1、计算机组成原理计算机组成原理北京理工大学计算机学院北京理工大学计算机学院第第2章章2.1 数值数据的表示数值数据的表示2.2 机器数的定点表示与浮点表示机器数的定点表示与浮点表示2.3 非数值数据的表示非数值数据的表示 2.4 十进制数和数串的表示十进制数和数串的表示2.5 不同类型的数据表示举例不同类型的数据表示举例2.6 数据校验码数据校验码计算机组成原理计算机组成原理北京理工大学计算机学院北京理工大学计算机学院2.2 机器数的定点表示与浮点表示机器数的定点表示与浮点表示 2.2.1 定点表示法定点表示法 在定点表示法中约定：所有数据的小在定点表示法中约定：所有数据的小数点位置固定不变。通
2、常，把小数点固定在数点位置固定不变。通常，把小数点固定在有效数位的最前面或末尾，这就形成了两类有效数位的最前面或末尾，这就形成了两类定点数。定点数。1.定点小数定点小数 小数点的位置固定在最高有效数位之小数点的位置固定在最高有效数位之前，符号位之后，记作前，符号位之后，记作Xs.X1X2Xn，这个，这个数是一个纯小数。定点小数的小数点位置是数是一个纯小数。定点小数的小数点位置是隐含约定的，小数点并不需要真正地占据一隐含约定的，小数点并不需要真正地占据一个二进制位。个二进制位。计算机组成原理计算机组成原理北京理工大学计算机学院北京理工大学计算机学院2 20 0 2 2-1 -1 2 2-2 -2
3、 2 2-(n-1)-(n-1)2 2-n-n2.2 机器机器数的定点表示与浮点表示数的定点表示与浮点表示 当当Xs=0，X1Xn=1时，时，X为最大正数，即：为最大正数，即：X最大正数最大正数=(1-2-n)。1 1最大正数最大正数1 11 11 10 0定点小数格式定点小数格式小数点位置小数点位置X Xs sX X1 1X Xn nX X2 2X Xn-1n-12 20 0 2 2-1 -1 2 2-2 -2 2 2-(n-1)-(n-1)2 2-n-n注意计算机组成原理计算机组成原理北京理工大学计算机学院北京理工大学计算机学院2 20 0 2 2-1 -1 2 2-2 -2 2 2-(n
4、-1)-(n-1)2 2-n-n2.2 机器机器数的定点表示与浮点表示数的定点表示与浮点表示 最小正数最小正数0 00 01 10 00 0定点小数格式定点小数格式小数点位置小数点位置X Xs sX X1 1X Xn nX X2 2X Xn-1n-12 20 0 2 2-1 -1 2 2-2 -2 2 2-(n-1)-(n-1)2 2-n-n 当当Xn=1，XsXn-1=0时，时，X为最小正数，为最小正数，即：即：X最小正数最小正数=2-n。注意计算机组成原理计算机组成原理北京理工大学计算机学院北京理工大学计算机学院2.2 机器机器数的定点表示与浮点表示数的定点表示与浮点表示 当当Xs=1，表
5、示，表示X为负数，此时情况要稍为负数，此时情况要稍微复杂一些，这是因为在计算机中带符号微复杂一些，这是因为在计算机中带符号数可用补码表示，也可用原码表示。如前数可用补码表示，也可用原码表示。如前所述，原码与补码所能表示的绝对值最大所述，原码与补码所能表示的绝对值最大的负数是有区别的，所以原码和补码的表的负数是有区别的，所以原码和补码的表示范围有一些差别。示范围有一些差别。计算机组成原理计算机组成原理北京理工大学计算机学院北京理工大学计算机学院2 20 0 2 2-1 -1 2 2-2 -2 2 2-(n-1)-(n-1)2 2-n-n2 20 0 2 2-1 -1 2 2-2 -2 2 2-(
6、n-1)-(n-1)2 2-n-n2.2 机器机器数的定点表示与浮点表示数的定点表示与浮点表示 原码表示的绝原码表示的绝对值最大负数对值最大负数11111 X绝对值最大负数绝对值最大负数(原码表示时）原码表示时）=-(1-2-n)补码表示的绝补码表示的绝对值最大负数对值最大负数10000X绝对值最大负数（补码表示时）绝对值最大负数（补码表示时）=-1注意计算机组成原理计算机组成原理北京理工大学计算机学院北京理工大学计算机学院0.11111110.11111110.1111111 综上所述：综上所述：若机器字长有若机器字长有n+1位，则：位，则：原码定点小数表示范围为：原码定点小数表示范围为：-
7、(1-2-n)(1-2-n)补码定点小数表示范围为：补码定点小数表示范围为：-1(1-2-n)若机器字长有若机器字长有8位，则：位，则：原码定点小数表示范围为：原码定点小数表示范围为：-(1-2-7)(1-2-7)补码定点小数表示范围为：补码定点小数表示范围为：-1(1-2-7)2.2 机器机器数的定点表示与浮点表示数的定点表示与浮点表示 1.00000001.00000001.00000000.11111110.11111110.11111111.11111111.11111111.1111111计算机组成原理计算机组成原理北京理工大学计算机学院北京理工大学计算机学院2 2n n 2 2n-
8、1 n-1 2 2n-2 n-2 2 21 1 2 20 02.2 机器机器数的定点表示与浮点表示数的定点表示与浮点表示 2.定点整数定点整数 小数点位置隐含固定在最低有效数位之小数点位置隐含固定在最低有效数位之后，记作后，记作XsX1X2Xn，这个数是一个纯整数。，这个数是一个纯整数。定点整数格式定点整数格式小数点位置小数点位置X Xs sX X1 1X Xn nX X2 22 2n n 2 2n-1 n-1 2 2n-2 n-2 2 20 01 1最大正数最大正数1 11 11 10 0X最大正数最大正数=(2n-1)注意计算机组成原理计算机组成原理北京理工大学计算机学院北京理工大学计算机
9、学院2 2n n 2 2n-1 n-1 2 2n-2 n-2 2 21 1 2 20 02 2n n 2 2n-1 n-1 2 2n-2 n-2 2 21 1 2 20 02 2n n 2 2n-1 n-1 2 2n-2 n-2 2 21 1 2 20 02.2 机器机器数的定点表示与浮点表示数的定点表示与浮点表示X绝对值最大负数（原码表示时）绝对值最大负数（原码表示时）=-(2n-1)最小正数最小正数0 00 01 10 00 0X最小正数最小正数=1X绝对值最大负数（补码表示时）绝对值最大负数（补码表示时）=-2n原码表示的绝原码表示的绝对值最大负数对值最大负数11111补码表示的绝补码表
10、示的绝对值最大负数对值最大负数10000注意注意计算机组成原理计算机组成原理北京理工大学计算机学院北京理工大学计算机学院 综上所述：综上所述：若机器字长有若机器字长有n+1位，则：位，则：原码定点整数的表示范围为：原码定点整数的表示范围为：-(2n-1)(2n-1)补码定点整数的表示范围为：补码定点整数的表示范围为：-2n(2n-1)若机器字长有若机器字长有8位，则：位，则：原码定点整数表示范围为：原码定点整数表示范围为：-127127补码定点整数表示范围为：补码定点整数表示范围为：-1281270111111101111111011111111000000010000000100000002
11、.2 机器机器数的定点表示与浮点表示数的定点表示与浮点表示 011111110111111101111111111111111111111111111111计算机组成原理计算机组成原理北京理工大学计算机学院北京理工大学计算机学院2.2 机器机器数的定点表示与浮点表示数的定点表示与浮点表示 2.2.2 浮点表示法浮点表示法 小数点的位置根据需要而浮动，这就小数点的位置根据需要而浮动，这就是浮点数。例如：是浮点数。例如：N=MrE 式中：式中：r为浮点数阶码的底，与尾数的为浮点数阶码的底，与尾数的基数相同，通常基数相同，通常r=2。E和和M都是带符号数，都是带符号数，E叫做阶码，叫做阶码，M叫做尾
12、数。在大多数计算机叫做尾数。在大多数计算机中，尾数为纯小数，常用原码或补码表示；中，尾数为纯小数，常用原码或补码表示；阶码为纯整数，常用移码或补码表示。阶码为纯整数，常用移码或补码表示。=M2E计算机组成原理计算机组成原理北京理工大学计算机学院北京理工大学计算机学院2.2 机器机器数的定点表示与浮点表示数的定点表示与浮点表示 浮点数的一般格式：浮点数的一般格式：浮点数的底是隐含的，在整个机器数中浮点数的底是隐含的，在整个机器数中不出现。阶码的符号位为不出现。阶码的符号位为es，阶码的大小反映，阶码的大小反映了在数了在数N中小数点的实际位置；尾数的符号位中小数点的实际位置；尾数的符号位为为ms，
13、它是整个浮点数的符号位，反映了该，它是整个浮点数的符号位，反映了该浮点数的正负。浮点数的正负。假设阶码和尾数部分均用补码表示。假设阶码和尾数部分均用补码表示。e es se em mm ms s阶码部分阶码部分E E尾数部分尾数部分M MK位位N位位1位位1位位计算机组成原理计算机组成原理北京理工大学计算机学院北京理工大学计算机学院阶码部分阶码部分E E尾数部分尾数部分M Mesms2 2-1 -1 2 2-(n-1)-(n-1)2 2-n-n2 2k-1 k-1 2 20 02.2 机器机器数的定点表示与浮点表示数的定点表示与浮点表示00111111.浮点数的表示范围浮点数的表示范围 当当e
14、s=0，ms=0，阶码和尾数的数值，阶码和尾数的数值位各位全为位各位全为1（即阶码和尾数都为最大正（即阶码和尾数都为最大正数）时，该浮点数为最大正数。数）时，该浮点数为最大正数。X最大正数最大正数=(1-2-n)22k-1注意计算机组成原理计算机组成原理北京理工大学计算机学院北京理工大学计算机学院阶码部分阶码部分E E尾数部分尾数部分M Mesms2 2-1 -1 2 2-(n-1)-(n-1)2 2-n-n2 2k-1 k-1 2 20 02.2 机器机器数的定点表示与浮点表示数的定点表示与浮点表示 当当es=1，ms=0，尾数的最低位，尾数的最低位mn=1，其余各位为其余各位为0（即阶码为
15、绝对值最大负数，（即阶码为绝对值最大负数，尾数为最小正数）时，该浮点数为最小正尾数为最小正数）时，该浮点数为最小正数。数。1100000X最小正数最小正数=2-n2-2k注意计算机组成原理计算机组成原理北京理工大学计算机学院北京理工大学计算机学院阶码部分阶码部分E E尾数部分尾数部分M Mesms2 2-1 -1 2 2-(n-1)-(n-1)2 2-n-n2 2k-1 k-1 2 20 02.2 机器机器数的定点表示与浮点表示数的定点表示与浮点表示 当当es=0，阶码的数值位为全，阶码的数值位为全1；ms=1，尾数的数值位为全尾数的数值位为全0（即阶码为最大正数，（即阶码为最大正数，尾数为绝
16、对值最大的负数）时，该浮点数尾数为绝对值最大的负数）时，该浮点数为绝对值最大负数。为绝对值最大负数。1110000X绝对值最大负数绝对值最大负数=-122k-1注意计算机组成原理计算机组成原理北京理工大学计算机学院北京理工大学计算机学院2.2 机器机器数的定点表示与浮点表示数的定点表示与浮点表示 2.规格化的浮点数规格化的浮点数 为了提高运算的精度，需要充分地利为了提高运算的精度，需要充分地利用尾数的有效数位，通常采取规格化的浮用尾数的有效数位，通常采取规格化的浮点数形式，即规定点数形式，即规定尾数的最高数位必须是尾数的最高数位必须是一个有效值一个有效值。1/r|M|1 如果如果r=2，则有，
17、则有1/2|M|1。计算机组成原理计算机组成原理北京理工大学计算机学院北京理工大学计算机学院2.2 机器机器数的定点表示与浮点表示数的定点表示与浮点表示 在尾数用原码表示时，规格化浮点数在尾数用原码表示时，规格化浮点数的尾数的最高数位总等于的尾数的最高数位总等于1。在尾数用补码在尾数用补码表示时，规格化浮点数应满足表示时，规格化浮点数应满足尾数最高数尾数最高数位与符号位不同位与符号位不同（ms m1=1），即当），即当1/2M1时，应有时，应有0.1xxx形式，当形式，当-1M-1/2时，应有时，应有1.0 xxx形式。需要注意的形式。需要注意的是当是当M=-1/2，对于原码来说，是规格化数，
18、对于原码来说，是规格化数，而对于补码来说，不是规格化数；而对于补码来说，不是规格化数；当当M=-1 时，对于原码来说，时，对于原码来说，这将无法表示，这将无法表示，而对而对于补码来说，这是一个规格化数。于补码来说，这是一个规格化数。计算机组成原理计算机组成原理北京理工大学计算机学院北京理工大学计算机学院阶码部分阶码部分E E尾数部分尾数部分M Mesms2 2-1 -1 2 2-(n-1)-(n-1)2 2-n-n2 2k-1 k-1 2 20 0阶码部分阶码部分E E尾数部分尾数部分M Mesms2 2-1 -1 2 2-(n-1)-(n-1)2 2-n-n2 2k-1 k-1 2 20 0
19、2.2 机器机器数的定点表示与浮点表示数的定点表示与浮点表示 X规格化的最小正数规格化的最小正数=2-12-2k00011111 X规格化的绝对值最小负数规格化的绝对值最小负数=-(2-1+2-n)2-2k01000100注意注意计算机组成原理计算机组成原理北京理工大学计算机学院北京理工大学计算机学院2.2 机器机器数的定点表示与浮点表示数的定点表示与浮点表示 计算机组成原理计算机组成原理北京理工大学计算机学院北京理工大学计算机学院2.2 机器机器数的定点表示与浮点表示数的定点表示与浮点表示 2.2.3 浮点数阶码的移码表示法浮点数阶码的移码表示法 移码就是在真值移码就是在真值X上加一个常数（
20、偏上加一个常数（偏置值），相当于置值），相当于X在数轴上向正方向平移在数轴上向正方向平移了一段距离，这就是了一段距离，这就是“移码移码”一词的来由，一词的来由，移码也可称为增码或偏码。移码也可称为增码或偏码。X移移=偏置值偏置值+X 字长字长n+1位定点整数的移码形式为位定点整数的移码形式为X0X1X2Xn。计算机组成原理计算机组成原理北京理工大学计算机学院北京理工大学计算机学院2.2 机器机器数的定点表示与浮点表示数的定点表示与浮点表示 最常见的移码的偏置值为最常见的移码的偏置值为2n。当字长。当字长8位时，偏置值为位时，偏置值为27。例例1：X=1011101 X移移=27+X=10000
21、000+1011101=11011101 X补补=01011101 例例2：X=-1011101 X移移=27+X=10000000-1011101=00100011 X补补=10100011计算机组成原理计算机组成原理北京理工大学计算机学院北京理工大学计算机学院 2.2 机器机器数的定点表示与浮点表示数的定点表示与浮点表示计算机组成原理计算机组成原理北京理工大学计算机学院北京理工大学计算机学院 2.2 机器机器数的定点表示与浮点表示数的定点表示与浮点表示偏置值为偏置值为2n的移码的移码具有以下特点：具有以下特点：(1)在移码中，最高位为在移码中，最高位为“0”表示负数，表示负数，最高位为最高
22、位为“1”表示正数。表示正数。(2)移码为全移码为全0时，它所对应的真值最时，它所对应的真值最小，为全小，为全1时，它所对应的真值最大。时，它所对应的真值最大。(3)真值真值0在移码中的表示形式是唯一在移码中的表示形式是唯一的，即的，即+0移移=-0移移=1000。(4)移码把真值映射到一个正数域，所移码把真值映射到一个正数域，所以可将移码视为无符号数，直接按无符号以可将移码视为无符号数，直接按无符号数规则比较大小。数规则比较大小。计算机组成原理计算机组成原理北京理工大学计算机学院北京理工大学计算机学院 2.2 机器机器数的定点表示与浮点表示数的定点表示与浮点表示 (5)同一数值的移码和补码除
23、最高位相同一数值的移码和补码除最高位相反外，其他各位相同。反外，其他各位相同。浮点数的阶码常采用移码表示最主要浮点数的阶码常采用移码表示最主要的原因有：的原因有：便于比较浮点数的大小。阶码大的，其便于比较浮点数的大小。阶码大的，其对应的真值就大，阶码小的，对应的真对应的真值就大，阶码小的，对应的真值就小。值就小。简化机器中的判零电路。当阶码全为简化机器中的判零电路。当阶码全为0，尾数也全为尾数也全为0时，表示机器零。时，表示机器零。注意计算机组成原理计算机组成原理北京理工大学计算机学院北京理工大学计算机学院2.2 机器机器数的定点表示与浮点表示数的定点表示与浮点表示 2.2.5 IEEE754
24、标准浮点数标准浮点数 大多数计算机的浮点数采用大多数计算机的浮点数采用IEEE 754标准，其格式如下，标准，其格式如下，IEEE754标准中有三种标准中有三种形式的浮点数。形式的浮点数。msEm类型类型 数符数符 m ms s 阶码阶码 E E 尾数尾数 m m 总位数总位数 偏偏置值置值 短浮点数短浮点数 1 1 8 8 2323 3232 7FH7FH 127127 长浮点数长浮点数 1 1 1111 5252 6464 3FFH3FFH 10231023 临时浮点数临时浮点数 1 1 1515 6464 8080 3FFFH3FFFH 1638316383 计算机组成原理计算机组成原理
25、北京理工大学计算机学院北京理工大学计算机学院 2.2 机器机器数的定点表示与浮点表示数的定点表示与浮点表示 以短浮点数为例讨论浮点代码与其真以短浮点数为例讨论浮点代码与其真值之间的关系。最高位为数符位；其后是值之间的关系。最高位为数符位；其后是8位阶码，以位阶码，以2为底，阶码的偏置值为为底，阶码的偏置值为127；其；其余余23位是尾数。为了使尾数部分能表示更多位是尾数。为了使尾数部分能表示更多一位的有效值，一位的有效值，IEEE754采用采用隐含尾数最高隐含尾数最高数位数位1（即这一位（即这一位1不表示出来）的方法，因不表示出来）的方法，因此尾数实际上是此尾数实际上是24位。应注意的是，位。
26、应注意的是，隐含的隐含的1是一位整数（即位权为是一位整数（即位权为20），在浮点格式，在浮点格式中表示出来的中表示出来的23位尾数是纯小数，并用原码位尾数是纯小数，并用原码表示。表示。计算机组成原理计算机组成原理北京理工大学计算机学院北京理工大学计算机学院2.2 机器机器数的定点表示与浮点表示数的定点表示与浮点表示 例例1：将：将(100.25)10转换成短浮点数格式。转换成短浮点数格式。(1)十进制数十进制数二进制数二进制数 (100.25)10=(1100100.01)2 (2)非规格化数非规格化数规格化数规格化数 1100100.01=1.1001000126 (3)计算移码表示的阶码（
27、偏置值阶码真值）计算移码表示的阶码（偏置值阶码真值）1111111+110=10000101计算机组成原理计算机组成原理北京理工大学计算机学院北京理工大学计算机学院2.2 机器机器数的定点表示与浮点表示数的定点表示与浮点表示 (4)以短浮点数格式存储该数。以短浮点数格式存储该数。符号位符号位=0 阶码阶码=10000101 尾数尾数=10010001000000000000000 短浮点数代码为短浮点数代码为 0;100 0010 1;100 1000 1000 0000 0000 0000 表示为十六进制的代码：表示为十六进制的代码：42C88000H。计算机组成原理计算机组成原理北京理工大
28、学计算机学院北京理工大学计算机学院2.2 机器机器数的定点表示与浮点表示数的定点表示与浮点表示例例2：把短浮点数：把短浮点数C1C90000H转换成为十进制转换成为十进制数。数。(1)十六进制十六进制二进制形式，并分离出符号位、二进制形式，并分离出符号位、阶码和尾数。阶码和尾数。C1C90000H=1;10000011;10010010000000000000000阶码阶码符号位符号位尾数尾数计算机组成原理计算机组成原理北京理工大学计算机学院北京理工大学计算机学院2.2 机器机器数的定点表示与浮点表示数的定点表示与浮点表示 (2)计算出阶码真值（移码偏置值）计算出阶码真值（移码偏置值）1000
29、0011-1111111=100 (3)以规格化二进制数形式写出此数以规格化二进制数形式写出此数 1.100100124 (4)写成非规格化二进制数形式写成非规格化二进制数形式 11001.001 (5)转换成十进制数，并加上符号位。转换成十进制数，并加上符号位。(11001.001)2=(25.125)10 所以，该浮点数所以，该浮点数=-25.125计算机组成原理计算机组成原理北京理工大学计算机学院北京理工大学计算机学院2.2 机器机器数的定点表示与浮点表示数的定点表示与浮点表示 2.2.6 定点定点/浮点表示法与定点浮点表示法与定点/浮点计算机浮点计算机1.定点定点/浮点表示法的区别浮点
30、表示法的区别 假设定点数和浮点数的字长相同。假设定点数和浮点数的字长相同。(1)数值的表示范围数值的表示范围 浮点表示法所能表示的数值范围将浮点表示法所能表示的数值范围将远远大于定点数。远远大于定点数。计算机组成原理计算机组成原理北京理工大学计算机学院北京理工大学计算机学院2.2 机器机器数的定点表示与浮点表示数的定点表示与浮点表示 应当注意的有两点：应当注意的有两点：不管定点数还是浮点数，每个数值都对应不管定点数还是浮点数，每个数值都对应于数轴上的一个点。所谓数的表示范围实于数轴上的一个点。所谓数的表示范围实际上指的只是数的上、下限，它们之间是际上指的只是数的上、下限，它们之间是一些不连续的
31、点，而不是一段连续的区间。一些不连续的点，而不是一段连续的区间。对于定点数而言，各个点在数轴上的分布对于定点数而言，各个点在数轴上的分布是均匀的；而对于浮点数而言，各个点在是均匀的；而对于浮点数而言，各个点在数轴上的分布是不均匀的，越靠近数轴的数轴上的分布是不均匀的，越靠近数轴的原点，两个相邻数之间的距离就越近。原点，两个相邻数之间的距离就越近。计算机组成原理计算机组成原理北京理工大学计算机学院北京理工大学计算机学院2.2 机器机器数的定点表示与浮点表示数的定点表示与浮点表示 (2)精度精度 浮点数虽然扩大了数的表示范围，浮点数虽然扩大了数的表示范围，但这正是以降低精度为代价的，也就是但这正是
32、以降低精度为代价的，也就是数轴上各点的排列更稀疏了。数轴上各点的排列更稀疏了。计算机组成原理计算机组成原理北京理工大学计算机学院北京理工大学计算机学院2.2 机器机器数的定点表示与浮点表示数的定点表示与浮点表示 (3)数的运算数的运算 浮点运算要比定点运算复杂得多。浮点运算要比定点运算复杂得多。(4)溢出处理溢出处理 在定点运算时，当运算结果超出数在定点运算时，当运算结果超出数的表示范围，就发生溢出。而在浮点运的表示范围，就发生溢出。而在浮点运算时，运算结果超出尾数的表示范围却算时，运算结果超出尾数的表示范围却并不一定溢出，只有当阶码超出所能表并不一定溢出，只有当阶码超出所能表示的范围时，才发
33、生溢出。示的范围时，才发生溢出。计算机组成原理计算机组成原理北京理工大学计算机学院北京理工大学计算机学院2.2 机器机器数的定点表示与浮点表示数的定点表示与浮点表示2.定点机与浮点机定点机与浮点机 并不是所有的计算机都具有浮点运算功并不是所有的计算机都具有浮点运算功能，通常可以分为几档：能，通常可以分为几档：(1)定点机定点机 以定点运算为主，浮点运算是通过软件以定点运算为主，浮点运算是通过软件来实现的。来实现的。(2)定点机浮点运算部件定点机浮点运算部件 浮点运算部件（浮点运算部件（FPU）是专门用于对浮）是专门用于对浮点数进行运算的部件。点数进行运算的部件。(3)浮点机浮点机 具有浮点运算指令和基本的浮点运算器。具有浮点运算指令和基本的浮点运算器。
