(91)就是就是 v(91)很好的近似。很好的近似。第一，当不存在阻力时，圆桶下沉的速度总要比第一，当不存在阻力时，圆桶下沉的速度总要比有阻力
8、时下沉的速度快，即有阻力时下沉的速度快，即v(91)u(91)；第二，第二，v=v(y)是关于是关于 y 的增函数，所以，当的增函数，所以，当 y91时，时，v(y)v(91)。水作用在圆桶上的阻力。水作用在圆桶上的阻力 D 总是小于总是小于0.12 u(91)=0.16 kg，圆桶向下的合力（，圆桶向下的合力（W-B）近似）近似于于26.06 kg，该值比，该值比 D 大得多。所以，大得多。所以，u(91)就是就是 v(91)很好的近似。很好的近似。数学与信息科学学院数学与信息科学学院 通过上述分析、论证知：将装满放射性核废料的通过上述分析、论证知：将装满放射性核废料的圆桶扔到海里，当圆桶到
9、达深的海底圆桶扔到海里，当圆桶到达深的海底 91m 时的速度可时的速度可达到达到13.93 m/s，超过了，超过了12.2 m/s，因此，将放射性核废，因此，将放射性核废料装在封闭的圆桶里扔到水深为料装在封闭的圆桶里扔到水深为 91m 的海底是不安全的海底是不安全的。的。(),(0)0dug WBuudyW，（9）上述分析是无道理的。看下面的分析：上述分析是无道理的。看下面的分析：(),(0)0dvgvWBkvvdyW，（8）设设 u=u(y)是方程是方程数学与信息科学学院数学与信息科学学院的特解，则的特解，则()2g WBuyW，（10）再设再设=(y)是方程是方程,(0)0dkgdyW，（
10、11）(),(0)0dvg WBkgvvvdyWW，（13）的特解，则的特解，则kgyW，（12）设设 v=u+a为方程为方程数学与信息科学学院数学与信息科学学院的特解，其中的特解，其中 a 是待定参数，则是待定参数，则()()()()d uag WBkguauadyWW，从而从而2()0ddudkgkgaauudydydyWW，（14）()0.12 9.8213.937/0.00491239.456g WBkgym sWW；，()2kgkgg WBuyWWW，（17）1()()222dudkgkgg WBg WBkguyyydydyWWWWW，其中其中2()dkgkgydyWW，（15）数学
11、与信息科学学院数学与信息科学学院（16）由于由于 所以所以 2910.0049191yddy，（18）910.00491 21.35231ydudkgudydyW，（20）910.00491 13.937ykguW，（19）数学与信息科学学院数学与信息科学学院所以，由式（所以，由式（3）、（）、（18）（20）得二次方程）得二次方程20.04468121.3418113.9370aa，（21）二次方程式（二次方程式（20）的解为）的解为21,247.1264621.3523121.352314 0.44681 13.9370.661882 0.44681a，（22）91(91)0.00491
12、910.44681(/)ykgym sW ，（24）由于由于91()(91)213.937(/)yg WBuym sW，（23）数学与信息科学学院数学与信息科学学院所以所以1,213.64126(91)(91)(91)7.11957vua，当不存在阻力时，圆桶下沉的速度总要比有阻力时当不存在阻力时，圆桶下沉的速度总要比有阻力时下沉的速度快，所以下沉的速度快，所以 v(91)u(91)，又由于，又由于v(y)0，所以，所以取取a=0.66188，从而，从而(91)(91)(91)13.64126/vuam s。0dydv()1dyWW WBdvkgkgWBkv，（26）2()ln(1)WW WB
13、kyvvkgk gWB，（25）计算机仿真计算机仿真由式（由式（5）得）得数学与信息科学学院数学与信息科学学院则则因此当因此当 v(y)00时，时，所以，所以 y=y(v)有唯一的反函数有唯一的反函数 v=v(y)。()0.12 9.821.4610.00491239.456g WBkgyyWW；。另一方面，由于另一方面，由于()20.00491 1.461,(28)kgkgg WBuyyWWW所以所以22()0.00491(27)dkgyydyW，数学与信息科学学院数学与信息科学学院0.00491(2.19150.00491)(29)dudkguyydydyW，将式（将式（27）（29）代入
14、到式（）代入到式（14）得）得20.00491(2.19150.00491)1.4610(30)yayy ay，方程式（方程式（30）的解为）的解为32221,2(2.19150.00491)4.6030.004910.0179,(31)2 0.00491yyyyyay()0.00491(/),(33)kgyyy m sW 由式（由式（10），（），（12）得）得()()21.461(/),(32)g WBu yyy m sW数学与信息科学学院数学与信息科学学院所以所以1,23222322210.3650.00254.6030.004910.0179210.3650.00254.6030.00
15、4910.01792()()()yyyyyyyyyyv yu yay。设设 2()4.6030.004910.0179yyy，则，则20.00895()0.004910,91yyy0,数学与信息科学学院数学与信息科学学院因此因此()y在区间在区间0,91单调下降，于是单调下降，于是2()4.6030.0049191 0.0179 914.43445y所以所以12212210.00254.6030.004910.0179214.6030.004910.01791.05290.3652yyyyy，从而从而322210.3650.00254.6030.004910.017902yyyyy，()203
16、.61944219.2595ln(10.0046),(35)yy vvv又由于又由于 v(y)，故取，故取3222()10.3650.00254.6030.004910.0179(34)2vv yyyyyy，由于方程式（由于方程式（25）可化为）可化为数学与信息科学学院数学与信息科学学院 利用利用 MATLAB 软件编程绘制出函数式软件编程绘制出函数式(34)，(35)的的图像如图图像如图10-1所示。仿真结果表明：用速度函数式所示。仿真结果表明：用速度函数式(34)代代替由隐函数方程式替由隐函数方程式(35)确定的圆桶运动的真实速度，其拟确定的圆桶运动的真实速度，其拟合精度已经非常高。合精度
17、已经非常高。数学与信息科学学院数学与信息科学学院6水电站调压塔的功能水电站调压塔的功能 目前我们使用的电能，是发电厂发出的电经过输电、目前我们使用的电能，是发电厂发出的电经过输电、变电和配电后供给的。发电系统的发电方式主要包括：水变电和配电后供给的。发电系统的发电方式主要包括：水力发电，火力发电，核能发电等。力发电，火力发电，核能发电等。水力发电是当位于高处的水（具有势能）往低处流动水力发电是当位于高处的水（具有势能）往低处流动时势能转换为动能。此时装设在水道低处的水轮机，因水时势能转换为动能。此时装设在水道低处的水轮机，因水流的动能推动叶片而转动（机械能），如果将水轮机连接流的动能推动叶片而
18、转动（机械能），如果将水轮机连接发电机，就能带动发电机的转动将机械能转换为电能。水发电机，就能带动发电机的转动将机械能转换为电能。水力发电一般可分为川流式、水坝（库）式发电。力发电一般可分为川流式、水坝（库）式发电。对于水库式发电，水电站要把贮存在水库的水经过长对于水库式发电，水电站要把贮存在水库的水经过长达数百米的管道引到水轮发电机。在输送水流过程中会遇达数百米的管道引到水轮发电机。在输送水流过程中会遇到严重的水击作用致使管道破裂。到严重的水击作用致使管道破裂。数学与信息科学学院数学与信息科学学院 水利发电具有用电负荷突然发生变化时的调节作用。水利发电具有用电负荷突然发生变化时的调节作用。当
19、用电负荷突然上升时，要立即增加输送水量以增加发电当用电负荷突然上升时，要立即增加输送水量以增加发电量；当用电负荷下降时，又要使水流很快慢下来以减少发量；当用电负荷下降时，又要使水流很快慢下来以减少发电量。由于水是不可压缩的液体，管道本身的弹性又非常电量。由于水是不可压缩的液体，管道本身的弹性又非常小，致使水的高压波沿管道传播，工程上称为小，致使水的高压波沿管道传播，工程上称为“水击作用水击作用”，它是可能破坏管道的。缓解这种作用的办法是在输送，它是可能破坏管道的。缓解这种作用的办法是在输送管中的水进入水轮机前先注入一个称为调压塔的贮水箱中管中的水进入水轮机前先注入一个称为调压塔的贮水箱中。数学
20、与信息科学学院数学与信息科学学院 当负荷需求较低时，水轮机需要的水量较少，调压塔当负荷需求较低时，水轮机需要的水量较少，调压塔贮存下大量的水，水位较高。当负荷需求突然变大时，可贮存下大量的水，水位较高。当负荷需求突然变大时，可以用塔中的水满足水轮机对水量需求的增加，避免输送管以用塔中的水满足水轮机对水量需求的增加，避免输送管道中水流速度发生突然的大变化。道中水流速度发生突然的大变化。现在讨论当调压塔出口水流速度变化时，调压塔的水现在讨论当调压塔出口水流速度变化时，调压塔的水位如何变化，并分析水位变化过程与各参数之间的关系。位如何变化，并分析水位变化过程与各参数之间的关系。输水管输水管调压塔部分
21、如图调压塔部分如图11-1所示。所示。数学与信息科学学院数学与信息科学学院 设输水管管长为设输水管管长为 L，截面积为，截面积为 s1，与地面成夹角，与地面成夹角，水流速度水流速度 u(t)，两端压强分别，两端压强分别 p1 和和p2(t)。调压塔水液面。调压塔水液面高高h(t)，截面积，截面积 s0，顶部大气压，顶部大气压 p0，出口水流速度，出口水流速度 v(t)，出口截面积出口截面积 s2，水的密度为，水的密度为。假设水库水位不变，所以。假设水库水位不变，所以输水管始端的压强为是输水管始端的压强为是 p1 常数。水与水管均无弹性。常数。水与水管均无弹性。由流体运动学知，单位长度管壁对水流
22、的阻力与水流由流体运动学知，单位长度管壁对水流的阻力与水流速度的平方成正比，比例系数速度的平方成正比，比例系数 c 为粘滞系数。为粘滞系数。数学与信息科学学院数学与信息科学学院 根据以上说明及假设，作用在水运动方向的力有：输根据以上说明及假设，作用在水运动方向的力有：输水管两端压强差形成的压力水管两端压强差形成的压力 s1(p1-p2)；水柱本身的重力；水柱本身的重力Ls1sing；管壁对水流的阻力；管壁对水流的阻力 cLu2(t)。根据牛顿第二定。根据牛顿第二定律得方程律得方程211121()sin(1)duLss ppLs gcLudt，由于调压塔的进水口在塔的底部，塔内水柱的重力由于调压
23、塔的进水口在塔的底部，塔内水柱的重力s0 gh 形成底部与顶部的压力差形成底部与顶部的压力差 s1 p2-s0 p0。于是得静力。于是得静力学方程学方程12000(2)s ps ps gh，根据守恒定律，调压塔进出水量之差等于塔内水位根据守恒定律，调压塔进出水量之差等于塔内水位的变化，所以的变化，所以120()()dhsu ts v tsdt，（3）对上三式加以整理，消去对上三式加以整理，消去 p2 和和 u(t)得微分方程得微分方程数学与信息科学学院数学与信息科学学院注：注：1.消去消去 p2，由（，由（2）式得）式得 0201();sppghs2.消去消去 u(t)，由（，由（3）式得）式
24、得 0211ssdhuvss dt。进而。进而 202211ssdudvd hdts dts dt。将上两式代入到（将上两式代入到（1）式）式220110012222200 222111()sin()()()2,dvd hLsLss pspghLs gdtdtss ssdhdhcLvvssdtsdt200211102111202111()()sin(),sss dvd hLss ppghs dts dtsssdhLs gcLvss dt从而从而数学与信息科学学院数学与信息科学学院22200 20022112221100121()()2sin()ss sd hdhdhLscLcLvsghdtsd
25、tsdtsdvs ps pLs gLscLvdts，22022221122110012220000 12()()sin()cscsd hdhdhgvh tdtsdtsdtLs ps ps gscsdvvLsss dts s，（4）这是一个非线性二阶微分方程，它的求解相当困难。这是一个非线性二阶微分方程，它的求解相当困难。因此只能就特别情形来讨论。因此只能就特别情形来讨论。数学与信息科学学院数学与信息科学学院 设调压塔出口水流速度设调压塔出口水流速度 v(t)稳定，即稳定，即v(t)=v0为常数，为常数，当当 v(t)稳定在稳定在 v0 附近时，附近时，h(t)稳定在稳定在 h0 附近。因此先设
26、附近。因此先设v(t)=v0，h(t)=h0，则由方程（，则由方程（4）得）得2211001202000 1sin()s ps ps gcsghvLLsss s，（5）111()(),()(),()()v tv th th th th t再设再设0101()(),()()v tvv th thh t，（6）则则数学与信息科学学院数学与信息科学学院，其中，其中非常小。非常小。将（将（6）式代入到（）式代入到（4）式得）式得2021101101221122110012210120000 12()()()()sin()cscsghhvvhhhssLs ps ps gscsvvvLssss s（），利
27、用（利用（5）式）式22202110 11 1122112222210 11200 122cscsghhv hv hhssLscsvv vvss s，22 00 221111122100 122cs vcv ssghhhvvsLss s，（7）进而进而202110 11 112211222210 11200 122cscsghhv hv hhssLscsvv vvss s，略去略去 项，并整理得项，并整理得数学与信息科学学院数学与信息科学学院设设 22 020222110 122,cs vcs vsgksLss s，则方程（则方程（7）化为）化为11111()()()()()h th tkh
28、tv tv t，（8）对于方程（对于方程（8），可假设初始条件为），可假设初始条件为11(0)(0)0hh，对于给定某种形式的对于给定某种形式的 v1(t)，容易求出方程（，容易求出方程（8）满）满足初始条件的解足初始条件的解 h1(t)，由（，由（6）式，便可得到）式，便可得到 h(t)的的近似变化规律。近似变化规律。数学与信息科学学院数学与信息科学学院 从（从（5）式开始，我们采用特殊的方法研究了复杂）式开始，我们采用特殊的方法研究了复杂方程（方程（4）的解。即对于给定的）的解。即对于给定的 v0，先求出稳态解，先求出稳态解 h0，再利用再利用 h0 和和 h1(t)求出方程（求出方程（4）的近似解。对一般的）的近似解。对一般的工业装置，近似解的精度已经能满足要求了。工业装置，近似解的精度已经能满足要求了。
