1、4.1 4.1 数学期望数学期望一、数学期望的概念一、数学期望的概念二、随机变量的函数的二、随机变量的函数的数学期望数学期望三、数学期望的性质三、数学期望的性质一、数学期望的概念一、数学期望的概念1 1、离散型随机变量的数学期望、离散型随机变量的数学期望引例引例1 分赌本问题分赌本问题(产生背景产生背景)A,B两人赌技相同两人赌技相同,各出赌金各出赌金100元元,并约定先胜三局者为胜并约定先胜三局者为胜,取得全部取得全部200元。由于出现意外情况元。由于出现意外情况,在在A胜胜2局局B胜胜1局时局时,不得不终止赌博不得不终止赌博,如果要分如果要分赌金赌金,该如何分配才算公平该如何分配才算公平?
2、A 胜胜 2 局局 B 胜胜 1 局局前三局前三局:后二局后二局:把已赌过的三局把已赌过的三局(A 胜胜2局局B 胜胜1局局)与上述结果与上述结果相结合相结合,即即 A、B 赌完五局赌完五局,A AA B B AB BA 胜胜B 胜胜分析分析 假设继续赌两局假设继续赌两局,则结果有以下四种情况则结果有以下四种情况:A AA B B AB BA胜胜B负负 A胜胜B负负 A胜胜B负负 B胜胜A负负 B胜胜A负负 A胜胜B负负 B胜胜A负负 B胜胜A负负 因此因此,A 能能“期望期望”得到的数目应为得到的数目应为 41043200 ),(150 元元 而而B 能能“期望期望”得到的数目得到的数目,则
3、为则为43041200 ).(50 元元 故有故有,在赌技相同的情况下在赌技相同的情况下,A,B 最终获胜的最终获胜的可能性大小之比为可能性大小之比为,1:3即即A 应获得赌金的应获得赌金的 而而 B 只能获得赌金的只能获得赌金的,43.41因而因而A期望所得的赌金即为期望所得的赌金即为X的的“期望期望”值值,等于等于X 的可能值与其概率之积的累加的可能值与其概率之积的累加.).(15041043200元元 即为即为若设随机变量若设随机变量 X 为为:在在 A 胜胜2局局B 胜胜1局的前提局的前提下下,继续赌下去继续赌下去 A 最终所得的赌金最终所得的赌金.则则X 所取可能值为所取可能值为:2
4、000其概率分别为其概率分别为:4341 设某射击手在同样的条设某射击手在同样的条件下件下,瞄准靶子相继射击瞄准靶子相继射击90次次,(命中的环数是一个随机变量命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下射中次数记录如下引例引例2 射击问题射击问题试问试问:该射手每次射击平均命中靶多少环该射手每次射击平均命中靶多少环?5432101513220103090159013902902090109030命中环数命中环数 k命中次数命中次数频率频率knnnk解解平均射中环数平均射中环数射射击击次次数数射射中中靶靶的的总总环环数数 9030520410315213120 9030590204901039
5、0152901319020 .37.3 50kknnk设射手命中的环数为随机变量设射手命中的环数为随机变量 Y.50kknnk 平均射中环数平均射中环数频率随机波动频率随机波动随机波动随机波动 50kknnk n 50kkpk随机波动随机波动 稳定值稳定值 “平均射中环数平均射中环数”的稳定值的稳定值?“平均射中环数平均射中环数”等于等于射中环数的可能值与其概率之积的累加射中环数的可能值与其概率之积的累加定义定义1.1 设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律的分布律为为为为X的的数学期望数学期望，亦称为，亦称为概率均值概率均值，简，简称称均值均值或或期望期望。绝对收敛，则称绝对收敛，则称若
6、级数若级数 1,.2,1,kkkkkpxkpxXP 1)(kkkpxXE分赌本问题分赌本问题A期望所得的赌金即为期望所得的赌金即为 X 的数学期望的数学期望射击问题射击问题“平均射中环数平均射中环数”应为随机变量应为随机变量Y 的数学期的数学期望望.543210)(543210ppppppYE ).(15041043200)(元元 XE关于定义的几点说明关于定义的几点说明(3)随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同。不同。(1)E(X)是一个实数是一个实数,而非变量而非变量,它是一种它是一种加权平均加权平均,与一般的平均值不同与一般的平均值不同,它
7、从本质上体现了随机变它从本质上体现了随机变量量 X 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值,故也称均值。故也称均值。(2)级数的绝对收敛性级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量期望是反映随机变量 X 取可能值的平均值取可能值的平均值,它不应它不应随可能值的排列次序而改变。随可能值的排列次序而改变。xO 随机变量随机变量 X 的算术平均值为的算术平均值为,5.1221 假设假设.98.198.0202.01)(XE它从本质上体现了随机变量它从本质上体现了随机变量
8、X 取可能值的平均值。取可能值的平均值。当随机变量当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时，取各个可能值是等概率分布时，X 的期望值与算术平均值相等。的期望值与算术平均值相等。1 2 X21020.980.p成成绩绩。即即甲甲的的成成绩绩略略好好于于乙乙的的望望可可知知解解：计计算算两两者者的的数数学学期期0.81.0101.095.083.07)(4.81.0104.093.082.07)(YEXE例例1.1 甲乙两射手打靶，击中的环数分别为甲乙两射手打靶，击中的环数分别为X、Y，其分布律为，其分布律为试评定他们的成绩好坏。试评定他们的成绩好坏。X78910pk0.2 0.3 0.4 0.
9、1Y78910pk0.3 0.5 0.1 0.1例例1.2 某公共汽车站每天某公共汽车站每天8:009:00,9:0010:00都有一辆客车到站都有一辆客车到站,可到站时间随机可到站时间随机,且且两次到站时间相互独立两次到站时间相互独立,其规律为其规律为:(1)一旅客一旅客8:00到站到站,求其候车时间的数学期望。求其候车时间的数学期望。(2)一旅客一旅客8:20到站到站,求其候车时间的数学期望。求其候车时间的数学期望。到站时刻到站时刻概率概率10:910:830:930:850:950:8616362Xkp106130635062)(33.33625063306110)(分分 XE解：解：设
10、旅客的候车时间为设旅客的候车时间为X分钟分钟(1)X的分布律为的分布律为:(2)X的分布律为的分布律为:故故,候车时间的数学期望为候车时间的数学期望为Xkp10633062506161 706361 906261)(22.2736290363703615062306310)(分分 XE故故,候车时间的数学期望为候车时间的数学期望为2、连续型随机变量的数学期望、连续型随机变量的数学期望定义定义1.2 设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度的概率密度为为f(x),若积分若积分为为X的的数学期望数学期望,简称简称期望期望或或均值均值。则称则称绝对收敛绝对收敛,)(dxxxf dxxxfXE)(
11、)(671)1()()()2(1310 dxxxdxxxdxxxfXE例例1.3 设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为试求试求E(X)。其它其它其它其它011101)()2(0102)()1(3xxxxxfxxxf322)()()1(10 xdxxdxxxfXE解：解：dxxxfXE)()(解：解：例例1.4 设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为试求试求E(X)。000)(22xxxexfx 0222dxexx 020222dxexexx 022212dxex 2212 00001)(/xxexfx(1)若将若将5个电子装置串联组成整机，求整机个电子
12、装置串联组成整机，求整机寿命寿命N的期望。的期望。(2)若将若将5个电子装置并联组成整机，求整机个电子装置并联组成整机，求整机寿命寿命M的期望。的期望。例例1.5 有有5个相互独立工作的电子装置个相互独立工作的电子装置,其寿其寿命命Xk(k=1,2,3,4,5)服从同一指数分布服从同一指数分布,其概其概率密度为率密度为 00001)(5,4,3,2,1,:xxexFkXxk的的分分布布函函数数为为由由题题设设解解 00001)(11)(55min xxexFxFx 0005)(:5minxxexfx 故故其其概概率率密密度度为为55)()(05min dxexdxxxfNEx(1)N=min(
13、X1,X2,X5)的分布函数为的分布函数为 0001)()(55maxxxexFxFx 00015)(:4maxxxeexfMxx 的的概概率率密密度度为为故故 6013715)()(:04max dxeexdxxxfMEMxx的的数数学学期期望望为为(2)M=max(X1,X2,X5)的分布函数为的分布函数为倍。倍。平均寿命的平均寿命的平均寿命是串联工作平均寿命是串联工作个电子装置并联工作的个电子装置并联工作的，这就是说，这就是说，我们看到，我们看到，4.1154.11560137)()(NEME二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望1 1、离散型随机变量的函数的期望、离散型随
14、机变量的函数的期望例例1.6 设设X的分布律如下表，试求的分布律如下表，试求Y=X21的期望。的期望。X2101pk1/41/81/21/8 kkkpxgXgEYE 1)()()(的的期期望望为为绝绝对对收收敛敛，则则函函数数且且，的的分分布布律律为为若若)()(,.2,11XgYpxgkpxXPXkkkkk 41413410211)(YEY的的期期望望，得得再再求求解：解：法一：先求法一：先求Y=X21的分布律为的分布律为Y=X21103pk1/21/41/4 4181112110811)1(411)2(1)(22222 XEYEY的的期期望望法法二二：直直接接求求2 2、连续型随机变量的函
15、数的期望、连续型随机变量的函数的期望的的期期望望为为对对收收敛敛，则则函函数数绝绝且且，的的概概率率密密度度为为若若连连续续型型随随机机变变量量)()()()(XgYdxxfxgxfX dxxfxgXgEYE)()()()(其它其它的概率密度为的概率密度为解：解：00/1)(vvfV2022311)()(kdvkvdvvfkvWE 例例1.7 设风速设风速V在在(0,)上服从均匀分布上服从均匀分布,又设飞机机翼所受的正压力为又设飞机机翼所受的正压力为W=kV2(k0常数常数),试求试求W的数学期望。的数学期望。例例1.8 游客乘电梯从底层到电视塔观光游客乘电梯从底层到电视塔观光,电梯电梯于每个
16、整点的第于每个整点的第5分钟分钟,25分钟分钟,55分钟从底层分钟从底层起行起行,假设一游客是在早上假设一游客是在早上8点第点第X分钟到达分钟到达底层电梯处底层电梯处,且且X在在0,60上服从均匀分布上服从均匀分布,试试求该游客等候时间的数学期望。求该游客等候时间的数学期望。解解：已知：已知XU0,60，其概率密度为，其概率密度为 其其它它0600601)(xxf再设再设Y=游客等候电梯的时间游客等候电梯的时间(分钟分钟)，则有，则有 其它其它0605556055255525525505)(XXXXXXXXXgY dxxfxgXgEYE )()()()(故故)(67.11335分分 60555
17、5252555060156060155601256015dxxdxxdxxdxx例例1.9 国际市场每年对我国某种出口商品的需求量国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X是一个随是一个随机变量，它在机变量，它在2000,4000(单位：吨单位：吨)上服从均匀分布，若每售上服从均匀分布，若每售出一吨，可获利出一吨，可获利3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费费1万美元。问应组织多少货源，才能使平均收益最大？万美元。问应组织多少货源，才能使平均收益最大？dxxfxgXgEYE)()()()(故故平平均均收收益益所以，组织所以，组织3500吨货源时，平均收益
18、最大。吨货源时，平均收益最大。解解：应组织：应组织a吨货源，则收益为吨货源，则收益为 其它其它04000320004)(3)(XaaaXaXXaXXgY 400020002000320004aadxadxax4000710002 aa82501000)3500(2 a3 3、多维随机变量的函数的期望、多维随机变量的函数的期望注注1：上二式中的级数与积分均要求绝对收敛。：上二式中的级数与积分均要求绝对收敛。注注2：对二维以上的函数的期望公式与之类似。：对二维以上的函数的期望公式与之类似。dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()(ijijjipyxgYXgEZE 11),(),()(的
19、的数数学学期期望望为为，则则函函数数的的分分布布律律为为设设),(,.2,1,),()1(YXgZjipyYxXPYXijji (2)设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为f(x,y),则函数则函数Z=g(X,Y)的的数学期望为数学期望为的数学期望。的数学期望。，试求，试求其它其它XYZyxyxyxf 010,10),(dxdyyxxyfXYE),()(解：解：例例1.10 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为例例1.11 设点设点(X,Y)在正方形在正方形D=(x,y)|0 x 1,0 y 1上随上随机取值，试求机取值，试求E(X2+Y2)。31)(1010 dxd
20、yyxxy 其其它它010,101),(yxyxf解解:依题意依题意,(X,Y)服从服从D上的均匀分布上的均匀分布,D的面积为的面积为1,则则其联合概率密度为其联合概率密度为 dxdyyxfyxYXE),()()(222232)(101022 dxdyyx三、数学期望的性质三、数学期望的性质1、(线性法则线性法则)设设X为随机变量为随机变量,其期望为其期望为E(X),对对任意常数任意常数a,b,有有 E(aX+b)=aE(X)+b)32(01)(33 XEaxaxxaxF，试求，试求例例1.12 设设X的分布函数为的分布函数为特别地特别地,当当a=0时时,E(b)=b,即常数的期望为其本身即常
21、数的期望为其本身;当当b=0时时,E(aX)=aE(X)。axaxxaxf03)(43解：由题意得解：由题意得adxxaxdxxxfXEa233)()(43 故故)1(332323)(2)32(aaXEXE故故)1(33)32()32(3243 adxxaxXEXa的数学期望的数学期望注：也可直接求注：也可直接求 niiniiXEXEnn11)()1(,个个任任意意实实数数个个随随机机变变量量加加法法法法则则推推广广：对对于于2、(加法法则加法法则)设设X,Y为随机变量，同为随机变量，同为离散型或连续型，则有为离散型或连续型，则有 E(X+Y)=E(X)+E(Y)niiiniiiXEaXaE1
22、1)()2(MiiiXXMiiiX1,2,110，则则，个个盒盒子子有有球球第第个个盒盒子子无无球球第第解解：记记例例1.13 将将n个球随机地放入个球随机地放入M个盒子中，设每个盒子中，设每个球放入各个盒子是等可能的，求有球盒子数个球放入各个盒子是等可能的，求有球盒子数X的期望。的期望。nninniMMXPMMXP)1(1)1()1()0(，则则因因为为nniiiMMXPXPXE)1(1)0(0)1(1)(故故，)1(1)()(1nnMiiMMMXEXE 由由期期望望的的性性质质，得得3、(乘法法则乘法法则)设设X,Y为同类型随机变为同类型随机变量，且相互独立，则有量，且相互独立，则有 E(
23、XY)=E(X)E(Y)推广：若推广：若X1,X2,Xn是相互独立的随是相互独立的随机变量，则机变量，则 E(X1X2Xn)=E(X1)E(X2)E(Xn)例例1.14 设一电路中电流设一电路中电流I和电阻和电阻R是两个相是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为互独立的随机变量，其概率密度分别为试求电压试求电压V=IR的均值。的均值。其它其它，其它其它0309)(0102)(2rrrhiiig drrrhdiiig)()(解解:E(V)=E(I)E(R)239230210 drrrdiii)()(|)(|222YEXEXYE)()(2)()()(2222YEXYtEXEtYtXEtu 4、(Cauchy-Schwarz不等式不等式)设设X,Y为两个为两个随机变量随机变量,则则证明证明:对任意的实数对任意的实数t,定义辅助函数定义辅助函数一一重重根根，或或者者没没有有实实根根，或或者者有有的的一一元元二二次次方方程程故故0)()(2)(222 YEXYtEXEtt显然显然,对一切对一切t,u(t)0,移移项项后后即即得得证证。所所以以判判别别式式0)()(4|)(|4222 YEXEXYE
