1、洛阳市 20182019 学年上学期尖子生第二次联考 理科数学 编辑：华附南海实验高中 李志刚 微信&QQ：46890730 微信公众号：华海数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1已知集合 2 |230, |ln(2)Ax xxBx yx，则AB （ ） A(1,3) B(1,3 C 1,2) D( 1,2) 1答案：C 解析： 2 |230 | 13, |ln(2) |2Ax xxxxBx yxx x, | 12ABxx 2若复数 43 cossini 55 z 是纯虚数（i是虚数单位） ，则tan 4 的值
2、为（ ） A7 B 1 7 C7 D7或 1 7 2答案：A 解析：由复数z为纯虚数，得 4 cos0 5 3 sin0 5 ，即 4 cos 5 3 sin 5 ，又 22 sincos1，所以 3 sin 5 ， 所以 3 tan 4 ，于是 3 tantan1 44 tan7 34 1tantan11 44 3已知x与y之间的一组数据如表： x 0 1 2 3 y m 3 5.5 7 已求得y关于x的线性回归方程为2.10.85yx，则m的值为（ ） A1 B0.85 C0.7 D0.5 3答案：D 解析： 0 12335.5715.5 1.5 444 mm xy ，因为点( , )x
3、y在回归直线上， 所以 15.5 2.1 1.50.85 4 m ，解得0.5m 4在各项均为正数的等比数列 n a中， 1 2a ，且 245 ,2,aaa成等差数列，记 n S是数列 n a的前n项 和，则 5 S （ ） A32 B62 C27 D81 4答案：B 解析：设等比数列 n a的公比为 245 (0),2,q qaaa成等差数列， 254 2(2)aaa， 43 222(22)qqq，解得 5 5 2 (12 ) 2,62 1 2 qS 5已知定义在R上的函数( )f x满足()( ),(1)(1)fxf xf xfx ，且当0,1x时， 2 ( )log (1)f xx，则
4、(31)f（ ） A0 B1 C1 D2 5答案：C 解析：由()( )fxf x 可知函数( )f x关于点(0,0)对称，由(1)(1)f xfx可知函数( )f x关于直 线1x 对称，所以函数( )f x是双对称函数，从而是周期函数，周期为 4， 所以 2 (31)( 1)(1)log 21fff 6经过点(2,1)，且渐近线与圆 22 (2)1xy相切的双曲线的标准方程为（ ） A 22 1 11 11 3 xy B 2 2 1 2 x y C 22 1 11 11 3 yx D 22 1 11 11 3 yx 6答案：A 解析： 设双曲线的渐近线方程为ykx， 即0kxy， 由渐近
5、线与圆 22 (2)1xy相切可得圆心(0,2) 到渐近线的距离等于半径 1，由点到直线的距离公式可得 2 02 1 1 k k ，解得3k 因为双曲线过点 (2,1)，所以双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的方程为 22 22 1(0,0) xy ab ab ，将点(2,1)代入可得 22 41 1 ab ，又3 b a ，可得 22 41 1 3aa ，解得 22 11, 11 3 ab，故所求曲线的方程为 22 1 11 11 3 xy 7某几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面与底面的面积的比值为（ ） A 1 3 B 2 3 C 2 5 D 4 5 7答案：C 解析
6、：由三视图可知，该几何体是高为 4 的四棱锥，如图所示，记为PABCD易知面积最小的面为左 侧面，其面积为 1 1 42 2 将底面ABCD补为梯形BCDE，则底面ABCD的面积为 11 (24) 22 15 22 ，所以面积最小的面与底面的面积的比值为 2 5 P A B C D E 1 2 1 4 4 8在ABC中，点D在线段BC上，且2BDDC ，点O在线段CD上（与点,C D不重合） 若 (1)AOxABx AC ，则x的取值范围是 （ ） A(0,1) B 2 ,1 3 C 1 0, 3 D 1 2 , 3 3 8答案：C 解析： (1)AOxABx ACx ABACAC ，即 AO
7、ACx ABAC ， ,2,3 CO COxCBxBDDCBCDC CB ， 则 1 0 3 CO x BC ，x的取值范围是 1 0, 3 9四棱锥SABCD的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当 此四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于88 3，则球O的体积等于（ ） A 32 3 B 32 2 3 C16 D16 2 3 9答案：A 解析： 由题意得， 当此四棱锥的体积取得最大值时， 四棱锥为正四棱锥 如图， 连接AC， 则球心O为AC 的中点，连接SO，设球O的半径为R，则2 ,ACR SOR，2ABBCR取AB的中点E， 连接,OE SE， 则 1
8、2 22 OEBCR， 22 6 2 SESOOER， 因为该四棱锥的体积取得最大值时， 其表面积等于88 3， 2 16 ( 2 )4288 3 22 RRr ，解得2R ， 所以球的体积为 3 432 33 R S A B C D O E 10某校从甲、乙、丙等 8 名教师中选派 4 名同时去 4 个边远地区支教（每地 1 名教师） ，其中甲和乙不 能都去，甲和丙都去或都不去，则不同的选派方案有（ ） A900 种 B600 种 C300 种 D150 种 10答案：B 解析：第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，再从剩余的 5 名教师中选 2 名，不同的选派方案有 24 54 240CA
9、（种） ； 第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，从乙和剩余的 5 名教师中选 4 名，不同的选派方 案有 44 64 360CA（种） 所以不同的选派方案共有240360600（种） 11如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点(0,3)S，,SA SB与圆 22 :0 (0)C xymym和抛物 线 2 2(0)xpy p 都相切，切点分别为,M N和,A B，/SAON，则点A到抛物线准线的距离为 （ ） A4 B2 3 C3 D3 3 11答案：A 解析： 连接,OMSM SN是圆C的切线，,SMSNOMON 又/,/,SAONSMON四 边形SMON是菱形，MSNMON 连
10、接MN，由切线的性质得SMNMON ，则SMN 为正三角形，又MN平行于x轴，所以直线SA的斜率tan603k 设 00 (,)A xy， 则 0 0 3 3 y x 又点A在抛物线上， 2 00 2xpy 由 2 2xpy ，得 2 1 , 2 x yyx pp ，则 0 1 3x p 由得 0 3,2yp ，所以点A到抛物线准线的距离为 0 4 2 p y C NM BA S O 12已知函数( )f x的图象在点 00 (,()xf x处的切线为:( )l yg x，若函数( )f x满足xI （其中I为 函数( )f x的定义域） ， 当 0 xx时， 0 ( )( )()0f xg
11、xxx恒成立， 则称 0 x为函数( )f x的 “转折点” 已 知函数 2 ( )lnf xxaxx在(0, e上存在一个“转折点” ，则a的取值范围为（ ） A 2 1 , 2e B 2 1 1, 2e C 2 1 ,1 2e D 2 1 , 2e 12答案：D 解析：由题可知，( )0fx在(0, xe上有解， 由 2 ( )lnf xxaxx，得 2 11 ( )21,( )2fxaxfxa xx ， 由( )0fx得 2 1 2a x ， 22222 11111 (0, ,2, 2 xeaa xexee 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上
12、 13已知 0 3sinmxdx ，则(2)mabc的展开式中 23m ab c 的系数为 （用数字作答） 13答案：240 解析： 0 0 3sin3cos6mxdxx ，则 6 (2)abc的展开式中含 23 ab c的项为 122323 65 (2 ) ()240C C abcab c 14 已知, x y满足 2 4 20 x xy xym 若目标函数3zxy的最大值为 10， 则z的最小值为 14答案：5 解析：作出不等式组 2 4 x xy 所表示的平面区域如图所示，再作出直线310xy，与该区域边界的 交点为(3,1)A，则直线20xym必过点(3,1)A，所以5m ，作出原不等
13、式组表示的可行域为如图 所示的ABC，显然3zxy在点(2, 1)B处取得最小值 5 4 2 5 O A 2x 4xy 310xy 250xy B C 15某同学同时掷两颗均匀的正方体骰子，得到的点数分别为, a b，则椭圆 22 22 1 xy ab 的离心率 3 2 e 的概率为 15答案： 1 3 解析：同时掷两个均匀的正方体骰子，得到的点数分别为, a b，共有 11 66 36C C 种情况 当ab时，离心率 2 2 3 1 2 b e a ，所以2ab，符合2ab的有 345656 , 111122 aaaaaa bbbbbb 共 6 种情况 同理，当ab时，符合离心率 3 2 e
14、 的情况也有 6 种 综上可知，离心率 3 2 e 的概率为 661 363 16已知数列 n a的前n项和为 n S，对任意 1 ,( 1)3 2 n nn n nSan N，且 1 ()()0 nn tata 恒 成立，则实数t的取值范围是 16答案： 3 11 , 4 4 解析：当1n 时， 111 1 1 3 2 aSa ，解得 1 3 4 a 当2n时， 11 111 1 111 ( 1)3( 1)(1)3( 1)( 1)1 222 nnnn nnnnnnn nnn aSSananaa 若n为偶数，则 1 1 11 1,1 22 nn nn aa （n为正奇数） ； 若n为奇数，则
15、1 11 1111 212113 2222 nn nnnn aa ， 1 3 2 n n a（n为正偶数） 当n为正奇数时，数列 n a为递减数列，其最大值为 1 3 4 a ， 当n为正偶数时，数列 n a为递增数列，其最小值为 2 2 111 3 24 a 若 1 ()()0 nn tata 恒成立，则 311 44 t 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分） 如图，在平面四边形ABCD中，ABC为锐角，,ADBD
16、 AC平分,2 3,36BAD BCBD， BCD的面积 3( 23) 2 S （1）求CD； （2）求ABC 17 解析：（1） 在BCD中， 113( 23) sin(36) 2 3 sin 222 SBD BCCBDCBD ， 解得 1 sin 2 CBD2 分 CBD为锐角，30CBD3 分 在BCD中，由余弦定理得 22222 3 2cos(2 3)(36)2 2 3(36)9 2 CDBCBDBC BDCBD 4 分 3CD5 分 （2）在BCD中，由正弦定理得 sinsin BCCD BDCCBD ，即 2 33 sinsin30BDC ， A BC D 解得 3 sin 3 B
17、DC6 分 ,BCBDBDC为锐角， 6 cos 3 BDC7 分 在ACD中，由正弦定理得 sinsin ACCD ADCCAD ，即 3 sinsin AC ADCCAD 8 分 在ABC中，由正弦定理得 sinsin ACBC ABCBAC ，即 2 3 sinsin AC ABCBAC 9 分 AC平分,BADCADBAC 由得 sin3 sin2 3 ABC ADC ，而 6 sinsin(90)cos 3 ADCBDCBDC ， 解得 2 sin 2 ABC11 分 ABC为锐角，45ABC12 分 18 （本小题满分 12 分） 如图， 已知四棱锥PABCD， 底面ABCD是直角
18、梯形，/ADBC，90BCD，PA 底面ABCD， ABM是边长为 2 的等边三角形，2 3PADM （1）求证：平面PAM 平面PDM； （2）若E为PC的中点，求二面角PMDE的余弦值 A B C D P M E 18解析： （1）ABM是边长为 2 的等边三角形，底面ABCD是直角梯形， 3CD，又2 3,3DMCM，1 分 3 14AD ，2 分 222, ADDMAMDMAM3 分 PA 底面,ABCDDMPA，又,AMPAADM平面PAM，4 分 DM 平面PDM，所以平面PAM 平面PDM5 分 （2）以D为坐标原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，过点D且与PA平行的直
19、线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则(0,0,0),( 3,0,0),( 3,3,0),(0,4,2 3)DCMP6 分 则( 3,3,0),(0,4,2 3)DMDP ，设平面PMD的法向量 1111 ( ,)nx y z ， 则 111 111 330 42 30 n DMxy n DPyz ，取 1 3x ，则 111 3,2,(3,3,2)yzn 8 分 E为PC的中点， 33 , 2,3 , 2,3 22 EDE 设平面MDE的法向量为 2222 (,)nxyz ，则 222 2222 330 3 230 2 nDMxy nDExyz ， 取 2 3x ，则 222
20、11 3,3,3, 22 yzn 10 分 12 12 12 13 cos, 14 n n n n nn ，11 分 所以二面角PMDE的余弦值为 13 14 12 分 A B C D P M E x y z 19 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，短轴长为 2 （1）求椭圆C的标准方程； （2） 设直线: l ykxm与椭圆C交于,M N两点，O为坐标原点， 若 5 4 OMON kk，求证；点( , )m k在 定圆上 19 （1）设椭圆C的焦距为2c，由已知 222 3 , 22, 2 c ebabc a ，得1,2ba
21、， 所以椭圆C的标准方程为 2 2 1 4 x y4 分 （2）设 1122 ( ,),(,)M x yN xy，联立得 2 2 1 4 ykxm x y ， 222 (41)8440kxkmxm， 依题意， 222 (8)4(41)(44)0kmkm ，化简得 22 41mk 由韦达定理得： 2 1212 22 84(1) , 4141 kmm xxx x kk ，6 分 22 12121212 ()()()y ykxm kxmk x xkm xxm， 若 5 4 OMON kk，则 12 12 5 4 y y x x ，即 1212 45y yx x， 22 121212 44()45k
22、x xkm xxmx x， 2 22 22 4(1)8 (45)440 4141 mkm kkmm kk ， 即 222222 (45)(1)8(41)0kmk mmk，化简得 22 5 4 mk 9 分 由得 22 615 0, 5 204 mk，所以点( , )m k在定圆 22 5 4 xy上12 分 20 （本小题满分 12 分） 现有两种投资方案，一年后投资盈亏情况如下表： 投资结果 获利 40% 不赔不赚 亏损 20% 投资股市： 概率 1 2 1 8 3 8 投资结果 获利 20% 不赔不赚 亏损 10% 购买基金 概率 p 1 3 q （1）当 1 4 p 时，求q的值 （2）
23、已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人 获利的概率大于 4 5 ，求p的取值范围 （3）丙要将家中闲置的 10 万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种， 已知 11 , 26 pq，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？请说明理由 20 （1）因为“购买黄金”后，投资结果只有“获利” 、 “不赔不赚” 、 “亏损”三种，且三种投资结果相互 独立， 1 1 3 pq1 分 又 15 , 412 pq 2 分 （2）记事件 A 为“甲投资股市且获利” ，事件 B 为“乙购买基金且获利” ，事件 C
24、 为“一年后甲、乙两人 中至少有一人投资获利” ，则()()()CABABAB，且,A B相互独立 由题意可知， 1 ( ),( ) 2 P AP Bp， 111114 ( )()()()(1) 222225 P CP ABP ABP ABpppp，4 分 解得 3 5 p ，又 1 1,0 3 pqq， 2 3 p6 分 p的取值范围是 3 2 , 5 3 7 分 （3）假设丙选择“投资股市”的方案进行投资，记 X 为丙投资股市的获利金额（单位：万元） ，则随机变 量 X 的分布列为： X 4 0 2 P 1 2 1 8 3 8 则 1135 ()40( 2) 2884 E X 9 分 假设
25、丙选择“购买基金”的方案进行投资，记 Y 为丙购买基金的获利金额（单位：万元） ，则随机变量 Y 的分布列为： Y 2 0 1 P 1 2 1 3 1 6 则 1115 ( )20( 1) 2366 E Y 11 分 ()( ),E XE Y丙选择“投资股市” ，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大12 分 21 （本小题满分 12 分） 已知函数( )f x满足2 (2)( )f xf x，当(0,2)x时， 1 ( )ln 2 f xxax a ，当( 4, 2)x 时， ( )f x的最大值为4 （1）求(0,2)x时，函数( )f x的解析式 （2）是否存在实数b使得不等式 ( )
26、xb x f xx 对(0,1)(1,2)x时恒成立？ 若存在，求出实数b的取 值集合；若不存在，说明理由 21解析： （1）若( 4, 2)x ，则4(0,2)x，又( )2 (2)4 (4)f xf xf x， ( 4, 2)x 时，( )4ln(4)4 (4)f xxa x，2 分 1 4 4 ( )44 44 x a fxaa xx 3 分 11 ,442 2 a a ，所以当 1 4,4x a 时，( )0,( )fxf x为增函数， 当 1 4, 2x a 时，( )0,( )fxf x为减函数， max 111 ( )44ln44f xfa aaa ，5 分 1,a 当(0,2)
27、x时，( )lnf xxx6 分 （2）当(0,1)(1,2)x时，不等式 ( ) xb x f xx 恒成立，即 ln xb x x 恒成立7 分 当(0,1)x时， ln xb x x ，即lnbxxx，令( )ln ,(0,1)g xxxxx， 则 ln12ln2 ( )1 22 xxx g x xxx ，令( )2ln2,(0,1)h xxxx， 则当(0,1)x时， 111 ( )0,( )(1)0 x h xh xh xxx ， ( ) ( )0,( )(1)1 2 h x g xg xg x ，故此时只需1b即可 当(1,2)x时， ln xb x x ，即lnbxxx，令( )
28、ln ,(1,2)xxxxx， 则 ln12ln2 ( )1 22 xxx x xxx ，令( )2ln2,(1,2)m xxxx， 则当(1,2)x时， 111 ( )0,( )(1)0 x m xm xm xxx ， ( ) ( )0 2 m x x x ， ( )(1)1x，故此时只需1b即可 综上所述，1b ，因此b的取值集合为112 分 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所作的第一题计分 22 【选修 44：坐标系与参数方程】 （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系
29、，曲线 1 C的极坐标方程为2cos （1）若曲线 2 C的参数方程为 cos 1sin xt yt （为参数） ，求曲线 1 C的直角坐标方程和曲线 2 C的普通方 程； （2）若曲线 2 C的参数方程为 cos 1sin xt yt （t为参数） ，(0,1)A，且曲线 1 C与曲线 2 C的交点分别为 ,P Q，求 11 APAQ 的取值范围 22解析： （1）2cos，即 2 2 cos1 分 222, cosxyx，所以曲线 1 C的直角坐标方程为 22 20xyx3 分 将曲线 2 C的参数方程消去参数，可得曲线 2 C的普通方程为 222 (1)xyt5 分 （2）将曲线 2 C
30、的参数方程为 cos 1sin xt yt （t为参数）代入 1 C的方程： 22 20xyx， 得： 2 (2sin2cos)10tt 6 分 22 (2sin2cos)48sin40 4 ， 2 12 sin,sin,1 4242 7 分 设,P Q对应的参数分别为 12 ,tt， 则 121 2 (2sin2cos)2 2sin,1 4 ttt t 8 分 1 212 10,t tt t 同号， 1212 tttt由t的几何意义可得 1212 12 12121 2 1111 2 2 sin 4 tttt tt APAQttttt t ， 11 (2,2 2 APAQ 10 分 23 【选
31、修 45：不等式选讲】 （本小题满分 10 分） 已知( )3 ,( )f xxg xxk（其中2k） （1）若4k ，求( )( )9f xg x的解集； （2）1,2x ，不等式( )( )f xg xkx恒成立，求实数k的值 23解析： （1）若4k ，则( )( )9f xg x，即349xx，1 分 即 3 349 x xx 或 3 349 x xx 4 4 或 4 349 x xx ，3 分 解得13x 或34x或48x，4 分 所以原不等式的解集为 | 18xx 5 分 （2）2k ，且1,2x，30,0xxk ，6 分 ( )33,( )f xxx g xxkkx，7 分 则1,2x ，不等式( )( )f xg xkx恒成立， 即1,2x ，3kkx，即32xk 恒成立，9 分 42k ，即2k ，又2k，2k10 分
