1、 北京市北京市 20012001- -20122012 年中考数学试题分类解析年中考数学试题分类解析 专题专题 1212：押轴题：押轴题 一、一、选择题选择题 1. （2001 年年北京市北京市 4 分）分）已知梯形的上底长是 3cm，它的中位线长是 4cm，则它的下底长等于【 】 A3cm B3.5cm C5cm D5.5cm 2. （2002 年年北京市北京市 4 分）分） 如图， 在平行四边形 ABCD 中， CE 是DCB 的平分线， F 是 AB 的中点， AB=6， BC=4， 则 AE：EF：FB 为【 】 3. （2003 年年北京市北京市 4 分）分）三峡工程在 6 月 1
2、日于 6 月 10 日下闸蓄水期间，水库水位由 106 米升至 135 米，高 峡平湖初现人间，假设水库水位匀速上升，那么下列图象中，能正确反映这 10 天水位 h（米）随时间 t（天） 变化的是【 】 A. 4. （2004 年年北京市北京市 4 分）分）如图，点 A、D、G、M 在半圆 O 上，四边形 ABOC、DEOF、HMNO 均为矩形，设 BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式中正确的是【 】 5. （2005 年年北京市北京市 4 分）分）如下图，在平行四边形 ABCD 中，DAB=60 ，AB=5，BC=3，点 P 从起点 D 出发， 沿 DC、CB 向终点 B 匀速运动设点
3、P 所走过的路程为 x，点 P 所经过的线段与线段 AD、AP 所围成图形的面 积为 y，y 随 x 的变化而变化在下列图象中，能正确反映 y 与 x 的函数关系的是【 】 6. （2006 年年北京市大纲北京市大纲 4 分）分）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，B=90 ，AD=1，AB= 2 3 ，BC=2， P 是 BC 边上的一个动点(点 P 与点 B 不重合)，DEAP 于点 E。设 AP=x，DE=y。在下列图象中，能正确 反映 y 与 x 的函数关系的是【 】 7. （2006 年年北京市课标北京市课标 4 分）分）将如图所示的圆心角为90的扇形纸片 AOB 围成圆锥形纸帽，
4、使扇形的两条半 径 OA 与 OB 重合（接缝粘贴部分忽略不计），则围成的圆锥形纸帽是【 】 8. （2007 年年北京市北京市 4 分）分）下图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图，那 么这个展开图是【 】 9. （2008 年年北京市北京市 4 分）分）已知 O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点 P 在 OM 上一只蜗牛从 P 点出发， 绕圆锥侧面爬行，回到 P 点时所爬过的最短路线的痕迹如左图所示若沿 OM 将圆锥侧面剪开并展开，所得侧 面展开图是【 】 10. （2009 年年北京市北京市 4 分）分） 如图，C 为O 直径 AB 上一动点，过点 C
5、的直线交O 于 D、E 两点，且 ACD=45 ，DFAB 于点 F，EGAB 于点 G，当点 C 在 AB 上运动时，设 AF=x，DE=y，下列中图 象中，能表示y与x的函数关系式的图象大致是【 】 11. （2010 年年北京市北京市 4 分）分）美术课上，老师要求同学们将下图所示的白纸只沿虚线裁开，用裁开的纸片和白纸 上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下列四个示意图中，只有一个 符合上述要求，那么这个示 意图是【 】 12.（2011 年年北京市北京市 4 分）分）如图在 RtABC 中，ACB=90 ，BAC=30 ，AB=2，D 是 AB 边上的一个动点（不 与点 A、
6、B 重合），过点 D 作 CD 的垂线交射线 CA 于点 E设 AD=，CE=，则下列图象中，能表示y与 x 的函数关系图象大致是【 】 13. （2012 年北京年北京市市 4 分）分） 小翔在如图 1 所示的场地上匀速跑步，他从点 A 出发，沿箭头所示方向经过点 B 跑到点 C，共用时 30 秒他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程设小翔跑步的时间为 t （单位：秒） ，他与教练的距离为 y（单位：米） ，表示 y 与 t 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则这个 固定位置可能是图 1 中的【 】 A点 M B点 N C点 P D点 Q 二、填空题二、填空题 1. （2001 年
7、年北京市北京市 4 分）分） 已知两圆内切， 圆心距为 2cm， 其中一个圆的半径为 3cm， 那么另一个圆的半径为 cm 2. （2002 年年北京市北京市 4 分）分）一种圆筒状包装的保鲜膜，如图所示，其规格为 20cm 60m，经测量这筒保鲜膜的内 径 1、外径 的长分别为 3.2cm，4.0cm，则该种保鲜膜的厚度约为 cm（ 取 3.14，结果保留两位 有效数字） 3. （2003 年年北京市北京市 4 分）分）观察下列顺序排列的等式： 9 0+1=1 9 1+2=11 9 2+3=21 9 3+4=31 9 4+5=41 猜想：第 n 个等式（n 为正整数）应为 。 4. （200
8、4 年年北京市北京市 4 分）分）我们学习过反比例函数例如，当矩形面积 S 一定时，长 a 是宽 b 的反比例函 数，其函数关系式可以写为a= S b （S 为常数，S0） 请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数 关系式 实例： ； 函数关系式： 5.（2005 年年北京市北京市 4 分）分）在ABC 中，B=25 ，AD 是 BC 边上的高，并且 AD2=BDDC，则BCA 的度数为 6. （2006 年年北京市大纲北京市大纲 4 分）分）如果a2，b3，那么 2 a b的值等于 。 7. （2006 年年北京市课标北京市课标 4 分）分）如
9、图，在ABC 中，AB=ACM、N 分别是 AB、AC 的中点，D、E 为 BC 上的点， 连接 DN、EM若 AB=13cm，BC=10cm，DE=5cm，则图中阴影部分的面积为 2 cm 8. （2007 年年北京市北京市 4 分）分）下图是对称中心为点 O 的正六边形。如果用一个含 30 角的直角三角板的角，借助点 O（使角的顶点落在点 O 处），把这个正六边形的面积 n 等分，那么 n 的所有可能的值是 。 9. （2008 年年北京市北京市 4 分）分）一组按规律排列的式子： 2 b a ， 5 2 b a ， 8 3 b a ， 11 4 b a ，（ab0），其中第 7 个式 子
10、是 ，第n个式子是 （n为正整数） 10. （2009 年年北京市北京市 4 分）分）如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 1，M、N 分别是 AD、BC 边上的点，将纸 片的一角沿过点 B 的直线折叠，使 A 落在 MN 上，落点记为 A，折痕交 AD 于点 E，若 M、N 分别是 AD、 BC 边的中点，则 AN= ; 若 M、N 分别是 AD、BC 边的上距 DC 最近的 n 等分点（n2,且 n 为整数），则 AN= （用含有 n 的式子表示） 11. （2010 年年北京市北京市 4 分）分）下图为手的示意图，在各个手指间标记字母 A，B，C，D.请你按图中箭头所指 方向（即 ABC
11、DCBABC的方式）从 A 开始数连续的正整数 1，2，3，4，当数到 12 时， 对应的字母是 ； 当字母 C 第 201 次出现时， 恰好数到的数是 ； 当字母 C 第2n1 次出现时（n为正整数），恰好数到的数是 （用含n的代数式表示）. 12. （2011 年年北京市北京市 4 分）分）在下表中，我们把第 i 行第 j 列的数记为ai，j（其中 i，j 都是不大于 5 的正整数）， 对于表中的每个数ai，j， 规定如下： 当 ij 时，ai，j=1； 当 ij 时，ai，j=0 例如： 当 i=2， j=1 时，ai，j=a2，1=1 按 此规定，a1，3= ；表中的 25 个数中，共
12、有 个 1；计算a1，1ai，1+a1，2ai，2+a1，3ai，3+a1，4ai， 4+a1，5ai，5的值为 【答案】【答案】0，15，1。 【考点】【考点】探索规律题（数字的变化类）。 【分析】【分析】由题意，从 i 与 j 之间大小分析，很容易求出表中各 数： 从而得出a1，3=0。表中的 25 个数中，共有 15 个 1。 a1，1 a1，2 a1，3 a1，4 a1，5 a2，1 a2，2 a2，3 a2，4 a2，5 a3，1 a3，2 a3，3 a3，4 a3，5 a4，1 a4，2 a4，3 a4，4 a4，5 a5，1 a5，2 a5，3 a5，4 a5，5 a1，1=1
13、a1，2=0 a1，3=0 a1，4=0 a1，5=0 a2，1=1 a2，2=1 a2，3=0 a2，4=0 a2，5=0 a3，1=1 a3，2=1 a3，3=1 a3，4=0 a3，5=0 a4，1=1 a4，2=1 a4，3=1 a4，4=1 a4，5=0 a5，1=1 a5，2=1 a5，3=1 a5，4=1 a5，5=1 并计算： a1，1ai，1+a1，2ai，2+a1，3ai，3+a1，4ai，4+a1，5ai，5 =1 1+0ai，2+0ai，3+0ai，4+0ai，5 =1。 13. （2012 年北京年北京市市 4 分）分）在平面直角坐标系xOy中，我们把横 、纵坐标都是
14、整数的点叫做整点已知 点 A（0，4） ，点 B 是x轴正半轴上的整点，记AOB 内部（不包括边界）的整点个数为 m当 m=3 时， 点 B 的横坐标的所有可能值是 ；当点 B 的横坐标为 4n（n 为正整数）时，m= （用含 n 的代数式表示 ） AOB 内部（不包括边界）的整点个数 m=（12 n33） 2=6n3。 三、解答题三、解答题 1. （2001 年年北京市北京市 10 分）分）如图，ABC 内接于O，AB 是O 的直径，PA 是过 A 点的直线，PAC=B， （1）求证：PA 是O 的切线； （2） 如果弦 CD 交 AB 于 E， CD 的延长线交 PA 于 F， AC=8，
15、 CE： ED=6： 5， AE： EB=2： 3， 求 AB 的长和ECB 的正切值 设 BC=m，同理可求得 AD= 5 3 m。 AB 是直径，ACB、ADB 是直角三角形. 由勾股定理，得： 22222 ABACBCADBD， 即 2 2 22 5 8mm4 5 3 ，解得 m=6。 BC=6，AD=25。 22 BD ABACBC10tan ECBtan DAB2 AD ，。 【考点】【考点】圆周角定理，切线的判定，相交弦定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义。 【分析】【分析】（1） 要证 PA 是O 的切线， 只要证PAO=90 即可， AB 为直径， CAB+
16、CBA=90 ， 又PAC=B， 所以CAB+PAC=90 即 PA 是O 的切线。 （2）连接 AD、BD；可设 CE=6x，AE=2y，进而根据已知条件，用 x、y 表示出 DE、BE 的长，由相交 弦定理，即可求得 x、y 的比例关系；易证得AECBED，根据所得成比例线段，即可求得 BD 的长，同理 可设 BC=m， 由BECDEA， 求得 AD 的表达式； 在 RtADB 和 RtACB 中， 可由勾股定理分别表示出 AB2， 即可得到关于 m 的方程，从而求出 m 的值，即 BC 的长，即可由勾股定理求得 AB 的长。根据圆周角定理知： ECB=DAB，因此只需在 RtABD 中，
17、求出DAB 的正切值即可。 2. （2001 年年北京市北京市 12 分）分）已知抛物线 2 1 yxn1 x2n 2 (n0)经过点以点 A（x1，0）B（x2，0），D （0，y1），其中 x1x2，ABD 的面积等于 12 （1）求这条抛物线的解析式及它的顶点坐标； （2）如果点以 C（2，y2）在这条抛物线上，点 P 在 y 轴的正半轴上，且BCP 为等腰三角形，求直线 PB 的 解析式 P1（0， 1 2 ），符合题意。直线 P1B 的解析式为 11 yx 82 。 如图 2，设 P2（0，m2），满足 P2B=BC，其中 m20。 由勾股定理得， 2222 2 OBOP42， 即
18、2222 2 4m42，解得 m2=2（舍去），m2=2。 P2（0，2），符合题意，直线 P2B 的解析式为yx2 设 P3（0，m3），满足 P3C=BC，其中 m30， 由勾股定理得， 2222 3 DPCD42，即2 222 3 4m242。 解得 m3=0（舍去），m3=8。 P3（0，8），直线 P3B 的解析式为y2x8 。 C（2，4）在 P3B 上，P3不符合题意，舍去。 综上所述，直线 PB 的解析式为 11 yx 82 ，yx2 。 【考点】【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定，分类思想的应用。 【分析】【分析】（1）根据抛物线的解析式表示
19、出 A、B 的横坐标，可得出 AB 的长，然后根据ABD 的面积为 12，可 求出 n 的值即可求出抛物线的解析式，进而可求出顶点坐标。 （2）分 PB=PC，PB=BC，PC=BC 三种情况讨论即可。 3. （2002 年年北京市北京市 9 分）分）如图，AB 是O 的直径，AE 平分BAF 交O 于点 E，过点 E 作直线与 AF 垂直交 AF 延长线于 D 点，且交 AB 延长线于 C 点 （1）求证：CD 与O 相切于点 E； （2）若 CEDE= 15 4 ，AD=3，求O 的直径及AED 的正切值 54xx 58x3 ，解得 x=1（舍去）或 x=15 8 ， O 直径为15 4
20、。CA=CB+BA=5。 由切割线定理知 CE2=CBCA= 25 4 ，CE= 5 2 。 1513 DE 4CE2 。 tanAED= AD 2 DE 。 【考点】【考点】角平分线定义，平行的判定和性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。 【分析】【分析】（1）由题可知，E 已经是圆上一点，欲证 CD 为切线，只需证明OED=90 即可。 （2） 欲求圆的直径， 必须求出半径 OA 或 OB 或 OE， 可以把题中所求部分抽象到相似三角形中来考虑， 借助于比例线段来求解。AED 的正切值则可求出 AD 以及 ED 的值。 4. （2002 年年北京市北京市 12 分）分
21、）已知：二次函数 2 yxkxk4的图象与 y 轴交于点 C，且与 x 轴的正半轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧）若 A、B 两点的横坐标为整数， （1）确定这个二次函数的解析式并求它的顶点坐标； （2）若点 D 的坐标是（0，6），点 P（t，0）是线段 AB 上的一个动点，它可与点 A 重合，但不与点 B 重合设 四边形 PBCD 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式； （3）若点 P 与点 A 重合，得到四边形 ABCD，以四边形 ABCD 的一边为边，画一个三角形，使它的面积等于 四边形 ABCD 的面积，并注明三角形高线的长再利用“等底等高的三角形面积相等”的知识，
22、画一个三角形， 使它的面积等于四边形 ABCD 的面积（画示意图，不写计算和证明过程） S= 11 12 66t 22 S 与 t 的函数关系式S363t 2t6（ ）。 （3）作图如下： 5. （2003 年年北京市北京市 8 分）分）已知：在 ABC 中，AD 为BAC 的平分线，以 C 为圆心，CD 为半径的半圆交 BC 的延长线于点 E，交 AD 于点 F，交 AE 于点 M，且B=CAE，FEFD=43。 （1）求证：AF=DF. （2）求AED 的余弦值； （3）如果 BD=10，求 ABC 的面积。 【考点】【考点】等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，切割线定理，锐角三
23、角函数定义，相似三角形的 判定和性质，待定系数法的应用。 【分析】【分析】（1）欲证 AF=DF，可以证明 EA=ED，根据等腰三角形三线合一的性质得到，由已知通过角的等量代 换可以得到。 （2）求AED 的余弦值，即求 ME：DM，由已知条件，勾股定理，切割线定理的推论可以求出。 （3）根据ABC 的面积公式求出 BC，AN 的长是关键，根据题意由三角函数及相似比即可求出。 6. （2003 年年北京市北京市 8 分）分）已知：抛物线 2 yax4axt与 x 轴的一个交点为 A（1，0） （1）求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标； （2）D 是抛物线与 y 轴的交点，C 是抛物线上
24、的一点，且以 AB 为一底的梯形 ABCD 的面积为 9，求此抛物 线的解析式； （3）E 是第二象限内到 x 轴，y 轴的距离 的比为 5：2 的 点，如果点 E 在（2）中的抛物线上，且它与点 A 在此抛物线对称轴的同侧，问 ：在抛物线的对称轴上是否存在点 P， 使APE 的周长最小？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由。 2 3 =4 1 30 2 ，此方程无实数根。 此时不存在点 E。 7. （2004 年年北京市北京市 8 分）分） 已知： 如图 1， ACG900， AC2， 点 B 为 CG 边上的一个动点， 连结 AB， 将ACB 沿 AB 边所在的直线翻折得到AD
25、B，过点 D 作 DFCG 于点 F 当 BC 2 3 3 时，判断直线 FD 与以 AB 为直径的O 的位置关系，并加以证明； 如图 2，点 B 在 CG 上向点 C 运动，直线 FD 与以 AB 为直径的O 交于 D、H 两点，连结 AH， 当CABBADDAH 时，求 BC 的长 BC3 tan CAB AC3 。CAB=BAD=300。 又EDB=900，EB=2x。 EB+BC=EC ，2x+x=2。解得 x=222。 BC=222。 【考点】【考点】动点问题，翻折问题，翻折对称的性质，直角三角形斜边上中线的性质，锐角三角函数定义，特殊角 的三角函数值，等边三角形的判定和性质，平行的
26、判定和性质，切线的判定，圆内接四边形的判定和性质，勾 股定理。 【分析】【分析】（1）根据已知及切线的判定证明得，直线 FD 与以 AB 为直径的O 相切。 （2）根据圆内接四边形的性质及直角三角形的性质进行分析，从而求得 BC 的长。 8. （2004 年年北京市北京市 8 分）分）已知：在平面直角坐标系 xOy 中，过点 P(0，2)任作 一条与抛物线 yax2(a0) 交于两点的直线，设交点分别为 A、B若AOB90 ， 判断 A、B 两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值，并说明理由； 确定抛物线 yax2(a0)的解析式； 当AOB 的面积为4 2时，求直线 AB 的解析式 【答案】【答
27、案】解：（1）A、B 两点纵坐标的乘积是一个确定的值。理由如下： 直线 AB 过点 P(0，2)，设直线 AB 的解析式为 y=kx+2 2 21 =xx =2 k4， 9. （2005 年年北京市北京市 8 分）分）已知：在 RtABC 中，ABC=90 ，D 是 AC 的中点，O 经过 A、D、B 三点，CB 的延长线交O 于点 E（如图 1） 在满足上述条件的情况下，当CAB 的大小变化时，图形也随着改变（如图 2），在这个变化过程中，有些线 段总保持着相等的关系 （1）观察上述图形，连接图 2 中已标明字母的某两点，得到一条新线段与线段 CE 相等，请说明理由； （2）在图 2 中，过
28、点 E 作O 的切线，交 AC 的延长线于点 F 若 CF=CD，求 sinCAB 的值； 若 CF n CD （n0），试用含 n 的代数式表示 sinCAB（直接写出结果） 【答案】【答案】解：（1）连接 AE，则 AE=CE。理由如下： 如图，连接 OD， 设 AD=CD=k（k0），则 DF=n 1k， kDE DEn 1 k 。 DE=n 1k。 在 RtCDE 中，CE2=CD2+DE2=k2+（n 1k）2=3k2，CE=n2k。 CAB=DEC，sinCAB=sinDEC= CDkn2 CEn2n2k 。 10.（2005 年年北京市北京市 9 分）分）已知：在平面直角坐标系
29、xOy 中，一次函数 y=kx4k 的图象与 x 轴交于点 A，抛物 线 y=ax2+bx+c 经过 O、A 两点 （1）试用含 a 的代数式表示 b； （2）设抛物线的顶点为 D，以 D 为圆心，DA 为半径的圆被 x 轴分为劣弧和优弧两部分若将劣弧沿 x 轴翻折， 翻折后的劣弧落在D 内，它所在的圆恰与 OD 相切，求D 半径的长及抛物线的解析式； （3）设点 B 是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在 x 轴上方的部分上是否存在这样的点 P，使得 POA= 4 3 OBA？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 4a=2，a= 1 2 ，b=4a=2。 抛物线的解析式为
30、 y= 1 2 x22x。 当 a0 时，同理可得：OD=22，抛物线的解析式为 y= 1 2 x2+2x。 综上，D 半径的长为 22，抛物线的解析式为 y= 1 2 x22x 或 y= 1 2 x2+2x。 （3） 抛物线在 x 轴上方的部分上存在点 P， 使得POA= 4 3 OBA。 设点 P 的坐标为（x，y），且 y0， 当点 P 在抛物线 y= 1 2 x22x 上时（如图） 点 B 是D 的优弧上的一点, OBA= 1 2 ADO=45 。POA= 4 3 OBA=60 。 11. （2006 年年北京市大纲北京市大纲 8 分）分）已知：AB 是半圆 O 的直径，点 C 在 B
31、A 的延长线上运动(点 C 与点 A 不 重合)，以 OC 为直径的半圆 M 与半圆 O 交于点 D，DCB 的平分线与半圆 M 交于点 E。 （1）求证：CD 是半圆 O 的切线(图)； （2）作 EFAB 于点 F(图)，猜想 EF 与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明； （3）在上述条件下，过点 E 作 CB 的平行线 CD 于点 N，当 NA 与半圆 O 相切时(图)，求EOC 的正 切值。 【分析】【分析】（1）连接 OD，由直径对的圆周角是直角知CDO=90 ，再切线的判定方法即可判定 CD 是半圆 O 的 切线。 （2）连接 OD、OE，延长 OE 交 CD 于点 K，作 EG
32、CD 于点 G，则根据垂直于同一直线的两条 12. （2006 年年北京市大纲北京市大纲 9 分）分）已知：抛物线 y=x2+mx+2m2(m0)与 x 轴交于 A、B 两点，点 A 在点 B 的左边，C 是抛物线上一个动点(点 C 与点 A、B 不重合)，D 是 OC 的中点，连结 BD 并延长，交 AC 于点 E。 （1）用含 m 的代数式表示点 A、B 的坐标； （2）求 CE AE 的值； （3）当 C、A 两点到 y 轴的距离相等，且 CED S 8 5 时，求抛物线和直线 BE 的解析式。 OCE AOC SCE2 SCA5 。 CED AOC S1 S5 ， SAOC=5SCED
33、=8， 23 AOCC 11 SOA ym 2mm 22 ，m3=8，、解得 m=2。 抛物线的解析式为 y=-x2+2x+8，点 C 的坐标为（2，8），点 B 的坐标为（4，0）。 分别过点 D、C 作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 M、N， DMCN。 D 是 OC 的中点，OM= 1 2 ON=1，DM= 1 2 CN=4。 点 D 的坐标为（1，4）。 设直线 BE 的解析式为 y=kx+b， 则有： 4kb0 kb4 ，解得： 4 k 3 16 b 3 。 直线 BE 的解析式为 416 yx 33 。 【考点】【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三
34、角形的判定和性质。 【分析】【分析】（1）由 y=0，得出的一元二次方程的解就是 A、B 两点的横坐标由此可求出 A、B 的坐标。 13. （2006 年年北京市课标北京市课标 8 分）分）已知抛物线 2 yaxbxc与 y 轴交于点 A（0，3），与 x 轴分别交于 B（1， 0）、C（5，0）两点 （1）求此抛物线的解析式； （2）若点 D 为线段 OA 的一个三等分点，求直线 DC 的解析式； （3）若一个动点 P 自 OA 的中点 M 出发，先到达 x 轴上的某点（设为点 E），再到达抛物线的对称轴上某点 （设为点 F） ， 最后运动到点 A求使点 P 运动的总路径最短的点 E、 点
35、F 的坐标， 并求出这个最短总路径的长 点 A 关于抛物线对称轴 x=3 的对称点为A (6 3) ，。 连接AM （3）根据轴对称的性质，得点 M 关于 x 轴的对称点和点 A 关于抛物线对称轴 x=3 的对称点的连线AM的长 就是所求点 P 运动的最短总路径的长，AM与 x 轴的交点为所求 E 点，与直线 x=3 的交点为所求 F 点。求出 AM的解析式即可求得点 E、F 的坐标，由勾股定理即可求得AM的长即点 P 运动的最短总路径的长。 14. （2006 年年北京市课标北京市课标 8 分）分）我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等 对角线四边形请解答下列问题
36、： （1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称； （2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为 600时，这对 600角所对的两边之和与其中一条对角线 的大小关系，并证明你的结论 15. （2007 年年北京市北京市 7 分）分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 ymx2 3mxn经过 P（3，5），A（0， 2）两点。 （1）求此抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为 B，将直线 AB 沿 y 轴向下平移两个单位得到直线 l，直线 l 与抛物线的对称轴交于 C 点，求直线 l 的解析式； （3）在（2）的条件下，求到直线 OB，OC，BC 距离相等的点的
37、坐标。 【答案】【答案】解：（1）根据题意得 3m6mn5 n2 ，解得 1 m 3 n2 。 抛物线的解析式为： 2 12 3 yxx2 33 。 M1（ 2 3 3 ，0）、M2（0，2）、M3（0，2）、M4（2 3，0）。 【考点】【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，等边三角形的判定和性质， 16. （2007 年年北京市北京市 8 分）分）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。类似地，我们定义：至少有一 组对边相等的四边形叫做等对边四边形。 （1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； （2） 如图， 在ABC 中， 点 D，
38、E 分别在 AB， AC 上， 设 CD， BE 相交于点 O， 若A=60 ， DCB=EBC= 1 2 A。 请你写出图中一个与A 相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形； （3）在ABC 中，如果A 是不等于 60 的锐角，点 D，E 分别在 AB，AC 上，且DCB=EBC= 1 2 A。探 究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。 【考点】【考点】新定义，等腰梯形的性质， 全等三角形的判定和性质。 【分析】【分析】（1）理解等对边四边形的图形的定义，平行四边形，等腰梯形就是。 （2）与A 相等的角是BOD（或COE），四边形 DBCE 是等对边四边形。 （
39、3）作 CGBE 于 G 点，作 BFCD 交 CD 延长线于 F 点易证BCFCBG，从而证明 BDFCEG，所以 BD=CE所以四边形 DBCE 是等边四边形。 17. （2008 年年北京市北京市 7 分）分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 yxbxc与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，点 B 的坐标为（3，0），将直线 y=kx 沿 y 轴向上平移 3 个单位长度后恰好经过 B，C 两点 （1）求直线 BC 及抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为 D，点 P 在抛物线的对称轴上，且APD=ACB，求点 P 的坐标； （3）连接
40、CD，求OCA 与OCD 两角和的度数 0 OBC45，CB3 2。 如图 1，设抛物线对称轴与 x 轴交于点 F， 1 AFAB1 2 。 过点 A 作 AEBC 于点 E。 0 AEB90。可得BEAE2，CE2 2。 在AEC 与AFP 中， 0 AECAFP90，ACEAPF， AECAFP。 AECE AFPF ，即 22 2 1PF ，解得PF2。 点 P 在抛物线的对称轴上， 点 P 的坐标为（2，2）或（2，2）。 （3）如图 2，作点 A（1，0）关于 y 轴的对称点A，则A（1，0）。 18. （2008 年年北京市北京市 8 分）分）请阅读下列材料： 问题：如图 1，在菱
41、形 ABCD 和菱形 BEFG 中，点 A，B，E 在同一条直线上，P 是线段 DF 的中点，连接 PG， PC若ABC=BEF=60 ，探究 PG 与 PC 的位置关系及 PG PC 的值 小聪同学的思路是：延长 GP 交 DC 于点 H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小聪同学 的思路，探究并解决下列问题： （1）写出上面问题中线段 PG 与 PC 的位置关系及 PG PC 的值； （2）将图 1 中的菱形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转，使菱形 BEFG 的对角线 BF 恰好与菱形 ABCD 的边 AB 在同一 条直线上，原问题中的其他条件不变（如图 2）你在（1）中得到的
42、两个结论是否发生变化？写出你的猜想并 加以证明； （3）若图 1 中ABC=BEF=2（0 90 ），将菱形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他 条件不变，请你直接写出 PG PC 的值（用含 的式子表示） HCG 为等腰三角形且 P 为底边中点的条件： CDGF，PDH=PFG，DHP=PGF，DP=PF， 19. （2009 年年北京市北京市 8 分）分）在平行四边形 ABCD 中，过点 C 作 CECD 交 AD 于点 E，将线段 EC 绕点 E 逆时针旋转 0 90得到线段 EF(如图 1) （1）在图 1 中画图探究： 当 P 为射线 CD 上任意一点（P1不与
43、C 重合）时，连结 EP1绕点 E 逆时针旋转 0 90 得到线段 EC1. 判断直线 FC1与直线 CD 的位置关系，并加以证明； 当 P2为线段 DC 的延长线上任意一点时，连结 EP2,将线段 EP2绕点 E 逆时针旋转 0 90得到线段 EC2.判断直线 C1C2与直线 CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论. （2）若 AD=6，tanB= 4 3 ，AE=1，在的条件下，设 CP1=x，S 11 P FC =y，求y与x之间的函数关系式， 并写出自变量x的取值范围. 【答案】【答案】解：（1）直线 FG1与直线 CD 的位置关系为互相垂直。证明如下： 如图 1，设直线 FG1
44、与直线 CD 的交点为 H。 线段 EC、EP1分别绕点 E 逆时针旋转 900依次得到线段 EF、EG1， P1EG1=CEF=900，EG1=EP1，EF=EC。 【考点】【考点】旋转问题，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的判定，平行四边形的性质，锐角三角函数 定义，分类思想的应用。 【分析】【分析】（1）直线 FG1 与直线 CD 的位置关系为互相垂直，理由为：P1EC 按要求旋转后得到的G1EF 全等，再结合P1CE=G1FE=900去说明。 按题目要求所画图形见图 1，直线 G1G2与直线 CD 的位置关系为互相垂直。 （2）分点 P1在线段 CH 的延长线上，点 P1在线段
45、 CH 上和点 P1与点 H 重合三种情况讨论即可。 20. （2009 年年北京市北京市 7 分）分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，ABC 三个顶点的坐标分别为 A（6，0），B （6，0），C（0，4 3），延长 AC 到点 D，使 CD= 1 2 AC，过点 D 作 DEAB 交 BC 的延长线于点 E （1）求 D 点的坐标； （2）作 C 点关于直线 DE 的对称点 F，分别连接 DF、EF，若过 B 点的直线 y=kx+b 将四边形 CDFE 分成周长 相等的两个四边形，确定此直线的解析式； （3）设 G 为 y 轴上一点，点 P 从直线 y=kx+b 与 y 轴的交点出发，
46、先沿 y 轴到达 G 点，再沿 GA 到达 A 点，若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍，试确定 G 点的位置，使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短（要求：简述确定 G 点位置的方法，但不要求证明） 可证FTMCSM，FT=CS。 FE=CD，TE=SD。 EC=DF，TE+EC+CS+ST=SD+DF+FT+TS。 直线 BM 将四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形。 由点 B（6，0），点 M（0，6 3）在直线 y=kx+b 上， 可得直线 BM 的解析式为y3x6 3 。 （3）确定 G 点位置的方法：过 A 点作 AHBM 于点 H，则 AH 与 y 轴的交点为所求的 G 点。 21. （2010 年年北京市北京市 8 分）分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 22 m 15m yxxm3m2 44 与x轴的交 点分别为原点 O 和点 A，点 B（2，n）在这条抛物线上. （1）求 B 点的坐标； （2）点 P 在线段 OA 上，从 O 点出发向 A 点运动，过 P 点作x轴的垂线，与直线 OB 交于点 E，延长 PE 到点 D，使得 ED=PE，以 PD 为斜边，在 PD 右侧作等腰直角三角形 PCD（当 P 点运动时，C 点、D 点也随之运动）.
