1、第四章第四章 电路的暂态分析电路的暂态分析 4.1 电路的暂态过程和换路定理电路的暂态过程和换路定理 4.2 RC电路的响应电路的响应 4.3 RL电路的响应电路的响应 4.4 一阶线性电路瞬态分析的三要素法一阶线性电路瞬态分析的三要素法 稳定状态：稳定状态：在指定条件下电路中电压、电流已达到稳定值。在指定条件下电路中电压、电流已达到稳定值。4.1 电路的暂态过程和换路定理电路的暂态过程和换路定理1.暂态过程暂态过程 含有电容、电感等储能元件的电路称为含有电容、电感等储能元件的电路称为“动态电动态电路路”。这种电路的结构或元件的参数发生变化时，。这种电路的结构或元件的参数发生变化时，可能使电路
2、改变原来的工作状态，转变到另一个可能使电路改变原来的工作状态，转变到另一个工作状态。这种转变往往需要经历一个过程，把工作状态。这种转变往往需要经历一个过程，把这个过程称为这个过程称为暂态过程暂态过程。0t 0t 0t 设：设：t=0 表示换路瞬间表示换路瞬间(定为计时起点定为计时起点)t=0-表示换路前的终了瞬间表示换路前的终了瞬间 t=0+表示换路后的初始瞬间（初始值）表示换路后的初始瞬间（初始值）()()0CCUtUt01()tctidc+对任意时刻t，线性电容的电压和电荷可表示为0()()()0tccctqtqtid其中qc、Uc、ic分别为电容的电荷、电压和电流，0t 0t 设，则有
3、001(0)(0)()CCcUUidC00(0)(0)()CCcqqid 如果在0-到0+的瞬间，电流ic(t)为有限值，则上式右端的积分项为零，此时电容上的电压和电荷都不发生跃变。即0()Cit(0)(0)CCUU(0)(0)CCqq0t 0q(0)Lu000CCUUU0t 000CCUU对于一个在储存电荷为、电压为的电容，在换路瞬间不发生跃变的情况下，有对于一个在不带电荷的电容，可见在换路的瞬间电容可视为一个电压为0U的电压源电压源。同理，若换路瞬间电感两端的电压为有限值，则电感的磁通链和电流不发生跃变。(0)(0)LL(0)(0)LLii0t 0I0(0)(0)LLiiI(0)(0)0L
4、Lii对于一个在时刻电流为的电感，换路瞬间，若在时刻电感的电流为零。则 故在换路的瞬间电感可视为一个电流等于I0的电流源电流源。0t L储能：储能：221LLLiW 不能突变不能突变Cu不能突变Li C 储能：储能：221CCCuW 由于物体所具有的能量不能跃变而造成由于物体所具有的能量不能跃变而造成若若cu发生突变，发生突变，dtduiCC不可能！不可能！一般电路一般电路则则)0()0(CCuu注：换路定理仅用于换路瞬间来确定暂态过程中注：换路定理仅用于换路瞬间来确定暂态过程中 uC、iL初始值。初始值。设：设：t=0 表示换路瞬间表示换路瞬间(定为计时起点定为计时起点)t=0-表示换路前的
5、终了瞬间表示换路前的终了瞬间 t=0+表示换路后的初始瞬间（初始值）表示换路后的初始瞬间（初始值）)0()0(LL 例例 已知已知 iL(0 )=0，uC(0 )=0，试求，试求 S 闭合瞬间，电路中各电压、电流的初始值。闭合瞬间，电路中各电压、电流的初始值。t=0+时的等效电路为时的等效电路为uC(0+)=uC(0)=0i1(0+)=iC(0+)=iL(0+)=iL(0)=0UR1R1u1(0+)=i1(0+)=Uu2(0+)=0uL(0+)=U 解解 根据换路定则及已知根据换路定则及已知条件可知，条件可知，iL(0+)=iL(0)=0电路中各电压电流的初始值为电路中各电压电流的初始值为SC
6、R2R1t=0+ULuC(0+)u2(0+)R2R1iL(0+)uL(0+)iC(0+)u1(0+)i1(0+)+U+1.经典法经典法:根据激励根据激励(电源电压或电流电源电压或电流)，通过求解，通过求解电路的微分方程得出电路的响应电路的微分方程得出电路的响应(电压和电流电压和电流)。2.三要素法三要素法初始值初始值稳态值稳态值时间常数时间常数求求（三要素）（三要素）代入上式得代入上式得0dd CCutuRCtuCCCdd RuR 换路前电路已处稳态换路前电路已处稳态 UuC )0(t=0时开关时开关,电容电容C 经电阻经电阻R 放电放电1S 一阶线性常系数一阶线性常系数 齐次微分方程齐次微分
7、方程(1)列列 KVL方程方程0 CRuu1.电容电压电容电压 uC 的变化规律的变化规律(t 0)4.2.1 零输入响应零输入响应:无电源激励无电源激励,输入信号为零输入信号为零,仅由电容元件的仅由电容元件的初始储能所产生的电路的响应。初始储能所产生的电路的响应。UuC )0(+-SRU21+CiCu0 tRu+cRCP1 0dd CCutuRC01 RCP特征方程特征方程RCtAuC e可可得得时时，根根据据换换路路定定则则,)0()0(UutC UA RCtUuC e齐次微分方程的通解：齐次微分方程的通解：0)0(e tCu tptAuCe:通通解解电阻电压：电阻电压：RCtURiuCR
8、 eRCtRUtuCiCC edd放电电流放电电流RCtUuC e CuCiRu3.、CiCutORu(2)物理意义物理意义RC令令:(1)量纲量纲sVAs UUuC008.36e1 t当当 时时RCtUtuC e)(008.36 时间常数时间常数等于电压等于电压Cu衰减到初始值衰减到初始值U0 的的所需的时间。所需的时间。0.368U23Cu 1URC tRCtUUuC ee321 t0uc当当0Cu t0Cu)53(t Cu0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U 2 3 4 6 51e 2e 3e 4e 5e 6e t e t e零状态响应零状态
9、响应:储能元件的初储能元件的初始能量为零，始能量为零，仅由电源激励仅由电源激励所产生的电路的响应。所产生的电路的响应。000tUtuuC(0-)=0sRU+_C+_i0 tuCUtu阶跃电压阶跃电压OUutuRCCC dd一阶线性常系数一阶线性常系数非齐次微分方程非齐次微分方程UuuCR CCCuutu)(即即1.uC的变化规律的变化规律(1)列列 KVL方程方程uC(0-)=0sRU+_C+_i0tuc求特解求特解 ：CuUutuRCCC ddUuUKC即即：解解得得：KdtdKRCUKuC ,代代入入方方程程设设：RCtCCCAeUuuu UutuCC)()(Cu tAUuuuCCC e0
10、dd CCutuRC通解即：通解即：的解的解）（令令RC Cu求特解求特解-RCtptAAuC ee其其解解：0)0(Cu根据换路定则在根据换路定则在 t=0+时，时，UA 则则)0()()e1e1(ttRCtUUuC RCtCUUu e 暂态分量暂态分量稳态分量稳态分量电路达到电路达到稳定状态稳定状态时的电压时的电压-UCu Cu+UCu仅存在仅存在于暂态于暂态过程中过程中 63.2%U-36.8%UtCuoCuCiCiCutCuCi当当 t=时时UeUuC%2.63)1()(1 )e1(RCtUuC 0 edd tRUtuCitCC URUuC 全响应全响应:电源激励、储能元电源激励、储能
11、元件的初始能量均不为零时，电件的初始能量均不为零时，电路中的响应。路中的响应。)0()e1(e 0 tUUuRCtRCtCuC(0-)=U0sRU+_C+_i0tuC)0()e1(e 0 tUUuRCtRCtC)0()e(0 tUUURCt稳态分量稳态分量零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应暂态分量暂态分量全响应全响应稳态值稳态值初始值初始值U0.632U1 2 3 321 Cu0Cu 2 6 4 5 3tCuO4.3 RL电路的暂态分析电路的暂态分析Rt=0+U12+uR+uLiL在在 t=0 时将开关时将开关 S 合到合到 1 的位置。的位置。上式的通解为上式的通解为在在 t=0+时，
12、初始值时，初始值 i(0+)=0，则，则。于是得。于是得根据根据 KVL，t 0 时时电路的微分方程为电路的微分方程为 式中式中 也具有时间的量纲，是也具有时间的量纲，是 RL 电路的时间常数。电路的时间常数。这种电感无初始储能，电路响应仅由外加电源引起，这种电感无初始储能，电路响应仅由外加电源引起，称为称为 RL 电路的零状态响应。电路的零状态响应。StiLRiUdd tLRARUiii e RUA RL )e1(e ttRURURUi 此时，通过电感的电流此时，通过电感的电流 iL 由初始值由初始值 I0 向稳态值零向稳态值零衰减，衰减，其随时间变化表达式为其随时间变化表达式为若在若在 t
13、=0 时将开关时将开关 S 由由 1 合合到到 2 的位置，如右图。这时电路的位置，如右图。这时电路中外加激励为零，电路的响应是由电感中外加激励为零，电路的响应是由电感的初始储能引起的，故常称为的初始储能引起的，故常称为 RL 电路的零输入响应。电路的零输入响应。Rt=0+U2+uR+uLiLS1)e1(e ttRURURUi tIi e0tiiOi时间常数时间常数 =L/R当当 t=时，时，uC=63.2%U。0.632U/R 随时间变化曲线随时间变化曲线随时间变化曲线随时间变化曲线OiI0t0.368I0 时间常数时间常数 =L/R当当 t=时，时，uC=36.8%U0。)e1(tRUi
14、tIi e0UR电路中电路中 uR 和和 uL 可根据电阻和电感元件两端的电压可根据电阻和电感元件两端的电压电流关系确定。电流关系确定。UuC )(稳态解稳态解初始值初始值0)0()0(UuuCC tCUUUu e)(0RCtCCCCuuuu e)()0()(uC(0-)=UosRU+_C+_i0tuc)(tf-)(f稳态值稳态值-)0(f-tffftf e)()0()()(利用求三要素的方法求解暂态过程，称为利用求三要素的方法求解暂态过程，称为三要素法三要素法)0(f)(f)0(ft)(tfO)(f)0(f0)0()a(f0)0()b(f0)()c(ft)(tfOt)(tfO)(f0)()d
15、(ft)(tfO)0(f)(f)(f)0(f(1)求初始值、稳态值、时间常数；求初始值、稳态值、时间常数；(3)画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线。画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线。(2)将求得的三要素结果代入暂态过程通用表达式；将求得的三要素结果代入暂态过程通用表达式；)0()0()(6320 fff.tf(t)O 电容电容 C 视视为开路为开路,电感电感L视为短路，即求解直流电阻性电路视为短路，即求解直流电阻性电路中的电压和电流。中的电压和电流。V555510)(Cu6666)(LimA3(1)稳态值稳态值 的计算的计算)(fuC+-t=0C10V 1 FS例：例：5k+-Lit
16、=03 6 6 6mAS1)由由t=0-电路求电路求)0()0(LCiu、2)根据换路定则求出根据换路定则求出)0()0()0()0(LLCCiiuu3)由由t=0+时时的电路，求所需其它各量的的电路，求所需其它各量的)0(i)0(u或或电容元件视为短路。电容元件视为短路。;0U其值等于其值等于，若若 0)0(Cu(1)若若，0)0(0 UuC电容元件用恒压源代替，电容元件用恒压源代替，0 )0(0 IiL0)0(Li若若其值等于其值等于I0,电感元件视为开路。电感元件视为开路。(2)若若 ,电感元件用恒流源代替电感元件用恒流源代替，)0(f(2)初始值初始值 的计算的计算 CR0 0RL 注
17、意：注意：R03210)/(RRRR U0+-CR0CR0 R1U+-t=0CR2R3SR1R2R3解：解：teuuuuCCCC )()0()(cuCi2i 如图，如图，t=0时合上开关时合上开关S，合，合S前电路已处于前电路已处于稳态。试求电容电压稳态。试求电容电压 和电流和电流 、。)0(CuV54106109)0(33 CuV54)0()0(CCuut=0-等效电路等效电路)0(Cu9mA+-6k RS9mA6k 2 F3k t=0Ci2iCu+-C R)(cu由换路后电路求稳态值由换路后电路求稳态值)(cuV18103636109)(33 Cus3630104102103636 CR)
18、(Cut 电路电路9mA+-6k R 3k t=0-等效电路等效电路)0(Cu9mA+-6k RV54)0(CuV18)(Cus3104 Ve3618e)1854(182503104ttCu ttuCiCC250e)250(36102dd6 Ae018.0t250 18V54VtCuO tCCCCiiii e)()0()(用三要素法求用三要素法求Ci0)(CimAe126250t 32103)()(tutiCmAe18)(250ttiC mA181025418)0(3 Ci54V18V2k)0(Ci+-S9mA6k 2 F3k t=0Ci2iCu+-C R3k 6k)0(Ci+-54 V9mA
19、t=0+等效电路等效电路由由t=0-时电路时电路解：解：V333216)0(Cu求初始值求初始值)0(CuV3)0()0(CCuu+-St=0C F56V1 2 Cu3 2 1+-)0(Cut=0-等效电路等效电路1 2 6V3)0(i+-Ve35107.1t t66103e0 tCCCCUuuutu e)()0()()(s6600161053232 CR 求时间常数求时间常数由右图电路可求得由右图电路可求得求稳态值求稳态值 Cu 0 Cu+-St=0C F56V1 2 Cu3 2 1+-Cf 52 Cu3 21+-tuCtiCCdd)(A3510712t.eu)t(iC Ciiti 21)(tt5107.15107.1e5.2e A5107.1e5.1t (、关联关联)CCiuAe5.25107.1t +-St=0C F56V1 2 Cu3 2 1+-
