1、 F1F2F3F1F3F2F1F2F3F4FRFR1FR2(a)(b)(C)(d)图21 平面汇交力系合成的几何法AAabcdedcF1bF2aF3F4FReF4FRF4F4平面汇交力系合成的几何法平面汇交力系合成的几何法 多边形多边形abcde称为此平面汇交力系的称为此平面汇交力系的力多边形力多边形 求合力矢的几何作图法称为求合力矢的几何作图法称为力多边形法则力多边形法则 矢量矢量 称为此力多边形的称为此力多边形的封闭边封闭边 ae F1F2F3F1F3F2F1F2F3F4FRFR1FR2(a)(b)(C)(d)图21 平面汇交力系合成的几何法AAabcdedcF1bF2aF3F4FReF4
2、FRF4F4F1F2F3F1F3F2F1F2F3F4FRFR1FR2(a)(b)(C)(d)图21 平面汇交力系合成的几何法AAabcdedcF1bF2aF3F4FReF4FRF4F4F1F2F3F1F3F2F1F2F3F4FRFR1FR2(a)(b)(C)(d)图21 平面汇交力系合成的几何法AAabcdedcF1bF2aF3F4FReF4FRF4F42.12.1平面汇交力系合成与平衡平面汇交力系合成与平衡 必须注意必须注意:2.若改变各分力矢的合成次序，则绘出的若改变各分力矢的合成次序，则绘出的力多边形的形状亦会随之改变，但不会影响力多边形的形状亦会随之改变，但不会影响合力合力FR的大小和
3、方向。的大小和方向。1.力多边形中各分力矢量首尾相接沿着同力多边形中各分力矢量首尾相接沿着同一方向环绕力多边形。由此组成的力多边形一方向环绕力多边形。由此组成的力多边形abcde有一缺口，故为不封闭的力多边形，而有一缺口，故为不封闭的力多边形，而合力矢则沿相反方向连接此缺口，构成力多合力矢则沿相反方向连接此缺口，构成力多边形的封闭边。边形的封闭边。结论结论：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于各分力的矢量和（几何和），合小与方向等于各分力的矢量和（几何和），合力的作用线通过力系的汇交点力的作用线通过力系的汇交点。R121nniiFFFFF可简
4、写为可简写为 1niiFF2.1.2平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的必要和充分的几何条件平面汇交力系平衡的必要和充分的几何条件是：力系的力多边形自行封闭。是：力系的力多边形自行封闭。平面汇交力系平衡的充分和必要条件是力平面汇交力系平衡的充分和必要条件是力系的合力矢等于零。或力系中各力矢的矢量系的合力矢等于零。或力系中各力矢的矢量和等于零，即和等于零，即0F例例 支架的横梁支架的横梁AB与斜杆与斜杆DC彼此以铰链彼此以铰链C相联接，并相联接，并各以铰链各以铰链A、D连接于铅直墙上。如图所示。已知连接于铅直墙上。如图所示。已知ACCB；杆杆DC与水平线夹与水
5、平线夹4545角；角；荷载荷载Fp=10kN，作作用于用于B处。梁和杆的重量忽略不计，求铰链处。梁和杆的重量忽略不计，求铰链A的约束反的约束反力和杆力和杆DC所受的力。所受的力。ACBD45a)ACBEFA45FDFCCDb)abd45c)abdd)0510(N)比例尺FPFAFAFCFCFCFPFPFP量得：量得：FC=28.3 kN FA=22.4 kNACBD45a)ACBEFA45FDFCCDb)abd45c)abdd)0510(N)比例尺FPFAFAFCFCFCFPFPFP解：选取横梁解：选取横梁AB为研究对象为研究对象 ACBD45a)ACBEFA45FDFCCDb)abd45c)
6、abdd)0510(N)比例尺FPFAFAFCFCFCFPFPFPACBD45a)ACBEFA45FDFCCDb)abd45c)abdd)0510(N)比例尺FPFAFAFCFCFCFPFPFPACBD45a)ACBEFA45FDFCCDb)abd45c)abdd)0510(N)比例尺FPFAFAFCFCFCFPFPFPACBD45a)ACBEFA45FDFCCDb)abd45c)abdd)0510(N)比例尺FPFAFAFCFCFCFPFPFP平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法 2.2.12.2.1力在直角坐标轴上的投影与力的解析表达式力在直角坐标轴上的投影与力的解
7、析表达式FxFyOyxFxFyAFBijOFxxyAFBjicoscosxyFFFF 力在轴上的投影为代数量力在轴上的投影为代数量,当力与投影轴当力与投影轴正正向向间夹角为锐角时，其值为正；夹角为钝角间夹角为锐角时，其值为正；夹角为钝角时，其值为负。时，其值为负。FxFyOyxFxFyAFBijOFxxyAFBjicosxFF 9例例 试用解析法求作用在图示支架上点试用解析法求作用在图示支架上点O的三个力的三个力的合力的大小和方向。的合力的大小和方向。OF1=600NF2=700NF3=500N6011yxFR解解：建立直角坐标系：建立直角坐标系Oxy求合力求合力FR在坐标轴上的投影在坐标轴上
8、的投影 R12R123cos45cos30600 cos45700 cos30N1030Nsin45sin30600 sin45700 sin30500 N426NxixyiyFFFFFFFFF 2.2.2 平面汇交力系合成的解析法平面汇交力系合成的解析法R12R123cos45cos30600 cos45700 cos30N1030Nsin45sin30600 sin45700 sin30500 N426NxixyiyFFFFFFFFF OF1=600NF2=700NF3=500N6011yxFR合力的大小为合力的大小为:2222RRR1030426N1115NxyFFF 合力方向合力方向:
9、RR426tan0.4136103022.5yxFF2.2.3 2.2.3 平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力矢合力矢FR等于零。等于零。合力合力FR等于零，必须有等于零，必须有FRx0、FRy0，即即00ixiyFF 用解析式表示的平面汇交力系平衡的必要和充用解析式表示的平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在力系作用面内两个坐标轴上投分条件是：各力在力系作用面内两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。影的代数和分别等于零。平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程注意注意：利用平衡方程求解平
10、衡问题时，受力图中：利用平衡方程求解平衡问题时，受力图中的未知力的指向可以任意假设。若计算结果为正的未知力的指向可以任意假设。若计算结果为正值，表示假设的指向就是实际的指向；若计算结值，表示假设的指向就是实际的指向；若计算结果为负值，表示假设的指向与实际指向相反。果为负值，表示假设的指向与实际指向相反。解题的步骤解题的步骤：(1)选取研究对象选取研究对象 (2)画研究对象受力图画研究对象受力图(3)选投影轴，建立平衡方程选投影轴，建立平衡方程(4)求解未知量求解未知量 例例 图为井架起重装置。重物通过卷扬机图为井架起重装置。重物通过卷扬机D由绕过滑轮由绕过滑轮B的的钢索起吊。设重物钢索起吊。设
11、重物E重重FP=20kN，起重臂的重量、滑轮的起重臂的重量、滑轮的大小和重量以及钢索的重量均不计。试求当重物大小和重量以及钢索的重量均不计。试求当重物E匀速上匀速上升时起重臂升时起重臂AB和杆件和杆件BC所受的力。所受的力。AEBCD601530ExyBFBAFTBDFBC30301515FP解解：取滑轮：取滑轮B连同重物连同重物E一起为研究对象一起为研究对象AEBCD601530ExyBFBAFTBDFBC30301515FP取投影轴取投影轴x沿沿CB方向，方向，y轴垂直于轴垂直于FBCP=0 cos60cos75 cos30=0yBATBDFFFFP0 cos15+sin60sin30=0
12、 xBCTBDBAFFFFF=45.0 kNBAF=9.65 kNBCF算出算出FBA和和FBC均为正值，说明图中所均为正值，说明图中所画力画力FBA、FBC的方向正确。由作用与的方向正确。由作用与反作用定律知，起重臂受压力为反作用定律知，起重臂受压力为45.0 kN，BC杆受拉力为杆受拉力为9.65 kN。4530OABCDF1F2F3F4F2F4F3Oxy3045F1例例 桁架接头，由四根角钢材料铆接在连接板上而成。桁架接头，由四根角钢材料铆接在连接板上而成。这四根杆件的轴线汇交于这四根杆件的轴线汇交于O点，作用在杆件点，作用在杆件2和和4上的上的力分别为力分别为F24kN，F42kN，求
13、在平衡状态下，作用求在平衡状态下，作用在杆件在杆件1和和3上的力上的力F1、F3的值。的值。解解：以接头为研究对象：以接头为研究对象,设设1 1、3 3杆受拉。杆受拉。4530OABCDF1F2F3F4F2F4F3Oxy3045F1230 sin30+sin45=0yFFF3=2.84 kNF12340 +cos30 cos45=0 xFF FFF1=3.46 kNFF1和和F3均为负值，说明实际力均为负值，说明实际力F1和和F3的指向与的指向与所假设的方向相反，所假设的方向相反，1、3两杆均受压力作用。两杆均受压力作用。平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡 2.3.1 2.3.1 力
14、对点力对点的的矩的概念与计算矩的概念与计算 OFh力对点的矩可以用来度量力使物体绕点转动的效应。力对点的矩可以用来度量力使物体绕点转动的效应。力对点的矩是一个代数量，它的绝对值等于力力对点的矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小的大小F 与力臂与力臂h的乘积，力使物体绕矩心逆时的乘积，力使物体绕矩心逆时针转向转动时取为正值，反之取为负值针转向转动时取为正值，反之取为负值。MO(F)Fh力矩的单位常用力矩的单位常用Nm或或kNm 记为：记为：力矩性质力矩性质（1）力）力F对点对点O的矩，不仅决定于力的大小，同时与的矩，不仅决定于力的大小，同时与矩心的位置有关。矩心的位置不同，力矩随之而异。矩心的
15、位置有关。矩心的位置不同，力矩随之而异。（3）力的大小等于零，或力的作用线通过矩心（即力力的大小等于零，或力的作用线通过矩心（即力臂臂h=0），），则力矩等于零。则力矩等于零。（4）相互平衡的两个力对同一点的矩的代数和等于零。）相互平衡的两个力对同一点的矩的代数和等于零。（2）力力F沿其作用线移动，不改变它对点的矩。沿其作用线移动，不改变它对点的矩。2.3.2 2.3.2 合力矩定理合力矩定理 合力矩定理合力矩定理：平面汇交力系的合力对于平面：平面汇交力系的合力对于平面内任一点的矩等于其分力对于同一点之矩的内任一点的矩等于其分力对于同一点之矩的代数和代数和。R121nOOOOnOiiMMMMM
16、FFFFFROOMMFF即：即：简写为：简写为：例例 图示挡土墙每图示挡土墙每1m长所长所受土压力的合力为受土压力的合力为FR，它它的大小为的大小为FR=150kN，方方向如图示。求土压力向如图示。求土压力FR使使墙倾覆的力矩。墙倾覆的力矩。30AF1F2FRda=2mb=1.5m解：土压力解：土压力FR可使挡土墙绕墙趾可使挡土墙绕墙趾A点倾覆，故求点倾覆，故求FR使墙倾覆的力矩，就是求使墙倾覆的力矩，就是求FR对对A点的力矩。点的力矩。30AF1F2FRda=2mb=1.5mR1212AAAMMMFaF bFFF150cos302 150sin301.5 kN m 147.3kN m例例 重
17、力坝受力情况如图。已知重力坝受力情况如图。已知F1400kN，F280kN，F3450kN，F4200kN。试验算在此情况试验算在此情况下重力坝会不会绕下重力坝会不会绕A点倾覆。点倾覆。1.5m1.8m0.6m5.7m2.8m3m9mAF2F1F3F4解解：F1是使重力坝绕是使重力坝绕A点倾覆的力，它对点倾覆的力，它对A点产生的力点产生的力矩是倾覆力矩；而阻止重力坝倾覆的力是矩是倾覆力矩；而阻止重力坝倾覆的力是F2、F3、F4，它们对它们对A点产生的力矩是抗倾覆力矩。点产生的力矩是抗倾覆力矩。1.5m1.8m0.6m5.7m2.8m3m9mAF2F1F3F45.73tan0.3916.7倾覆力
18、矩为倾覆力矩为 112.81120kN mAMF F1.5m1.8m0.6m5.7m2.8m3m9mAF2F1F3F4抗倾覆力矩为抗倾覆力矩为 2342340.6,5.7 1.51.82300kN mcosAMFFFF F F 抗倾覆力矩大于倾覆力矩的绝对值，重力坝不会倾覆。抗倾覆力矩大于倾覆力矩的绝对值，重力坝不会倾覆。倾覆力矩倾覆力矩11120kN mAM F2342340.6,5.7 1.51.82300kN mcosAMFFFF F F2342340.6,5.7 1.51.82300kN mcosAMFFFF F F力偶力偶:大小相等、方向相反、作用线平行的一对力大小相等、方向相反、作
19、用线平行的一对力力偶与力偶矩力偶与力偶矩记作：记作：(F、F)FF图213 力偶转动方向盘FF 图214 丝锥攻螺纹FFdAB图215 力偶 由于力偶中的两个力的矢量和等于零，因而力由于力偶中的两个力的矢量和等于零，因而力偶不可能使物体产生移动效应，又因为力偶中的两偶不可能使物体产生移动效应，又因为力偶中的两力不共线，所以也不能相互平衡。这样的两个力可力不共线，所以也不能相互平衡。这样的两个力可以使物体产生纯转动效应。以使物体产生纯转动效应。FFdAB图215 力偶力偶作用面：力偶作用面：力偶臂：力偶臂：力偶中两个力作用线所决定的平面力偶中两个力作用线所决定的平面力偶中两个力作用线之间的距离力
20、偶中两个力作用线之间的距离 力偶使物体转动的效应，取决于力偶的两个反向力偶使物体转动的效应，取决于力偶的两个反向平行力和力偶臂的大小以及力偶的转向。平行力和力偶臂的大小以及力偶的转向。在平面力系问题中，力偶在力系作用面内的在平面力系问题中，力偶在力系作用面内的转向不是逆时针方向就是顺时针方向，因而可转向不是逆时针方向就是顺时针方向，因而可以把力偶中的力的大小以把力偶中的力的大小F与力偶臂与力偶臂d的乘积加上的乘积加上适当的正负号作为度量力偶对物体转动效应的适当的正负号作为度量力偶对物体转动效应的物理量，称为物理量，称为力偶矩。力偶矩。记为记为:或或 M 表示，即表示，即 、M F F9、MMF
21、d FF9通常规定，力偶逆时针旋转时，力偶矩为正；通常规定，力偶逆时针旋转时，力偶矩为正；反之为负。反之为负。力偶的简明表示力偶的简明表示:FFdMFdFMFFdMFdFM力偶矩的单位和力矩的单位相同力偶矩的单位和力矩的单位相同:Nm或或kNm。在平面力系问题中，力偶矩是一个代数量。在平面力系问题中，力偶矩是一个代数量。FFdMFdFMFFdMFdFM2.4.2 2.4.2 力偶的基本性质力偶的基本性质 1.1.力偶没有合力，既不能与一个力等效也力偶没有合力，既不能与一个力等效也不能与一个力相平衡。不能与一个力相平衡。2.2.力偶对其作用面内任一点之矩恒等于力力偶对其作用面内任一点之矩恒等于力
22、偶矩，而与矩心位置无关。偶矩，而与矩心位置无关。3.3.在同一平面内的两个力偶，如果它们的在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，力偶的转向相同，则这两个力偶矩大小相等，力偶的转向相同，则这两个力偶是等效的。称为力偶的等效性。力偶是等效的。称为力偶的等效性。dFABFOx证明：证明：设有一力偶作用在物体上，其力偶矩为设有一力偶作用在物体上，其力偶矩为MFd 在力偶的作用面内任取一点在力偶的作用面内任取一点O为矩心，则力偶的两为矩心，则力偶的两个力对个力对O点之矩的代数和为点之矩的代数和为 ,OMF dxF xFdMF F99此值即等于力偶矩此值即等于力偶矩根据力偶的等效性，可得出两个
23、推论根据力偶的等效性，可得出两个推论:推论推论1 1：力偶可在其作用面内任意移动，而不：力偶可在其作用面内任意移动，而不改变它对刚体的转动效应。即力偶对刚体的改变它对刚体的转动效应。即力偶对刚体的转动效应与其在作用面内的具体位置无关。转动效应与其在作用面内的具体位置无关。推论推论2 2：在保持力偶矩大小和转向不变的情况：在保持力偶矩大小和转向不变的情况下，可任意改变力偶中力的大小和力偶臂的长下，可任意改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，不会改变它对刚体的转动效应。短，不会改变它对刚体的转动效应。平面力偶系的合成和平衡条件平面力偶系的合成和平衡条件 平面力偶系平面力偶系:作用在物体上同一平面内的一
24、作用在物体上同一平面内的一群力偶群力偶1平面力偶系的合成平面力偶系的合成 设有三个力偶设有三个力偶(Fl，F1)、(F2，F2)、(F3，F3)作用在刚体的同一平面内，其力偶矩分别为作用在刚体的同一平面内，其力偶矩分别为MlFldl、M2F2d2、M3F3d3 F1d1F1d2F2d3F3F3FFFFFdBAFABdFFF2 在力偶作用面内任意取一线段在力偶作用面内任意取一线段AB,并且令并且令ABd，将将各力偶在作用面内移转，使它们的力偶臂都与各力偶在作用面内移转，使它们的力偶臂都与AB重合，重合，于是得到与原力偶系等效的三个新力偶于是得到与原力偶系等效的三个新力偶(F F，F F)、(F
25、F，F F)和和(F F，F F)。而力而力F F、F F、F F的大小为的大小为 MMMFFFddd123=F1d1F1d2F2d3F3F3FFFFFdBAFABdFFF2F1d1F1d2F2d3F3F3FFFFFdBAFABdFFF2F1d1F1d2F2d3F3F3FFFFFdBAFABdFFF2设设FFF FFFFFFFF9999F1d1F1d2F2d3F3F3FFFFFdBAFABdFFF2 F与与F大小相等，方向相反，作用线平行而不重合，大小相等，方向相反，作用线平行而不重合，所以构成了与原力偶系等效的合力偶所以构成了与原力偶系等效的合力偶 F1d1F1d2F2d3F3F3FFFFF
26、dBAFABdFFF2合力偶的矩为合力偶的矩为 MFdFFFdFdF dF d即即 123MMMM结论结论：平面力偶系可以合成为一个合力偶，合：平面力偶系可以合成为一个合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和力偶矩等于各分力偶矩的代数和。121nniiMMMMML2 2平面力偶系的平衡平面力偶系的平衡 平面力偶系平衡的必要与充分条件是：力平面力偶系平衡的必要与充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零。偶系中各力偶矩的代数和等于零。0M 平面力偶系的平衡方程平面力偶系的平衡方程例例 如图所示，在物体的某平面内受到三个力偶作用。如图所示，在物体的某平面内受到三个力偶作用。已知已知Fl300N，F2
27、600N，Me100Nm，求其合成求其合成结果。结果。F2F2F1F1Me0.25m30601m解解：由平面力偶系的合成结果可知此三个力偶合成的：由平面力偶系的合成结果可知此三个力偶合成的结果是一个合力偶。结果是一个合力偶。F2F2F1F1Me0.25m30601m11 1(300 1)N m300N mMFd2220.25(600)N m300N msin30MF d3100N meMM 合力偶矩大小为合力偶矩大小为 123300300 100 N m500N mMMMM11 1(300 1)N m300N mMFd2220.25(600)N m300N msin30MF d3100N me
28、MM 转向为逆时针方向，与原力偶系共面。转向为逆时针方向，与原力偶系共面。123300300 100 N m500N mMMMM例例 不计重量的水平杆不计重量的水平杆AB，受到固定铰支座受到固定铰支座A和连杆和连杆DC的约束，如图所示。在杆的约束，如图所示。在杆AB的的B端有一力偶端有一力偶(F、F)作作用，其力偶矩的大小为用，其力偶矩的大小为 。求固定铰支座。求固定铰支座A的反力的反力FA和连杆和连杆DC的反力的反力FDC。100N mM 30ABCDFFE0.5mFACEBFFDCFA30解解：以杆：以杆AB为研究对象为研究对象 30ABCDFFE0.5mFACEBFFDCFA30sin300.25mAEACo由平面力偶系的平衡条件，有由平面力偶系的平衡条件，有 0M 0AMFAE100()N400N0.25AMFAE400NDCAFF
