1、资金的间价值及等值计算 1、从资金的提供方来看，牺牲现在的消费或者延误、从资金的提供方来看，牺牲现在的消费或者延误自身的投资，需要补偿；从资金的使用者来看，投资可以自身的投资，需要补偿；从资金的使用者来看，投资可以创造价值，即资金增值。创造价值，即资金增值。2、资金使用权是稀缺资源：既不可能无偿拥有使用、资金使用权是稀缺资源：既不可能无偿拥有使用权，也不可能无偿放弃使用权。权，也不可能无偿放弃使用权。二、资金等值计算二、资金等值计算资金等值：资金等值：在同一系统中不同时点发生的相关资金，在同一系统中不同时点发生的相关资金，数额不等但价值相等，这一现象即资金等值。数额不等但价值相等，这一现象即资
2、金等值。决定资金等值的因素有三个：决定资金等值的因素有三个：资金的金额大小资金的金额大小 资金金额发生的时间资金金额发生的时间 利率的大小利率的大小 如果两个现金流量等值，则它们在任何时间折算如果两个现金流量等值，则它们在任何时间折算的相应价值必定相等。的相应价值必定相等。单利和复利单利和复利例：第例：第1年初存入年初存入1000元，年利率元，年利率6，4年末可取多少钱？年末可取多少钱？年末年末单利单利复利复利年末利息年末利息年末本利和年末本利和年末利息年末利息年末本利和年末本利和00100001000110006%=601060601060210006%=60112010606%=63.60
3、1123.60310006%=6011801123.606%=67.421191.02410006%=6012401191.026%=71.461262.48 纽约曼哈顿岛：纽约曼哈顿岛：1626年荷兰东印度公司的彼得年荷兰东印度公司的彼得 米纽特米纽特（Peter Minuit）以当时约）以当时约$24的工艺品向当地土著印第安的工艺品向当地土著印第安人购买。人购买。美国第美国第49个州阿拉斯加：个州阿拉斯加：1867年以年以700万美元从俄万美元从俄国沙皇手中购买。国沙皇手中购买。$832.8$832.8亿亿20032003年年$9.375$9.375亿亿$30.12 M$30.12 M$8
4、143$8143$24$24美元美元19261926年年18671867年年17261726年年16261626年年年份年份$193.5$193.5亿亿$76.1$76.1亿亿$2.31$2.31亿亿$7.0 M$7.0 M美元美元20032003年年19871987年年19271927年年18671867年年年份年份住房按揭贷款的名义利率住房按揭贷款的名义利率i=5.04%，每年计息，每年计息12次次计息期利率：计息期利率：r/m=4.2（月息）（月息）实际利率：实际利率：i=5.158%（年利率）（年利率）i （1十十rm）m 1 （1十十5.0412）12 1 5.158现金流出量：项目
5、所需的现金流出量：项目所需的各种费用各种费用，例如投资、成本等，例如投资、成本等现金流入量：项目带来的现金流入量：项目带来的各种收入各种收入，例如销售收入、利润等，例如销售收入、利润等现金流量现金流量（cash flow）：由许多次投入）：由许多次投入(支出支出)和产出和产出(收入收入)按时间顺序构成的动态序量按时间顺序构成的动态序量 当实际问题的现金流量的时点没有交代清楚（未指明当实际问题的现金流量的时点没有交代清楚（未指明期末、期初）时，有以下规定：投资在期初，经营费用和期末、期初）时，有以下规定：投资在期初，经营费用和销售收入、税金在期末。销售收入、税金在期末。14-N年年320第一年第
6、一年的开始的开始第二年第二年的开始的开始第一年第一年的结束的结束流入流入流出流出现金流量图现金流量图一次支付终值公式一次支付终值公式一次支付现值公式一次支付现值公式等额分付终值公式等额分付终值公式等额分付偿债基金公式等额分付偿债基金公式等额分付资金回收公式等额分付资金回收公式等额分付现值公式等额分付现值公式等差分付终值公式等差分付终值公式等差分付现值公式等差分付现值公式等差分付年值公式等差分付年值公式等比分付现值与复利公式等比分付现值与复利公式 符号定义：符号定义：P 现值现值 F 将来值将来值 i 年利率年利率 n 计息期数计息期数 A 年金（年值）年金（年值）Annuity计息期末等额发生
7、的现金流量计息期末等额发生的现金流量 G 等差分付系列中的等差变量值等差分付系列中的等差变量值Arithmetic Gradient g 等比系列中的增减率等比系列中的增减率Geometric 0 1 2 3 .n-1 n年F=?PF=P（1+i）n=P（F/P，i，n）（1+i）n=（F/P，i，n）_一次支付终值系数一次支付终值系数（Compound amount factor,single payment）n年后的终值为：年后的终值为：F250 000（F/P，5%，8）=250 000 1.477 =369 250（元）（元）102n-13nPF=?一份遗书上规定有一份遗书上规定有25
8、0 000元留给未成年的女儿，但是，元留给未成年的女儿，但是，暂由她的监护人保管暂由她的监护人保管8年。若这笔资金的年利率是年。若这笔资金的年利率是 5，问，问8年后这位女孩可以得到多少钱？年后这位女孩可以得到多少钱？计息期间的存款应放在期末，而计息期间的提款应放在期初。n-1 n某工程项目一次投资30000元，年利率8%，分5年每年年一位发明者转让其专利使用权，一种收益方式在今后五支付周期：指现金流量的发生周期，亦称支付期。A A A .A A A .现金流入量：项目带来的各种收入，例如销售收入、利润等若这笔资金的年利率是 5，问8计需要投资5000万元。04%，每年计息12次解：P1(PF
9、，12%，5)1 0.1300 1600 =F（A/F，i，n）从现在起，若每年年末存入银行40元，连续存7次，按72法则：现值翻一倍的时间大约等于法则：现值翻一倍的时间大约等于72除以利率。除以利率。翻倍时间翻倍时间72/利率利率例：现在存入例：现在存入100元，元，i8，45年后你可以得到多少？年后你可以得到多少？FV=100（18）453192元元 翻倍时间翻倍时间72/89，则，则45年将翻年将翻5倍（倍（45/9），），FV10025 3200元。元。P=F（1+i）-n=F（P/F，i，n）年F0 1 2 3 .n-1 nP=？（1+i）-n=（P/F，i，n）一次支付现值系数一次
10、支付现值系数（Present Worth Factor,Single Payment）解：解：P1(PF，12%，5)1 0.5674 0.5674(万元万元)若若i=3.6%，需求取，需求取(PF，3.6%，5)？已知（已知（PF，3%，5)0.8626，(PF，4%，5)0.8219可采用线性内插法计算可采用线性内插法计算P值。值。102435P=?F=1 某人计划某人计划5年后从银行提取年后从银行提取1万元，如果银行利率为万元，如果银行利率为12，问现在应存入银行多少钱？若年利率为问现在应存入银行多少钱？若年利率为3.60%呢？呢？A A A .A A 0 1 2 3 .n-1 n年F=
11、?FAAAA=+)(i+1)(i+1()i+1n-2n-1L()()()()()FiAiAiAiAinn1111121=-L()FiAin=-11(1+i)n-1i=（F/A，i，n）等额分付终值系数等额分付终值系数（compound amount factor,uniform series）=AF(1+i)n-1i=A（F/A，i，n）()()AiAFiFn-=-11 某厂连续某厂连续3年，每年末向银行存款年，每年末向银行存款1000万元，利率万元，利率10%，问，问3年末本利和是多少？年末本利和是多少？F=1000*（F/A，10%，3）=3310（万元）（万元）(1+i)n-1iA A
12、A .A A=？0 1 2 3 .n-1 n年F =（A/F，i，n）等额分付偿债基金系数等额分付偿债基金系数 （Sinking Fund Factor）=(1+i)n-1iA=F（A/F，i，n）F 某工厂计划自筹资金于某工厂计划自筹资金于5年后新建一个基本生产车间，预年后新建一个基本生产车间，预计需要投资计需要投资5000万元。年利率万元。年利率5%，从现在起每年年末应等额，从现在起每年年末应等额存入银行多少钱存入银行多少钱?A=F*（A/F，5%，5）=5000*0.181 =905（万元）（万元）(1+i)n-1i(1+i)n 0 1 2 3 .n-1 n年P=？A A A .A A=
13、（P/A，i，n）等额分付现值系数等额分付现值系数 （Present Worth Factor,Uniform Series）),/()1(1)1(niAPAiiiAPnn=-=一位发明者转让其专利使用权，一种收益方式在今后五一位发明者转让其专利使用权，一种收益方式在今后五年里每年收到年里每年收到12000元，随后，又连续元，随后，又连续7年每年收到年每年收到6000元，元，另一种是一次性付款。在不考虑税收的情况下，如要求年收另一种是一次性付款。在不考虑税收的情况下，如要求年收益率为益率为10，他愿意以多大的价格一次性出让他的专有权？，他愿意以多大的价格一次性出让他的专有权？P=A1（PA，i
14、，n）+A2（PA，i，n）（PF，i，n）=12000（PA，10%，5）+6000（PA，10%，7）（PF，10%，5）=63625（元）（元）102536P=?A1=12000 i=10%A2=60001112=5000*0.10606%=63.2、资金使用权是稀缺资源：既不可能无偿拥有使用其中g为现金流周期增减率0 1 2 3 10 年决定资金等值的因素有三个：某厂第一年年末销售利润额为50万元，预测在以后4年每年将递增10万元，年利率为10，如果换算成5年的等额支付系列，其年值是多少？计息期利率：r/m=4.某新工程项目欲投资200万元，工程1年建成，生产经营期为9年，期末不计算余
15、值。现金流入量：项目带来的各种收入，例如销售收入、利润等2000(1+0.0 1 2 3 8 9 10 年04%，每年计息12次04%，每年计息12次从现在起，若每年年末存入银行40元，连续存7次，按0 1 2 3 .n-1 n 年PA A A .？=A A=（A/P，i，n）_资金回收系数资金回收系数 （capital recovery factor）(1+i)n-1i(1+i)n()AFiin=-11()FPin=1于是于是=P（A/P，i，n）i=(1+i)n-1A(1+i)n P 某工程项目一次投资某工程项目一次投资30000元，年利率元，年利率8%，分，分5年每年年年每年年末等额回收
16、，问每年至少回收多少才能收回全部投资末等额回收，问每年至少回收多少才能收回全部投资?A=P*（A/P，8%，5）=30000*0.2505 =7515（万元）（万元）某新工程项目欲投资某新工程项目欲投资200万元，工程万元，工程1年建成，生产经营年建成，生产经营期为期为9年，期末不计算余值。期望投资收益率为年，期末不计算余值。期望投资收益率为12，问每年，问每年至少应等额回收多少金额？至少应等额回收多少金额？023456789101PA0448.421877.0*120.1*200)9%,12,/)(1%,12,/(200=PAPFA 从现在起，若每年年末存入银行从现在起，若每年年末存入银行4
17、0元，连续存元，连续存7次，按次，按年复利利率年复利利率6%计，计，7年末可得多少？若是每年年头存入年末可得多少？若是每年年头存入40元，元，7年末可得多少？年末可得多少？0 1 2 3 4 5 n-1 nF (n-1)G (n-2)G 4G 3G G 2G 年P()1,/-niAF()2,/-niAFF=GGLG()2,/iAFG()1,/iAF=()()()()-iiGiiGiiGiiGnn11111111221L()-niiiGn11=等差分付终值系数等差分付终值系数（compound amount factor,arithmetic gradient）()）（niGFniiin,/11
18、1=-记记()niPF=1()()-=niiiGiPnn111()(),/(1112niGPGiiiniGPnn=-=即即 等差分付现值系数等差分付现值系数(arithmetic gradient to present worth)()(),/(1112niGPiiininn=-该公式是把等差支付系列换算成等额支付系列该公式是把等差支付系列换算成等额支付系列()AP A P i n=/,()PG P G i n=/,()()()()()()-=111111 ,/,/2nnnniiiiiiniGniPAniGPGA()()-=1111nniiiniG()(),/1111niGAiiininn（=
19、-等差分付年值系数等差分付年值系数（arithmetic gradient conversion factor）即即()(),/,/,/niGAGniPAniGPGA（=（P/A，i，n）等额分付现值系数计息期间的存款应放在期末，而计息期间的提款应放在期初。权，也不可能无偿放弃使用权。当实际问题的现金流量的时点没有交代清楚（未指明年后这位女孩可以得到多少钱？方法一：先求计息期实际利率，再进行复利计算（Present Worth Factor,Uniform Series）解：P1(PF，12%，5)1 0.0 1 2 3 10 年0 1 2 3 .每季复利一次，则季利率关键是现金流量的数学表达
20、。4G住房按揭贷款的名义利率i=5.在技术经济分析的实践中，有时计息周期是小于一年的，如季、半年、月、周、日等，这时根据支付周期与计息周期的关系可分为三种情况来进行分析。某厂第一年年末销售利润额为某厂第一年年末销售利润额为50万元，预测在以后万元，预测在以后4年年每年将递增每年将递增10万元，年利率为万元，年利率为10，如果换算成，如果换算成5年的等额年的等额支付系列，其年值是多少？支付系列，其年值是多少？()()101.685%,10,/1050,/1=GAniGAGAA 已知某机床售价已知某机床售价40000元，可使用元，可使用10年，不计算残值。据年，不计算残值。据估算第一年维修费为估算
21、第一年维修费为1000元，以后每年按元，以后每年按300元递增，元递增，i15，求该机床所耗费的全部费用的现值。，求该机床所耗费的全部费用的现值。0 1 2 3 8 9 10 年 1300 1600 3100 3400 370040000()()5011316.98*3005.019*100040000 5.019*3.383*3005.019*100040000 )10%,15,/)(10%,15,/(*019.5*100040000 10%,15,/10%,15,/40000=APGAGGPGAPAP0 1 2 3 4 n-1 n A A(1+g)A(1+g)2A(1+g)3 A(1+g)
22、n-2 A(1+g)n-10 1 2 3 .按时间顺序构成的动态序量方法三：先求支付周期的实际利率，再以支付期为基础进行复利计算：(n-2)G=（A/P，i，n）_资金回收系数销售收入、税金在期末。现金流入量：项目带来的各种收入，例如销售收入、利润等=A（F/A，i，n）已知某机床售价40000元，可使用10年，不计算残值。F=P（1+i）n=P（F/P，i，n）方法一：先求计息期实际利率，再进行复利计算现金流出量：项目所需的各种费用，例如投资、成本等0 1 2 3 10 年现金流公式：现金流公式：()11-=ttgAA t=1,n 其中其中g为现金流周期增减率为现金流周期增减率经推导，现值公
23、式为：经推导，现值公式为：()()-=-giigAPnn111gi gi=PnAi=1()(),/(111nigAPgiignn=-记记等比分付现值系数等比分付现值系数（geometric gradient to present worth）复利公式：复利公式：()()()()-=-giigiAiPFnnnn11111()()(),/1111nigAFgiiginnn，（=-记记 某厂投入某厂投入32000元增添一套生产设备，预计第一年产品销元增添一套生产设备，预计第一年产品销售额可增加售额可增加20000元，以后逐年年收入增加率为元，以后逐年年收入增加率为7，计划将，计划将每年收入的每年收入
24、的10按年利率按年利率5存入银行，问存入银行，问10年后这笔存款可年后这笔存款可否换回一套新设备？否换回一套新设备？0 1 2 3 10 年2000 2000(1+0.07)2000(1+0.07)9()()()02.2076607.005.005.0107.011200010%,5%,7,/20001010=-=-APP()FFP=20766025%,103382566./,.32000所以所以10年后可以换一台新设备年后可以换一台新设备 在技术经济分析的实践中，有时在技术经济分析的实践中，有时计息周期计息周期是是小于一年小于一年的，如季、半年、月、周、日的，如季、半年、月、周、日等，这时根
25、据等，这时根据支付周期支付周期与与计息周期计息周期的关系可分为三种情况来进行分析。的关系可分为三种情况来进行分析。计息周期：某时间计息一次，表明计息且付息，即按复利计算计息周期：某时间计息一次，表明计息且付息，即按复利计算支付周期：指现金流量的发生周期，亦称支付期。支付周期：指现金流量的发生周期，亦称支付期。（一）计息周期等于支付期的情况（一）计息周期等于支付期的情况 设年利率设年利率12，每季计息一次，从现在起三年内以每季，每季计息一次，从现在起三年内以每季末末200元的等额值收入，问与其等值的终值是多少。元的等额值收入，问与其等值的终值是多少。irm=0124003.（次）1234=n计息
26、周期利率计息周期利率计息期数计息期数0 1 2 3 4 8 12（季度）1年 2年 3年200()()4.283812%,3,/200,/=AFniAFAF（二）计息期小于支付期的情况（二）计息期小于支付期的情况 某人每半年存入银行某人每半年存入银行500500元，共三年，年利率元，共三年，年利率8 8，每季，每季复利一次，试问复利一次，试问3 3年底他的帐户总额。年底他的帐户总额。0 1 2 3 4 5 6（半年）5000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12（季）0 1 2 3 10 年经推导，现值公式为：=905（万元）从现在起，若每年年末存入银行40元，连续存7次，按0
27、4%，每年计息12次=F（A/F，i，n）=（A/P，i，n）_资金回收系数=905（万元）方法二：把每个支付周期期末发生的现金流换算为以计息期为基础的等额系列，再求复利和末等额回收，问每年至少回收多少才能收回全部投资?A(1+g)n-2资金等值：在同一系统中不同时点发生的相关资金，数额不等但价值相等，这一现象即资金等值。关键是现金流量的数学表达。为什么资金有时间价值？某新工程项目欲投资200万元，工程1年建成，生产经营期为9年，期末不计算余值。方法一：先求计息期实际利率，再进行复利计算方法一：先求计息期实际利率，再进行复利计算 计息周期总数为计息周期总数为12（季）（季）%24%8=季i()
28、()()()()（元）8.33195002%,2,/500 4%,2,/5006%,2,/5008%,2,/50010%,2,/500=PFPFPFPFPFF每季复利一次，则季利率每季复利一次，则季利率方法二：把每个支付周期期末发生的现金流换算为以计息期方法二：把每个支付周期期末发生的现金流换算为以计息期为基础的等额系列，再求复利和为基础的等额系列，再求复利和()（元）季53.2472%,2,/500=FAA()（元）8.331912%,2,/53.247=AFF方法三：先求支付周期的实际利率，再以支付期为基础进方法三：先求支付周期的实际利率，再以支付期为基础进行复利计算：行复利计算：()%0
29、4.41%212=-=i()（元）9.3319640.6*5006%,04.4,/500=AFF计息期间的计息期间的存款应放在期末存款应放在期末，而计息期间的，而计息期间的提款应放在期初提款应放在期初。例：每季度计息一次，年利率例：每季度计息一次，年利率8，求年底帐户总额。，求年底帐户总额。250400100存款存款提款提款1001000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12（月）（月）（三）计息期大于支付期的情况（三）计息期大于支付期的情况解：按上述原则，现金流量图可改画为解：按上述原则，现金流量图可改画为10025040010020001234季季度度300()()()()
30、()（元）3.262 1002%,2,/2503003%,2,/1004%,2,/200400=-=PFPFPFFmirmm=-11()()F P i nirmrmnmnmn/,=-=11111()F P r nenr/,=()P F r nenr/,=-()()11,/-=rnrnreeenrAP连续复利连续复利1.连续复利（公式）系数连续复利（公式）系数现金流是离散的，复利是连续的，即现金流是离散的，复利是连续的，即令令m则有则有同理同理0 1 2 3 8 9 10 年0412）12 1方法一：先求计息期实际利率，再进行复利计算期末、期初）时，有以下规定：投资在期初，经营费用和解：P1(P
31、F，12%，5)1 0.某新工程项目欲投资200万元，工程1年建成，生产经营期为9年，期末不计算余值。477 =369 250（元）有人目前借入2000元，在今后2年中分24次偿还。设年利率12，每季计息一次，从现在起三年内以每季末200元的等额值收入，问与其等值的终值是多少。一份遗书上规定有250 000元留给未成年的女儿，但是，此时现金流也是连续的，计算公式虽然较复杂，但在某些情况下，可能也是符合工程项目资金活动实际的。0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12（季）现金流出量：项目所需的各种费用，例如投资、成本等=（A/F，i，n）等额分付偿债基金系数关键是现金流量的数学表
32、达。此时现金流也是连续的，计算公式虽然较复杂，但在此时现金流也是连续的，计算公式虽然较复杂，但在某些情况下，可能也是符合工程项目资金活动实际的。关某些情况下，可能也是符合工程项目资金活动实际的。关键是现金流量的数学表达。键是现金流量的数学表达。2.连续现金流量的连续复利计算连续现金流量的连续复利计算 有人目前借入有人目前借入2000元，在今后元，在今后2年中分年中分24次偿还。每次偿次偿还。每次偿还还99.80元，复利按月计算，试求月实际利率、年名义利率和元，复利按月计算，试求月实际利率、年名义利率和年实际利率。年实际利率。()9980200024./,=A P i()A P i/,.249980200000499=即即 年实际利率年实际利率 ic=15%.r ic=12 18%irmm=-=-=111018121 1956%12.查表可得查表可得月实际利率月实际利率年名义利率年名义利率
