1、第六节第六节 定积分的换元积分定积分的换元积分法和分部积分法法和分部积分法 定积分的换元积分法定积分的换元积分法 定积分的分部积分法定积分的分部积分法 小结、思考题小结、思考题 习题解答习题解答一、定积分的换元法一、定积分的换元法 例1 计算2 0 2cossinxdxx 解 xdxxcossin2令令sinx=uduu231=u3+C u u=sinx x回代回代31sin3x+C(1)2 0 2cossinxdxx203sin31x3131于是 =(10)=(2)分析解题过程在(1)式先求出u2的原函数31u3，然后作变量回代 得到原函数31sin3x，最后在(2)式中作双重代换，在x=0
2、，x=2时 231以sin0=0，sin=1代入得到定积分注意 当x=0，2时，u=sin0=0，u=sin2=1，如果直接对u2的原函数 31u3 作u从0 到1的双重代换，与变量回代后对sinx从0到2的双重代换，完全是等效的可见在求定积分时变量回代实属多余，其实在实施换元 积分限0，u=sinx的同时，也改变原x的2为u的对应限0，1，即 2 0 2cossinxdxx1031 0 231uduu31=，能得到同样结果 在一定条件下，把“换元新元的原函数回代作双重代换”得 定积分的过程，改为“换元、换积分限新元的原函数在新积分限上作双重代换”得定积分，是可以得到相同结果的 定理定理1 设
3、(1)f(x)在a，b上连续；(2)(x)在a，b上连续，且(x)0，x(a，b)；(3)(a)=，(b)=，则 baxdxf )()(令令 u=(x)，x=au=x=b u=)(duuf 定理定理2 设(1)f(x)在a，b上连续；(2)(t)在，上连续，且(t)0，t(，)；(3)()=a，()=b.则 badxxf )(令令 x=(t)，t=x=at=x=b )()(dtttf 注意两个定理中0的条件，是新、老积分区间一一对应 的保障，不可忽视，缺少这个条件可能会出现谬误结果例如 1 1 4dxx令令u=x2;x=1，u=11 1 2321duu=0，1 1 4dxx5251115x实际
4、上，=(x)=x2，(x)=2x在(1，1)有零点x=0，是产生错误的原因 例2 计算下列定积分：1 0 2dxxexdxxx2 0 212 0 2sincosxdxx (1)；(2)；(3)；edxxx 1 lndxxx4 1 1adxxa 0 22(4)；(5)；(6)解：(1)1 0 21 0 )(2122xdedxxexx u=x2;x=0，u=0;x=1，u=1101 0 2121uuedue=ee21 dxxx2 0 212 0 221)1(21xxd(2)=令令 u=1+x2;x=0，u=1;x=2，u=55ln21ln2121515 1 uudu如果对不定积分换元法很熟悉，那么
5、未必非要换元u=1+x2，可以直接写成 dxxx2 0 212 0 221)1(21xxd202)1ln(21x5ln21=2 0 2sincosxdxx2 0 2coscosxxd(3)=令令u=cosx;x=0，u=1;x=，u=020 1 2duu10331u31=如果对不定积分换元法熟悉，可以省却换元和换积分限过程，可以直接写成 2 0 2sincosxdxx2 0 2coscosxxd203cos31x31=记住的是“换元变限，不换元限不变”的原则 edxxx 1 lneexxxd 1 2 1 )(ln21)(lnln21(4)=(5)令t=x，即x=t2，dx=2tdt；当x=1，
6、t=1，x=4，t=2，即 x 从14 t 从12 应用定理2得 dxxx4 1 123ln2)1ln(2122212 1 2 1 2ttdttttdt=(6)令x=asint，dx=acostdt；当x=0，t=0，当x=a，t=2，即 x 从 0a t从02 应用定理2得 adxxa 0 2222 0 2 0 )2cos1(2coscosdttatdtata202|)2sin21(2tta41=a2=证证,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中中令令tx ,0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf)(xf为为偶偶函函数数，则则),()(tf
7、tf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf)(xf为为奇奇函函数数，则则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(.0 本例所证明的等式，称为奇、偶函数在对称区间上的积分性质在理论和计算中经常会用这个结论 从直观上看，性质反映了对称 区间上奇函数的正负面积相消、偶 函数面积是半区间上面积的两倍这 样一个事实 a图4-6-1xyOaa图4-6-2xyOa 例4 计算下列各定积分：dxxx44 23cos11 1 2|dxxx(1)；(2)x2cos144 解：(1)由于是，上的偶函数，xx23cos4，是4，上的奇函数，所以 dxxx4
8、4 23cos1dxx44 2cos1dxxx44 23cosdxx4 0 2cos140tanx =+=2+0=2=2 (2)由于x2|x|是1，1上的偶函数，所以 1 1 2|dxxx1 0 3dxx10441x21 =2=2=应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:（1）求求出出)()(ttf 的的一一个个原原函函数数)(t 后后，不不必必象象计计算算不不定定积积分分那那样样再再要要把把)(t 变变换换成成原原变变量量x的的函函数数，而而只只要要把把新新变变量量t的的上上、下下限限分分别别代代入入)(t 然然后后相相减减就就行行了了.（2）用用)(tx 把把变变量量x换换成成新新变变量
9、量t时时，积积分分限限也也相相应应的的改改变变.例例5 5 计算计算.sincos205 xdxx解解令令,cosxt 2 x,0 t0 x,1 t 205sincosxdxx 015dtt1066t.61,sin xdxdt 例例6 6 计算计算解解.sinsin053 dxxxxxxf53sinsin)(23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x.54 例例7 7 计算计算解解.)ln1(ln43 ee
10、xxxdx原式原式 43)ln1(ln)(lneexxxd 43)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex.6 奇函数奇函数例例8 8 计算计算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函数偶函数 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 单位圆的面积单位圆的面积 设设函函数数)(xu、)(xv在在区区间间 ba,上上具具有有连连续续导导数数，则则有有 bababavduuvudv.定积分的分部积分公式定积
11、分的分部积分公式推导推导 ,vuvuuv ,)(babauvdxuv ,bababadxvudxvuuv .bababavduuvudv二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 例9 计算 0 cosxdxx 解 先用分部积分法求xcosx的原函数：xdxxxxxdxdxxsinsin)(sincos=xsinx+cosx+C，0 cosxdxx0=xsinx+cosx=11=2 分部与双重代换同时进行，即以下面方式完成：0 cosxdxx0 0 sinxdx0=xsinx=0+cosx=2，0 定理定理3(定积分的分部积分公式)设u(x)，v(x)在区间a，b上连续，则bababadxx
12、uxvxvxudxxvxu )()()()()()(或简写为 bababavduuvudv 2 0 2sinxdxx2 0 cosxdxex 例10 求定积分：(1)；(2)2 0 2sinxdxx222 0 0 2 0 2cos2cos)(cosxdxxxxxdx 解 (1)=0+22sin2sin2sin222 0 0 0 xdxxxxxd=2 2 0 cosxdxex2 0 2 0 2 0 )(coscos)(cosxdexeexdxxx(2)=2 0 )(sinxexd2 0 2 0 )(sinsinxdexexx=(e 2-1）+=(e 2-1）+2 0 cosxdxex=(e 2-
13、1）+2 0 cosxdxex移项得2=(e 2-1）2 0 cosxdxex21所以 =(e 2-1）2 例例1111 计算计算解解.2cos140 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 40secln218 x.42ln8 例例1212 计算计算解解.)2()1ln(102 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln(xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx .3ln2ln
14、35 几个特殊积分、定积分的几个等式几个特殊积分、定积分的几个等式1、定积分的换元法、定积分的换元法dxxfba)(dtttf )()(三、小结三、小结2、定积分的分部积分公式、定积分的分部积分公式 .bababavduuvudv（注意与不定积分分部积分法的区别）（注意与不定积分分部积分法的区别）思考题思考题解解 令令,sectx ,4332:t,sectantdttdx 2221xxdxtdtttttansectansec14332 dt 4332.12 思考题思考题1解答解答计算中第二步是错误的计算中第二步是错误的.txsec,43,32 t,0tan t.tantan12ttx 正确解法
15、是正确解法是 2221xxdxtxsec tdtttttansectansec14332 dt 4332.12 思考题思考题2解答解答 10)2(dxxfx 10)2(21xfxd 1010)2(21)2(21dxxfxfx 10)2(41)2(21xff )0()2(4125ff .2 一、一、填空题：填空题：1 1、3)3sin(dxx_；2 2、03)sin1(d_；3 3、2022dxx_ _；4 4、2121221)(arcsindxxx_；5、55242312sindxxxxx_.练练 习习 题题六、证明：六、证明：aaadxxfxfdxxf0)()()(,并求并求 44sin1x
16、dx.七、设七、设 1,0)(在在xf上连续，上连续，证明证明 2020)cos(41)cos(dxxfdxxf.练习题答案练习题答案习题解答习题解答习题习题4-64-6 1 133 0 0 1 133 0 0 1 133 0 0 1 133 0 0 1 133 0 01(12)2(12)3(12)4(12)5(12)6(12)7(12)8(12)9(12)10(12)xdxxdxxdxxdxxdxxdxxdxxdxxdxxdx1.求下列定积分：（）；（）；（）；（）；（）；（）；（）；（）；（）；（）；222011 1 133 0 04 e e 0 0 1 12 1 1101(12)(12)
17、(12)21 1 (12)10.2 4111(31)3133111 ln 31ln(0.31).33333()22exxxx dxx dxxdxdxxxxexe dxe d xe解（1）（2）（3）4444414411 0 0 00 3 3 32 1 1 1 3 1cos2cos2sin2(sin2sin1)sincostancoscos2ln cosln2111(2)(2)4(2)(2)4(2)(2)11111()42242xdxxdxxxxdxxdxdxxxxxxdxdxdxxxxxxdxxx（4）（5）（6）3 3 1 1311142121ln(ln5ln3)424dxdxxxxx a
18、a22 0 02 a 00224 2 20 0 020111()1()arcsinarcsin1.1()200421122(1)1112(ln 1)42ln3.adxdxxaxaaxxdaaxaxttxdtxdxtxtxxdtdxdxxxtxx（7）（8），故，令则当626622222 2 2 222 1 1 1 2 2 22 2226311sin,(0,)sin1111()11sin(sincos(csc1)3sin21,ln(1)1ln3,1,2,xt xtxtxxdxdxdxxxxtdttdttdtttet xtdxdttxtxtxt（9）令当，则令当，）（10），2 ln8 32 ln
19、3 22,ln8,33122ln12xxttedxdtt，则2 13 0 0 12 0 012 0 034 1 02.12arctan34sin5sin67(ln)8cos.xxxxexe dxxdxxe dxxxdxexdxedxxdxxdx求 下 列 定 积 分（）；（）；（）；（）；（）；（）；（）；（）001012 1 1 1 0 0 0332 0 0222222 1 1 11.3arctanarctan13133 ln(1)ln2.323111lnlnln222 2ln2xxxxxe dxxdexee dxxxdxxxdxxxxxdxxdxxxxdx解（1）（2）（3）122132l
20、n2.44x22 222 0 0 0 0 04sincoscoscos 0sin1.xxdxxdxxxxdxx（）22 222 0 0 0 0 2222 0 0 02222 0 022 05sinsin()sincoscoscossin1sin,2sin1,1 sin(1).2xxxxxxxxxxexdxxd eexexdxeexdxeexexdxeexdxexdxeexdxe 移所以项，（）111 021111 0 0000 06,222222222(1)2.xxtttttedxxt xtdxtdtedxte dttdetee dteee令则故（）；，11sin,cos,sinsincossincossin2sinsincos11sin(sincos)()22xxxxxxxxxxxxxux dve dxduxdx veexdxexexdxexexexdxexdxexexCexdxexxC CC设，则移项，3321 1 1221 117(ln)(ln)3(ln)=e3(ln)2(ln)=36(ln)26.eeeeeexdxxxxdxxxxdxeexxxe（）22224 02422 0 0 0 0 08cos,2cos2cos2 sin2sin2cos2.xdxxt xtdxtdtxdxttdttttdtt），令则故，
