1、高等数学（二）第九章 多元函数微分法及其应用第十章 二重积分第十章 三重积分第十一章 曲线积分第十二章 无穷级数第十一章 曲面积分目录第一节第一节 多元函数基本的概念多元函数基本的概念第二节第二节 偏导数偏导数第三节第三节 全微分全微分第四节第四节 多元复合函数求导法则多元复合函数求导法则第五节第五节 隐函数的求导公式隐函数的求导公式第九章第九章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用第八节第八节 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法区域通常可用含有点的坐标区域通常可用含有点的坐标 的的一、多元函数的概念一、多元函数的概念第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 平面区
2、域平面区域所谓平面区域，通常是指平面上的一条或几条曲线所围成的连成所谓平面区域，通常是指平面上的一条或几条曲线所围成的连成围成区域的曲线（或点）称为区域的边界。围成区域的曲线（或点）称为区域的边界。包含边包含边界的区域称为闭区域；界的区域称为闭区域；一片的图形。一片的图形。所分边界的区域称为半开区域。所分边界的区域称为半开区域。在平面上建立了直角坐标系后，在平面上建立了直角坐标系后，)y,x(一个或几个不等式来表示。一个或几个不等式来表示。1yx|)y,x(D221 xyo开区域（开圆）开区域（开圆）例如：例如：不包含边界的区域称为开区域；不包含边界的区域称为开区域；只包含部只包含部 ;1yx
3、|)y,x(D222 xyo闭区域（闭圆）闭区域（闭圆）0 x,xy0|)y,x(D23 xyo开区域开区域例1对于区域对于区域 D，如果存在一个中心在原点，半径足够大的圆，如果存在一个中心在原点，半径足够大的圆使使 D 全部包含在这圆内，则称全部包含在这圆内，则称 D 为为有界区域有界区域，否则称为，否则称为无界区无界区 1yx,xy,0 x|)y,x(D224 xyo半开区域半开区域例2域域。邻域邻域设设)y,x(P000是是 xOy 平面上的一点，平面上的一点，是某一正数，与点是某一正数，与点0P的距的距离小于离小于 的点的点)y,x(P所成的集合，称为点所成的集合，称为点0P的的 邻域
4、，记作邻域，记作),P(N0)yy()xx(|)y,x(2020 在几何上，在几何上，),P(N0 是是 xOy 平面上以点平面上以点)y,x(P000为圆心，为圆心，为为半径的圆内的点所成的集合。半径的圆内的点所成的集合。x0y0P x0y0P),P(N0),P(N0 二元函数的概念二元函数的概念定义：定义：设设 D 是是 x O y 面上的一个点集，对任意的点面上的一个点集，对任意的点D)y,x(，变量变量 z 按照某个对应关系按照某个对应关系 f 总有唯一确定的数值与之对应，则称总有唯一确定的数值与之对应，则称 z是是 x，y 的二元函数，记为的二元函数，记为)y,x(fz 称称 x，y
5、 为自变量，为自变量，z 为因变量，点集为因变量，点集 D 称为该函数的定义域，数称为该函数的定义域，数集集D)y,x(,)y,x(fz|z 称为该函数的值域。称为该函数的值域。函数函数)y,x(fz 在点在点)y,x(00处的函数值，记为处的函数值，记为)y,x(f0000yyxx|z ，)y,x(00|z 二元函数定义域的求法二元函数定义域的求法二元函数的两个要素：定义域和对应关系。二元函数的两个要素：定义域和对应关系。对由解析式给出的函数对由解析式给出的函数)y,x(fz ，它的定义域是使函数表，它的定义域是使函数表达式有意义的点达式有意义的点)y,x(的全体，可用不等式或不等式组表示；
6、的全体，可用不等式或不等式组表示；对应用问题中的函数，则要根据自变量的具体意义来确定它对应用问题中的函数，则要根据自变量的具体意义来确定它的范围。的范围。例例1：求下列函数的定义域并用图形表示：求下列函数的定义域并用图形表示 )yx4(ln3yxz2222 解：解：要使该函数的表达式有意义，必须有要使该函数的表达式有意义，必须有 1yx40yx403yx222222，即，即4yx322 故所求函数的定义域是故所求函数的定义域是 4yx3|)y,x(D22 xyo23例1（1）2yarcsinxarcsinz 解：解：要使该函数的表达式有意义，必须有要使该函数的表达式有意义，必须有 2y2,1x
7、1|)y,x(D xyo1212例1（2）12y11x1，即，即 2y21x1 yxz 解：解：定义域为定义域为 yx,0y,0 x|)y,x(D2 xyo例1（3）例例2：二元函数二元函数yxyx)y,x(f ，则，则 )1,1(f；2 若若23y1xz ，则，则)1,2(|z.23例例3：设设22yx)xy,yx(f ，求，求.)y,x(f解：解：这是一个求函数表达式的题目，一个常用的方法是对这是一个求函数表达式的题目，一个常用的方法是对 f中的表达式作变量替换。中的表达式作变量替换。令令xyv,yxu ，则，则v1vuy,v1ux 从而从而v1)v1(u)v,u(f2 ，所以，所以.y1
8、)y1(x)y,x(f2 例例4：设设3yyx3x)yx,yx(f22 ，求，求.)1,y(f 解：解：首先应首先应 求出函求出函 数数 表表 达达 式式.)y,x(f求求 函函 数数 表表 达达 的另一个的另一个常用的方法常用的方法 是是 将等将等 号号 右右 边的表边的表 达达 式式 用用 f 中的中的 表表 达达 式式yx,yx 来来表示。表示。3yx5)yx()yx,yx(f2 3y5x)y,x(f2 则则2y35y)1,y(f22 二元函数的几何意义二元函数的几何意义设二元函数设二元函数)y,x(fz 的定义域为的定义域为 D，对，对D)y,x(，空间中的点，空间中的点)y,x(f,
9、y,x(构成的图形，一般是一张曲面（如下图），称为构成的图形，一般是一张曲面（如下图），称为函数函数)y,x(fz 的图象。的图象。xyz0 xyMD)y,x(fz 二、二元函数的极限二、二元函数的极限定义：定义：)y,x(fz 在点在点)y,x(P000的某一去心邻域内的某一去心邻域内有定义，有定义，)y,x(P是该邻域内的任意一点，是该邻域内的任意一点，)y,x(P沿任沿任意路径无限趋近于点意路径无限趋近于点0p时，时，)y,x(f无限地趋近于无限地趋近于一个确定的常数一个确定的常数 A，)y,x(P)y,x(P000时，函数时，函数)y,x(f以以 A 为极限，记为为极限，记为A)y,x
10、(flim00yyxx 或或.A)y,x(flim)y,x()y,x(00 注意：注意：定义中的点定义中的点)y,x(P)y,x(P000时，是指点时，是指点 P 可可以沿任何方向、任何途径无限地趋近于以沿任何方向、任何途径无限地趋近于0p，而一元函数极限中的，而一元函数极限中的0 xx 是指是指 x 沿沿 x 轴无限趋近于轴无限趋近于0 x；如果点如果点 P 只取只取 某某 些些 特殊方式特殊方式，函数，函数 值逼值逼 近近 某某 一一 确定值，确定值，并不能断定函数的极限一定存在；而当点并不能断定函数的极限一定存在；而当点 P 沿不同方式趋于点沿不同方式趋于点0p时，函数值逼近不同的值，则
11、极限时，函数值逼近不同的值，则极限不存在。不存在。设函数设函数如果当点如果当点相应的函数值相应的函数值则称当则称当)y,x(flim)y,x()y,x(00例例5：讨论二元函数讨论二元函数 0yx,00yx,yxyx)y,x(f222222当当)0,0()y,x(时的极限。时的极限。解：解：由于由于 )y,x(flim0y0 x220 x0 x0 xlim )y,x(flimxy0 x220 xxxxxlim 。)y,x(flim0y0 x不存在不存在所以所以例5,0 x0lim20 x 21x2xlim220 x 练习：练习：问问 是否存在？是否存在？222220y0 x)yx(yxyxli
12、m 练习解：解：因为因为,0 x00lim)yx(yxyxlim20 x222220y0 x ,10 xxlim)yx(yxyxlim440 x22222xy0 x 所以所以 不存在。不存在。222220y0 x)yx(yxyxlim 念和定理，都可以直接类推到二元函数，这里不作详细的念和定理，都可以直接类推到二元函数，这里不作详细的有关一元函数极限的运算法则和定理以及无穷小的概有关一元函数极限的运算法则和定理以及无穷小的概叙述，仅在后面举例说明。叙述，仅在后面举例说明。说明三、二元函数的连续性三、二元函数的连续性定义：定义：设二元函数设二元函数)y,x(fz 在点在点)y,x(P000的某一
13、邻域内的某一邻域内有定义，如果有定义，如果)y,x(f)y,x(flim00yyxx00 则称函数则称函数)y,x(f在点在点)y,x(P000连续。连续。如果二元函数如果二元函数)y,x(fz 在区域在区域 D 上的每一点都连续，则称上的每一点都连续，则称函数函数)y,x(fz 在在 D 上连续。上连续。区域区域 D 上连续的二元函数的图象上连续的二元函数的图象是一张不间断、无裂缝的曲面。是一张不间断、无裂缝的曲面。二元函数连续函数的性质二元函数连续函数的性质如果二元函数如果二元函数)y,x(fz 在有界闭区域在有界闭区域 D 上连续，则该函上连续，则该函数在数在 D 上一定能取到最大值和最
14、小值。上一定能取到最大值和最小值。由常数、由常数、x 或或 y 的基本初等函数，经过有限次的四则运算的基本初等函数，经过有限次的四则运算和有限次复合且能用一个式子表达的函数称为二元初等函数。和有限次复合且能用一个式子表达的函数称为二元初等函数。二元初等函数在它的定义区域内的每一点都连续。二元初等函数在它的定义区域内的每一点都连续。四、求二元函数极限的常用方法四、求二元函数极限的常用方法：例：例6 利用二元初等函数的连续性利用二元初等函数的连续性例例6：求求.1yxycoselim22yx0y0 x 解：解：函数函数 是初等函数，它的定义域是是初等函数，它的定义域是 R2，1)0,0(f1yxy
15、coselim22yx0y0 x 1yxycose)y,x(f22yx 根据初等函数的连续性知，函数在点根据初等函数的连续性知，函数在点 处连续，因此处连续，因此)0,0(通过变量替换，化二元函数的极限为一元函数的极限通过变量替换，化二元函数的极限为一元函数的极限例例7：求求11yxyxlim0y0 x 原原式式11uulim0u yxu 令令)11u(lim0u 2 例例8：求求解：解：22220y0 xyx1sin)yx(lim 解：解：22yxu 令令，原式，原式u1sinulim0u 0 例7、8例例9：求求xyxsinlim3y0 x解：解：原式原式yyxyxsinlim3y0 x
16、y1limyxyxsinlim3y3y0 x 31311 例9 若事先已肯定若事先已肯定)y,x(f在点在点 P0 处极限存在，则可使处极限存在，则可使P 沿一殊途径趋于沿一殊途径趋于 P0 而求出其极限。而求出其极限。例例10：)()yx1(limx10y0 x （A）e （B）0 （C）y （D）1解：解：原式原式x1xy0 x)yx1(lim x120 x)x1(lim xx120 x2)x1(lim 1e0 例10第二节第二节 偏导数偏导数一、偏导数的概念及其计算一、偏导数的概念及其计算 偏导数的定义偏导数的定义设函数设函数)y,x(fz 在点在点)y,x(00的某邻域内有定义，的某邻
17、域内有定义，,yy0 得到一个一元函数得到一个一元函数)y,x(f0.若自变量若自变量 x 有增量有增量x，相应地函，相应地函数数 z 有关于有关于 x 的增量（称为偏增量）的增量（称为偏增量）)y,x(f)y,xx(fz0000 x 如果如果x)y,x(f)y,xx(flim00000 x 存在，存在，)y,x(fz 在点在点)y,x(00处对处对 x 的偏导数，的偏导数，,xz00yyxx ,xf00yyxx ,z00yyxxx 或或)y,x(f00 x 等四式中的某一式。等四式中的某一式。固定固定则称此极限值为函数则称此极限值为函数记作记作偏导数的定义同理，函数同理，函数)y,x(fz
18、在点在点)y,x(00处对处对 y 的偏导数定义为的偏导数定义为y)y,x(f)yy,x(flim00000y 记作记作,yz00yyxx ,yf00yyxx ,z00yyxxy 或或.)y,x(f00y 偏导数的定义（续1）如果函数如果函数)y,x(fz 在区域在区域 D 内每一点内每一点)y,x(处对处对 x 的偏导数的偏导数都存在，那么这样的偏导数是都存在，那么这样的偏导数是 x、y 的函数，称为函数的函数，称为函数)y,x(fz 对自变量对自变量 x 的偏导函数（简称偏导数），记作的偏导函数（简称偏导数），记作,xz ,xf xz.)y,x(fx 或或类似地可以定义函数类似地可以定义函
19、数)y,x(fz 对自变量对自变量 y 的偏导数，记作的偏导数，记作,yz ,yf yz.)y,x(fy 或或显然，显然，,)y,x(f)y,x(f00yyxxx00 x 00yyxxy00y)y,x(f)y,x(f 偏导数的定义（续2）例例1：设设 求求,)0,0()y,x(,0,)0,0()y,x(,yx1sin)yx()y,x(f2222例1.)0,0(fx解：解：x)0,0(f)0,x0(flim)0,0(f0 xx x0 x1sinxlim220 x 20 xx1sinxlim .0练习（练习（2011专插本）专插本）设设 则则,0y,0,0y,y)yx2sin()y,x(f22练习
20、)0,0(fyA.-1 B.0 C.1 D.2解：解：y)0,0(f)y0,0(flim)0,0(f0yy y0y)ysin(lim20y 220yyysinlim .1 偏导数的求法偏导数的求法由偏导数的定义可知，求二元函数由偏导数的定义可知，求二元函数)y,x(fz 的偏导数，并的偏导数，并不需要新的方法。对二元函数不需要新的方法。对二元函数)y,x(f的某一个自变量（如的某一个自变量（如 x）求）求偏导数时，只要把另一个自变量（偏导数时，只要把另一个自变量（如如 y）看作常数）看作常数，而对该自变，而对该自变量量 x 用一元函数的求导方法求得结果。用一元函数的求导方法求得结果。偏导数的定
21、义及求法可以推广到二元以上的多元函数。偏导数的定义及求法可以推广到二元以上的多元函数。例例2：求函数求函数422yyx3xz 在点在点)2,1(处的偏导数。处的偏导数。解：解：因为因为,yx6x2xz .y4x3yz32 所以所以,14)yx6x2(xz2y1x2y1x .35)y4x3(yz2y1x322y1x 例2例例3：设设)yx1ln()yx1()y,x(f22y ，求，求.)0,1(fx 分析：分析：求函数在某点的偏导数，可先求出偏导函数，然后将求函数在某点的偏导数，可先求出偏导函数，然后将)x1ln()0,x(f2 该点的坐标代入，即求出偏导函数在该点的函数值。该点的坐标代入，即求
22、出偏导函数在该点的函数值。数在一点的偏导数定义，求数在一点的偏导数定义，求)0,1(fx，可以，可以 先先 把把 y 的的 值值 代代 入求得入求得)0,x(f，然后求，然后求)0,x(f关于关于 x 在在1x 处的导数。处的导数。解：解：，则，则2xx1x2)0,x(f 所以所以1|x1x2)0,1(f1x2x 此外，由函此外，由函例例4：求函数求函数zyx)z,y,x(f 在点在点)1,1,1(处的偏导数。处的偏导数。解：解：因为因为例4,x)1,1,x(f.1)1,1,x(fx 所以所以.1)1,1,1(fx 因为因为,y1)1,y,1(f.1)z,1,1(f 所以所以,y1)1,y,1
23、(f2y .0)z,1,1(fz ,1)1,1,1(fy .0)1,1,1(fz z1)yx()z,y,x(f 例例5：求下列函数的偏导数求下列函数的偏导数.;2ysinezyx 解：解：xxyx)2ysin()e(xz 0)yx(exyx ,eyyx yz yyyx)2y(2ycos)yx(e .2ycos21exyx u例5（1）)1x,0 x(xzy 解：解：,xyxz1y .xlnxyzy 例5（2）yxyxz22 解法一：解法一：2222xyyxxyy1xz 例5（3）解法一xyyxz 2222yxxyx1yxyz yxyxz22 解法二：解法二：xz 22x22x22yx)yx()
24、yx(yx)yx(22222yxy)yx(yx2 ,yxyx222 yz 22222yxx)yx(yx2 .yxxy222 22y22y22yx)yx()yx(yx)yx(例5（3）解法二x)ysinx(z 解：解：x)ysinx(lnxexz xx)ysinx(lnx)ysinx()ysinx(lnx)ysinx(ln)ysinx(xx )ysinx(ysinxx)ysinx(ln)ysinx(xx ysinxx)ysinx(ln)ysinx(x yx)ysinx(yz y1x)ysinx()ysinx(x 1x)ysinx(ycosx 例5（4）yxxz 解：解：由由 ，得，得例5（5）x
25、lnxyez xxlnx)e(xzyxyx)xlnx(xy)xxlnxy(x1y1yxy)1xlny(xx1yxyyxlnx)e(yzyyyx)xlnx(xyxlnxx2yxy例例6：设设 满足满足)y,x(z分析：分析：实质上这是一元函数的积分问题。当实质上这是一元函数的积分问题。当 y 任意给定时，求任意给定时，求例6)2(ysin)y,1(z)1(xy11ysinxz求求.)y,x(z)y,x(z就是就是 x 的一元函数的积分问题，但这里求积分后还含有的一元函数的积分问题，但这里求积分后还含有y 的任意函数，要由的任意函数，要由 定出这个任意函数。定出这个任意函数。ysin)y,1(z解
26、：解：将等式将等式 两边对两边对 x 求积分，得求积分，得)xy1(dxy11y1ysinx)y,x(z例6（续）)xy1(dxy11y1ysinx)y,x(z)y(|xy1|lny1ysinx)y,x(z 其中其中 为待定函数。为待定函数。)y(由由 式，得式，得ysin)y(|y1|lny1ysin 故故|y1|lny1ysin2)y(因此，因此，|y1|lny1ysin2|xy1|lny1ysinx)y,x(zxy1y1lny1ysin)x2(例例7：理想气体的状态方程为理想气体的状态方程为 P V=R T，其中，其中 R 为常数，求证：为常数，求证：1PTTVVP 证：证：由状态方程可
27、得由状态方程可得,VRTP 从而从而,VRTVP2 RPVT ,PRTV ,PRTV RVPT 故故1RVPRVTRPTTVVP2 注意：注意：对对 一元一元 函数函数 来说，来说，xdyd既可看作导数既可看作导数 的整的整 体记号，也可理体记号，也可理解为解为“微商微商”。但对二元函数而言，。但对二元函数而言，)yz(xz 或或则只能看成整体则只能看成整体记号，不能理解为记号，不能理解为xz 与与之商。之商。例7。)0,0()y,x(f并不连续并不连续在点在点但但 偏导数存在与函数连续性偏导数存在与函数连续性对多元函数，偏导数存在与连续之间没有必然联系。对多元函数，偏导数存在与连续之间没有必
28、然联系。例如，函数例如，函数 0yx,00yx,yxyx)y,x(f222222)0,0(在点在点处两个偏导数均存在，处两个偏导数均存在，事实上事实上0 x00limx)0,0(f)0,x0(flim)0,0(f0 x0 xx 0y00limy)0,0(f)y0,0(flim)0,0(f0y0yy （见见7.1 例例5）偏导数存在与函数连续性（续）偏导数存在与函数连续性（续）又如，函数又如，函数22yxz 在点在点)0,0(处是连续的（圆锥、无处是连续的（圆锥、无裂缝），裂缝），)0,0(的偏导数不存在。的偏导数不存在。但在点但在点x o y z 偏导数的几何意义偏导数的几何意义x o y z
29、 y0 )y,x(fz x0 设曲面的方程为设曲面的方程为 ，)y,x(fz M0 )z,y,x(M0000是该曲面上的一是该曲面上的一点，过点点，过点 M0作平面作平面 ，截，截0yy 此平面得一条曲线，其方程此平面得一条曲线，其方程 为为 .yy,)y,x(fz00则偏导数则偏导数 表示上述表示上述)y,x(f00 x 曲线在点曲线在点 M0 处的切线处的切线 M0Tx 对对x 轴正向的斜率。同理，偏导轴正向的斜率。同理，偏导数数 就是曲面被平面就是曲面被平面 所截得的曲线在点所截得的曲线在点 M0 处的处的)y,x(f00y 0 xx 的切线的切线 M0Ty 对对 y 轴正向的斜率。轴正
30、向的斜率。Tx .Ty 例8例例8：求曲线求曲线 在点在点 处的切线与处的切线与 x 轴轴 1yyx1z22)3,1,1(正向所成的倾角。正向所成的倾角。解：解：所给的曲线是曲面所给的曲线是曲面 与平面与平面 的交线，的交线，1y1x|xztanK 所以所以.6 22yx1z 1y 根据偏导数的几何意义，该曲线在点根据偏导数的几何意义，该曲线在点 处的切线关于处的切线关于)3,1,1(x 轴的斜率为轴的斜率为.33|yx1x1y1x22 二、高阶偏导数二、高阶偏导数在区域在区域 D 内具有偏导数内具有偏导数,)y,x(fxzx )y,x(fyzy 那么，在那么，在 D 内内)y,x(fx)y,
31、x(fy 都是都是 x、y 的函数。的函数。个函数的偏导数也个函数的偏导数也 存在，则称它们是函数存在，则称它们是函数)y,x(fz 的二阶偏的二阶偏、设函数设函数)y,x(fz 如果这两如果这两导数。导数。)y,x(fzxzxzxxxxx22 )y,x(fzyxzxzyyxyx2 )y,x(fzxyzyzxxyxy2 )y,x(fzyzyzyyyyy22 对不同自变量的对不同自变量的二阶偏导数，称二阶偏导数，称为为二阶混合偏导二阶混合偏导数。数。二元函数的四个二阶偏导数常采用下列记号表示：二元函数的四个二阶偏导数常采用下列记号表示：二元函数二阶偏导数的记号类似于二阶偏导数的概念，可以给出二元
32、函数的三阶、类似于二阶偏导数的概念，可以给出二元函数的三阶、四阶直至四阶直至 n 阶偏导数的概念，二阶及二阶以上的偏导数统称阶偏导数的概念，二阶及二阶以上的偏导数统称为为高阶偏导数。高阶偏导数。二元函数高阶偏导数的概念，可以直接类推到三元及三二元函数高阶偏导数的概念，可以直接类推到三元及三元以上的函数。元以上的函数。高阶偏导数例例9：求函数求函数 的二阶偏导数。的二阶偏导数。13yx5yx3x2z24 解：解：因为因为,y5y3x8xz23 .x5yx6yz ,x24xz222 .x6yz22 ,5y6yxz2 ,5y6xyz2 例9所以所以例例10：求函数求函数 的二阶偏导数。的二阶偏导数。
33、解：解：因为因为,yxx2xz22 x2222)yxx2(xz 例10所以所以)yxln(z22 ,yxy2yz22 22222)yx(x2x2)yx(2 ,)yx(x2y222222 y2222)yxy2(yz 22222)yx(y2y2)yx(2 ,)yx(y2x222222 y222)yxx2(yxz ,)yx(yx4222 x222)yxy2(xyz ,)yx(yx4222 定理从上例的解中可以看到，函数从上例的解中可以看到，函数 的两个混合的两个混合 偏导数偏导数 、虽然对虽然对 x 和和 y 的求导次序不同，但它们的求导次序不同，但它们yxz2 xyz2 )yxln(z22 是相等
34、的。我们自然要问，对于一般的二元函数是相等的。我们自然要问，对于一般的二元函数 是是否也具有这个性质？若不是，那么，在什么条件下，它的两个否也具有这个性质？若不是，那么，在什么条件下，它的两个)y,x(fz 混合偏导数相等？下面的定理回答了这个问题。混合偏导数相等？下面的定理回答了这个问题。定理：定理：二阶混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关。二阶混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关。对初等函对初等函 数数 的的 混混 合偏导数合偏导数 而言，一而言，一 般般 都都 是是 连续的，这是连续的，这是就与求导次序无关，因此有就与求导次序无关，因此有.)y,x(f)y,x(fxyyx 练习：练习
35、：;yxz,)y1(ln)y21x(cosz222求求练习解：解：)y21xsin()y21xcos(2xz )yx2sin(y2)yx2sin(yxz)yx2cos(设设 设设.yxz,yxz2xy求求练习（续）解：解：ylnyxyxyxzxyx1y 设设.yxz,yxz2xy求求)ylnxy(yxx1yyx1y2)ylnxy(yxyxz)ylnxy(yxx)ylnxy(yxlnx1x1yx1y)yx1(yxx1y)yxxyylnxlnxyxlnyylnx(yx221x1y第三节第三节 全微分全微分一、全微分的概念一、全微分的概念（全增量）（全增量）二元函数的全增量二元函数的全增量设设)y,
36、x(fz ，记，记)y,x(f)yy,xx(fz ，称为二元，称为二元函数函数)y,x(fz 的全增量。的全增量。x：)y,x(fz x xx y：y yy z：)yy,xx(f )y,x(f设函数设函数 在点在点 的某个邻域内有定义，且的某个邻域内有定义，且 称函数称函数 在在 处可微，并称处可微，并称 为为 全微分的定义全微分的定义)y,x(fz )y,x(xz yz 、存在。如果存在。如果)y,x(fz )y,x(yyzxxz 函数函数 在点在点 处的全微分，记为处的全微分，记为 ，即，即)y,x(fz )y,x(全微分的定义dz.yyzxxzdz 0)y()x()yyzxxz(zlim
37、220y0 x ，则，则由于由于 x、y 都是自变量，所以都是自变量，所以.dyy,dxx 则则dyyzdxxzdz 如果函数如果函数)y,x(fz 在区域在区域 D 内每一点处都可微，则称该函内每一点处都可微，则称该函数在区域数在区域 D 内可微。内可微。二元函数的全微分概念可以类比推广到二元以上的多元函数二元函数的全微分概念可以类比推广到二元以上的多元函数如：若如：若)z,y,x(fu 存在全微分，则有存在全微分，则有dzzudyyudxxudu dzzudyyudxxudu)z,y,x()z,y,x()z,y,x()z,y,x(000000000000 全微分的概念（续）例例1：求函数求
38、函数 的全微分。的全微分。623yx5xy4z 解：解：因为因为例1,yx10y4xz63 .yx30yx12yz522 故所求的全微分故所求的全微分.dy)yx30yx12(dx)yx10y4(dz52263 例2例例2：求函数求函数 在点在点 处的全微分。处的全微分。yxez )1,2(解：解：因为因为,eyxzyx ,exyzyx 所以，所以，,e|xz2)1,2(.e2|yz2)1,2(故所求全微分故所求全微分.dye2dxedz22 例3例例3：设设 ，求，求xlnxy)xlnyln(xx)xy,xln(f2.|fd)1,1(解：解：令令xyvxlnu，则，则uuevyexuuuu2
39、uevevlnee)v,u(f从而从而vuvlneu即即yxylne)y,x(fx由由1xe)1,x(fx，得，得2xx)1x(ex)1,x(f，从而，从而.4e)1,1(fx例3（续）由由y1ylne)y,1(f，得，得2y)y1()ylne()y1(y1)y,1(f4e2)1,1(fy所以，所以，.dy4e2dx4e|fd)1,1(例4例例4：已知已知 ，求，求 dyeyxdxey1dzyx2yx .yxz2 解：解：yxey1xzyyx2)ey1(yxzyyxyx2)yx(ey1ey12yxyx2yxey1ey1)yx1(ey1yx2例例5：求函数求函数 在点在点 处，当处，当32yxz
40、 )1,2(01.0y,02.0 x 时的全增量及全微分的值时的全增量及全微分的值.解：解：全增量全增量32yxz x：2 2.02y：-1 -1.01z：f(2,-1)f(2.02,-1.01)例5)1,2(f)01.1,02.2(fz 全微分全微分误差误差21.0 y)1,2(fx)1,2(fzdyx )01.0(12)02.0()4(20.0 3232)1(2)01.1(02.2 01.0)21.0(20.0zdz yz,xz 二、可微、可导、连续的相互关系二、可微、可导、连续的相互关系yz,xz 在点在点)y,x(连续连续)y,x(fz 在点在点)y,x(可微可微)y,x(fz 在点在
41、点)y,x(连续连续在点在点)y,x(处处均存在均存在关于二元函数的可微性有如下结果：关于二元函数的可微性有如下结果：设函数设函数)y,x(fz ，则，则（证明略）（证明略）例6例例6：考察函数考察函数 在点在点 处偏导数是否处偏导数是否存在？是否可微？存在？是否可微？|xy|)y,x(f)0,0(解：解：因为因为.0 x00limx)0,0(f)0,x0(flim0 x0 x 所以，所以，.0)0,0(fx 同理，同理，.0)0,0(fy 即即 在点在点 处的两个偏导数存在。处的两个偏导数存在。)y,x(f)0,0(22yx0y0 x)y()x(y)0,0(fx)0,0(fzlim .)y(
42、)x(|y|x|lim220y0 x 而而因为因为,021)y()x(|y|x|lim22xy0 x 所以函数所以函数 在点在点 处不可微。处不可微。|xy|)y,x(f)0,0(|xy|)y,x(f 例6（续）的偏导数在的偏导数在 的邻域内均存在，但在的邻域内均存在，但在 处它的偏导数处它的偏导数练习练习：练习：试证函数试证函数)0,0()0,0()y,x(,0,)0,0()y,x(,yx1sin)yx()y,x(f2222)0,0(不连续，而函数不连续，而函数 却在却在 处可微。处可微。)y,x(f)0,0(第四节第四节 多元复合函数与隐函数的微分法多元复合函数与隐函数的微分法定理：定理：
43、设函数设函数)y,x(v,)y,x(u,)v,u(fz 复合而复合而)y,x(,)y,x(fz ，其复合关系图如下：，其复合关系图如下：z)y,x(u )v,u(fz uvxyxy)y,x(v 若若)y,x(v,)y,x(u 都在点都在点)y,x(具有对具有对 的偏导数，的偏导数，)v,u(fz 在对应点在对应点)v,u(具有连续偏导数，具有连续偏导数，函数函数点点)y,x(的两个偏导数存在，且可有下列公式计算：的两个偏导数存在，且可有下列公式计算：,xvvzxuuzxz .yvvzyuuzyz 得复合函数得复合函数、xy一、多元复合函数的求导法则一、多元复合函数的求导法则则复合函数则复合函数
44、 在在一、多元复合函数求导法则 设设)x(v),x(u),v,u(fz ，则，则)x(,)x(fz 是是 x 的一元函数。的一元函数。.xdvdvzxduduzxdzd z)x(u )v,u(fz uv)x(v xx则则其复合关系图如下：其复合关系图如下：多元复合函数求导法则（续1）设由设由)y,x(u),y,u(fz 得复合函数得复合函数y,)y,x(fz z)y,x(u )y,u(fz uyxy其复合关系图如下：其复合关系图如下：,xuufxz 则则.yfyuufyz 多元复合函数求导法则（续2）例例1：设设.yz,xz,yxv,yxu,vsinezu 求求解：解：zuvxyxyvsine
45、zu yxu yxv vcosey)vsin(exzuu )yx(cos)yx(sinyeyx vcosex)vsin(eyzuu )yx(cos)yx(sinxeyx 例1例例2：设设.dxdz,xcosv,eu,vuzx2求全导数求全导数 解：解：zuvxxvuz x2eu xcosv )xsin(ue2vdxdzx2 xsinexcose2x2x2 例2例例3：设设.yz,xz,yxv,ex2vsinxz22v2 求求解：解：zxvxy22yxv v2ex2vsinxz ,x2)evcosx()x4vsin(xzv .y2)evcosx(yzv 例3例例4：设函数设函数.yz,xz,xy
46、yxu,)u(fz 求求可导可导解：解：z)u(fz uxyyxu xy)xyy()u(fxz2 ,)u(f)x11(y2 ).x1x()u(fyz 例4例例5：设设.yz,xz,)xy,yx(fz22 求求可微可微解：解：令令xyv,yxu22 ，则则.)v,u(fz zuvxyxy)v,u(fz 22yxu xyv )xy(fx2fxz2vu ,fxyfx2221 x1f)y2(fyzvu .fx1fy221 例5例例6：设设.yu,xu,yxz,)z,y,x(fu22 求求可微可微uxzxy)z,y,x(fu y22yxz 解：解：,fx2fxu31 .fy2fyu32 例6例例7：设设
47、 ，且，且 f 和和 g 具有一阶连续偏导具有一阶连续偏导例7)xy,x(g)yx2(fu数，求数，求.yu,xu解：解：x21x)yx(gg)yx2(fxu 21gygf2y2y)yx(g)yx2(fyu 2gxf例例8（2012广东专插本）广东专插本）设函数设函数 f(u)可微，且可微，且 ，则，则例821)0(f)yx4(fz22在点在点 处的全微分处的全微分 .)2,1()2,1(|dz解：解：令令22yx4u，则，则.)u(fz x8)u(fxz)y2()u(fyz,48)0(f|xz)2,1(2)4()0(f|yz,)2,1(.dy2dx4|dz)2,1(例例9：设设)xy(fxz
48、2，其中，其中)u(f为可导函数，证明：为可导函数，证明：.z2yzyxzx 证：证：令令xyu ，则，则.)u(fxz2 zxuxy)u(fxz2 xyu )xy()u(fx)u(fx2xz22 ,)u(fy)u(fx2 x1)u(fxyz2 ,)u(fx 例9)u(fyx)u(fy)u(fx2x )u(fx22.z2右边右边 例9（续）)xy()u(fx)u(fx2xz22 ,)u(fy)u(fx2 x1)u(fxyz2 ,)u(fx 则则yzyxzx 练习：练习：设设)yx(fyz22，其中，其中)u(f为可导函数，求为可导函数，求.yz 证：证：令令22yxu，则，则)u(fyz zy
49、uxy)u(fyz 22yxu)y2()u(f)u(fy)u(f1yz2 练习1).u(f)u(fy2)u(f122 例例10：设设 ，f 具有二阶连续偏导数，求具有二阶连续偏导数，求)e,yx(fzx22 22xz 和和.yxz2 解：解：令令 ，22yxu xev ，则，则).v,u(fz zuvxyxxev 22yxu ,efx2fxzx21 其中，其中，仍是含有中间变量仍是含有中间变量 u 和和21f,f )v,u(fz 例101f uvxyxxev 22yxu ,efx2fxzx21 其中，其中，仍是含有中间变量仍是含有中间变量 u 和和21f,f v 的复合函数。其复合关系图：的复
50、合函数。其复合关系图：)f(2 将上式两边对将上式两边对 x 求偏导，并应用四则运算求导法则，得求偏导，并应用四则运算求导法则，得xx2x122)ef()x2f(xz 例10（续1）1f uvxyxxev 22yxu )f(2 xx2x122)ef()x2f(xz 2xxx21x1fee)f(f2x2)f(xx22211x1211e)efx2f(f2x2)efx2f(2xfe.fef2fefex4fx42x122x212x112 例10（续2）1f uvxyxxev 22yxu )f(2 y2xy1)f(e)f(x2 )y2(fe)y2(fx221x11 yx2y12)ef()x2f(yxz
