1、1 基本要求基本要求 换面法的基本概念换面法的基本概念 新投影面的选择原则新投影面的选择原则 点的投影变换点的投影变换 投影变换的六个基本问题投影变换的六个基本问题 掌握换面法的基本原理和投影变换规律掌握换面法的基本原理和投影变换规律；掌握用换面法求线段实长、平面图形实形以掌握用换面法求线段实长、平面图形实形以及它们对投影面的倾角的作图方法；及它们对投影面的倾角的作图方法；掌握用换面法解决一般空间几何元素间的定掌握用换面法解决一般空间几何元素间的定位和度量问题。位和度量问题。3当直线或平面相对于投影面处于一般位置时，它们的投影不反映真实形状，也不具有当直线或平面相对于投影面处于一般位置时，它们
2、的投影不反映真实形状，也不具有积聚性，但积聚性，但当它们相对于投影面处于特殊位置（平行或垂直）时，则其投影或反映真当它们相对于投影面处于特殊位置（平行或垂直）时，则其投影或反映真实形状（平行时）或具有积聚性（实形状（平行时）或具有积聚性（垂直时垂直时）。）。aabbaabbccddbaabccddaabbccaabb 线段实长线段实长aabbcc平面平面实形实形aabbccdd 直线与平面的交点直线与平面的交点abcdabcd 两平面夹角两平面夹角启示：当图解一般位置的直线、平面及其相互间的定位和度量问题时，若能将它们变启示：当图解一般位置的直线、平面及其相互间的定位和度量问题时，若能将它们变
3、成成特殊位置直线、平面，就有可能较容易地解决问题特殊位置直线、平面，就有可能较容易地解决问题。换面法便源于此。换面法便源于此。保持空间几何元素的位置不动，建立新的直角投影体保持空间几何元素的位置不动，建立新的直角投影体系，使几何元素在新投影面体系中处于有利解题的位系，使几何元素在新投影面体系中处于有利解题的位置，然后用正投影法获得几何元素的新投影。置，然后用正投影法获得几何元素的新投影。VAHCBc bX aabc V1X1c1 b1a15VAHCBc bX aabc V1X1c1 b1a1 新投影面必须新投影面必须垂直于某一个原有的投影面，以构成一垂直于某一个原有的投影面，以构成一个相互垂直
4、的两投影面新体系个相互垂直的两投影面新体系；新投影面对空间几何元素应处于有利于解题的位置新投影面对空间几何元素应处于有利于解题的位置。6VH XHX1V1a1 a Aaa1aXVHaX1HV1 点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴；点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴；点的新投影到新投影轴的距离等于被变换旧投影到旧投点的新投影到新投影轴的距离等于被变换旧投影到旧投影轴的距离。影轴的距离。7VHXH1X1X1H1Va1XVHaaa1aAa8VXHa2aaa1XVHX1HV1V1X1X2H2V1H2X2a2a1aAa 必须注意投影面要交替进行更换必须注意投影面要交替进行更换9投影变
5、换的投影变换的 将一般位置直线变为将一般位置直线变为投影面平行线投影面平行线 将将投影面平行线投影面平行线变为变为投影面垂直线投影面垂直线 将将一般位置直线一般位置直线变为变为投影面垂直线投影面垂直线 将一般位置平将一般位置平面面变为变为投影面垂直面投影面垂直面 将将投影面垂直面投影面垂直面变为变为投影面平行面投影面平行面 将一般位置平将一般位置平面面变为变为投影面平行面投影面平行面10VHXA aBb a bV1X1 a1 b1a1b1 X1V1H ba b aXVH新投影轴新投影轴X1必须平行于必须平行于ab,但和但和ab间距的距离可以任意选取。间距的距离可以任意选取。11babaXHVX
6、1H1Va1b1将一般位置直线变为将一般位置直线变为投影面平行线：水平线投影面平行线：水平线 12VHXaAabBbH1X1X1H1Va1b1XVHaaa1bb13XHaAa b bBVV1X1H2a2 b2 a1 b114XH2V1a aXVHb ba2 b2XHV1a1 b1 一般位置直线一般位置直线变为变为投影面垂直投影面垂直线线，需更换两次投影。第一次把一，需更换两次投影。第一次把一般位置直线变为投影面般位置直线变为投影面V1的平行线；的平行线；第二次再把投影面平行线变为投影第二次再把投影面平行线变为投影面面H2的垂直线。的垂直线。15aaX b bccXH2V1aaXVHbba2 b
7、2XHV1a1b1提示16aaXbb cdcdXH2V1aaXVHbba2 b2XHV1a1b1V提示17X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b1a1d1c1112121babdcaXVHdc211222H218a cXVHbb ac VH Xcba bCA cBa ddDX1H1a1c1b1 d1 dX1H1V db1 a1c1d1 一般位置直线一般位置直线变为变为投影面垂直线投影面垂直线，需更换两次投，需更换两次投影。影。把投影面平行线变为投影面垂直线只需更换一次把投影面平行线变为投影面垂直线只需更换一次投影面投影面。因此，任取一条投影面平行线。因此，任取一条投影面平行线(正平线正平线)
8、为辅助为辅助线，取与它垂直的线，取与它垂直的H1面为新投影面，三角形也就和新面为新投影面，三角形也就和新投影面垂直。投影面垂直。19k1X1H1Vb1a1c1 d1s1acb ba c ddss20a c b bac enken ddX1VH1b1a1c1d1k1ke121HXVCAcbaBX1V1c1b1a1V1c1b1a1X122a1c1b1X1bca b acXVH a cbXX1V1c1 b1a1b ca23a cXVHbbac d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H1 若取新投影面平行若取新投影面平行于一般平面，可以反映于一般平面，可以反映实形，但是新投影面也实
9、形，但是新投影面也为一般平面。为一般平面。第一次把一般平面变为投影面第一次把一般平面变为投影面垂直面。第二次再把投影面垂直面垂直面。第二次再把投影面垂直面变为投影平行面。变为投影平行面。24a cXVHbbac d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H11515eee1e225XOZY两点的相对位置两点中两点中X 值大值大的点的点：在左：在左两点中两点中Y 值大值大的点：的点：在前在前两点中两点中Z 值大值大的点：的点：在上在上a a ab b bXZYWYHOaa ab bb BA例题例题2 已知已知A点在点在B点之前点之前5毫米，之上毫米，之上9毫米，之右毫米，之右8毫
10、米，求毫米，求A点的投影。点的投影。a a aXZYWYHOb bb 98527ABbbaaCXO2、求线段的实长及对正立投影面的倾角、求线段的实长及对正立投影面的倾角|YA-YB|aXabbabABABab|YA-YB|YA-YB|AB|YA-YB|用哪个投影面的投影作为一直角边，另一直角边为线段两端点离该投影面的距离差。28直线上的点具有两个特性：直线上的点具有两个特性：1.从属性：从属性：若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直
11、线上。直线上。2.定比性：定比性：从属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。从属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即：即：A C:C B=a c:c b=a c :c b =a c :c b。利用这一特性，利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。否在侧平线上。直线上的点的投影特性直线上的点的投影特性ABbbaaXOccCc29例题例题3 已知点已知点C的水平投影且其在线段的水平投影且其在线段AB上，求上，求点点C的正面投影。的正面投影。bXabacccbacXOABbbaacCcHV30
12、四、交叉两直线上重影点的可见性四、交叉两直线上重影点的可见性XOBDACbb aa c cdd(3)4 1(2)43341 2 12判断重影点的可见性判断重影点的可见性时，需要看重影点在时，需要看重影点在另一投影面上的投影，另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可坐标值大的点投影可见，反之不可见，不见，反之不可见，不可见点的投影加括号可见点的投影加括号表示。表示。31例题例题6 判断两直线的相对位置。判断两直线的相对位置。baacddcbX11d1c132例题例题7 7 判断两直线重影点的可见性。判断两直线重影点的可见性。bbcddcXaa3(4)34121(2)33一、两直线平行一、两直线平行1、两平行直线在同面投影上的投影仍平行。反之，若两一般直线、两平行直线在同面投影上的投影仍平行。反之，若两一般直线在两个同面投影上的投影相互平行，则该两直线平行；当两直线为在两个同面投影上的投影相互平行，则该两直线平行；当两直线为投影面平行线时，判断两直线是否平行要观察第三个同面投影。投影面平行线时，判断两直线是否平行要观察第三个同面投影。2、平行两线段之比等于其投影之比、平行两线段之比等于其投影之比(两直线共面为前提两直线共面为前提)。XbaadbbccXbaabdcdcABCD34
