1、集合的集合的基本运算基本运算补集补集1理解在给定集合中一个子集的补集的含义，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集会求给定子集的补集2能运用能运用Venn图及补集知识解决有关问题图及补集知识解决有关问题 1全集的定义全集的定义 一般地，如果一个集合含有我们一般地，如果一个集合含有我们_ 元素，那么就称这个集合为全集，通元素，那么就称这个集合为全集，通常记作常记作 .2补集补集 (1)定义：对于一个集合定义：对于一个集合A，由全集，由全集U中中_的所有元素组成的集合称作集合的所有元素组成的集合称作集合A相对于全集相对于全集U的补的补集，记作集，记作 .(2)集合表示：集合表示：
2、UAx|xU，且，且x A自学导引自学导引所研究问题中所研究问题中所涉及的所有所涉及的所有U不属于不属于A UA(3)Venn图表示：图表示：(4)运算性质：运算性质：UU ，U ，U(UA).UA1全集一定包含任何一个元素吗？一定是实数全集一定包含任何一个元素吗？一定是实数集集R吗？吗？答答：(1)全集仅包含我们研究问题所涉及的全部全集仅包含我们研究问题所涉及的全部元素，而非任何元素元素，而非任何元素(2)全集是相对于研究问题而言的，如只在整数全集是相对于研究问题而言的，如只在整数范围内研究问题时，则范围内研究问题时，则Z为全集；而当问题扩展到实为全集；而当问题扩展到实数时，则数时，则R为全
3、集，故并非全集都是实数集为全集，故并非全集都是实数集R.自主探究自主探究2怎样理解全集与补集的概念？符号怎样理解全集与补集的概念？符号 UA的含的含义是什么？义是什么？答答：(1)全集只是一个相对的概念，只包含所研全集只是一个相对的概念，只包含所研究问题中所涉及的所有元素，补集只相对于相应的究问题中所涉及的所有元素，补集只相对于相应的全集而言全集而言(2)同一个集合在不同的全集中补集不同；不同同一个集合在不同的全集中补集不同；不同的集合在同一个全集中的补集也不同的集合在同一个全集中的补集也不同(3)符号符号 UA包含三层意思：包含三层意思：AU；UA表示一个集合，且表示一个集合，且 UAU；U
4、A是是U中不属于中不属于A的所有元素组成的集合的所有元素组成的集合1已知全集已知全集U0,1,2，且，且 UA2，则，则A等于等于()A0 B1 C D0,1解析解析：UA2，A0,1答案答案：D2已知全集已知全集UR，Ax|x2 Bx|x2Cx|x2 Dx|x2答案答案：C预习测评预习测评3若若AxZ|0 x10，B1,3,4，C3,5,6,7，则，则 AB_，AC_.解析解析：A1,2,3，9，B1,3,4，C3,5,6,7，AB2,5,6,7,8,9，AC1,2,4,8,9答案答案：2,5,6,7,8,91,2,4,8,94设集合设集合U1,2,3,4,5，A2,4，B3,4,5，C3,
5、4，则，则(AB)(UC)_.解析解析：AB2,3,4,5，UC1,2,5，(AB)(UC)2,3,4,51,2,52,5答案答案：2,51全集的相对性全集的相对性(1)全集并非是包罗万象、含有任何元素的集全集并非是包罗万象、含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，则就是全集，研究方程的实数解，则R就是全集因就是全集因此，全集因研究问题而异此，全集因研究问题而异要点阐释要点阐释(2)对于一个给定的集合，全集选择不同
6、，则补对于一个给定的集合，全集选择不同，则补集不同集不同2集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助助Venn图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解方法使问题灵活直观地获解数形结合的思想是数学重要的思想方法之一，数形结合的思想是数学重要的思想方法之一，数形结合的解题方法的特点是：具有直观性、灵活数形结合的解题方法的特点是：具有直观性、灵活性、深刻性、并跨越各科的界线，有较强的综合性、深刻性、并跨越各科的界线，有
7、较强的综合性性3补集思想补集思想对于一些比较复杂、比较抽象，条件和结论之对于一些比较复杂、比较抽象，条件和结论之间关系不明朗，难于从正面入手的数学问题，在解间关系不明朗，难于从正面入手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，化难为易，化隐为显，从而将问题解未知的关系，化难为易，化隐为显，从而将问题解决这就是决这就是“正难则反正难则反”的解题策略，也是处理问题的解题策略，也是处理问题的间接化原则的体现的间接化原则的体现这种这种“正难则反正难则反”策略运用的是补集思想，即已策略运用的是补集思想，即已知全集知全集U，求子集，
8、求子集A，若直接求，若直接求A困难，可先求困难，可先求 UA，再由，再由 U(UA)A求求A.补集作为一种思想方法，给我们研究问题开辟补集作为一种思想方法，给我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用，在顺向了新思路，今后要有意识地去体会并运用，在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明柳暗花明”，从，从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现能，这是转化思想的又一体现题型一补集的运算题型一补集的运算【例例1】已知全集已知全集U，集合，集合A1,3,5,7，UA2,4,6，UB1,
9、4,6，求集合，求集合B.解解：解法一解法一：A1,3,5,7，UA2,4,6，U1,2,3,4,5,6,7，又又 UB1,4,6，B2,3,5,7解法二解法二：借助：借助Venn图，如图所示，图，如图所示，典例剖析典例剖析点评点评：根据补集定义，借助：根据补集定义，借助Venn图，可直观地图，可直观地求出补集，此类问题，当集合中元素个数较少时，求出补集，此类问题，当集合中元素个数较少时，可借助可借助Venn图；当集合中元素无限多时，可借助数图；当集合中元素无限多时，可借助数轴，利用数轴分析法求解轴，利用数轴分析法求解由图可知由图可知B2,3,5,71设全集设全集UR，集合，集合Ax|x3，B
10、x|3x2(1)求求 UA，UB；(2)判断判断 UA与与 UB的关系的关系解解：(1)Ax|x3，UA RAx|x3又又Bx|32(2)由数轴可知：由数轴可知：显然，显然，UA UB.解解：把全集：把全集R和集合和集合A、B在数轴上表示如下：在数轴上表示如下：由图知，由图知，ABx|2x10，R(AB)x|x2或或x10，RAx|x3或或x7，(RA)Bx|2x3或或7x10题型二交集、并集、补集的综合运算题型二交集、并集、补集的综合运算【例例2】设全集为设全集为R，Ax|3x7，Bx|2x10，求，求 R(AB)及及(RA)B.点评点评：(1)数轴与数轴与Venn图有同样的直观功效，在图有
11、同样的直观功效，在数轴上可以直观地表示数集，所以进行集合的交、数轴上可以直观地表示数集，所以进行集合的交、并、补运算时，经常借助数轴求解并、补运算时，经常借助数轴求解(2)不等式中的等号在补集中能否取到要引起重不等式中的等号在补集中能否取到要引起重视，还要注意补集是全集的子集视，还要注意补集是全集的子集2已知全集已知全集Ux|5x3，Ax|5x 1，Bx|1x1，求，求 UA，UB，(UA)(UB)，(UA)(UB)，U(AB)，U(AB)解解：在数轴上将各集合标出，如图：在数轴上将各集合标出，如图由图可知：由图可知：UAx|1x3，UBx|5x1或或1x3(UA)(UB)x|1x3，(UA)
12、(UB)x|5x3U，U(AB)U，U(AB)x|1x3题型三利用集合的运算求参数题型三利用集合的运算求参数【例例3】设全集设全集U3,6，m2m1，A|32m|,6，UA5，求实数，求实数m.解解：因为：因为 UA5，所以所以5U但但5 A，所以所以m2m15，解得解得m3或或m2.当当m3时，时，|32m|35，此时此时U3,5,6，A3,6，满足，满足 UA5；当当m2时，时，|32m|75，此时此时U3,5,6，A6,7，不符合题意舍去，不符合题意舍去综上可知综上可知m3.点评点评：由补集定义：由补集定义5 A,5U知知AU且且 UAU，在求得，在求得m3或或m2之后，检验其是否符合隐
13、之后，检验其是否符合隐含条件含条件AU是必要的，否则容易产生增解而出错是必要的，否则容易产生增解而出错3已知全集已知全集U2,3，a22a3，若，若Ab,2，UA5，求，求a，b.【例例4】设全集设全集UR，Mm|方程方程mx2x10有实数根有实数根，Nn|方程方程x2xn0有实数根有实数根，求求(UM)N.误区解密误区解密 因未对方程二次因未对方程二次 项系数进行讨论而错项系数进行讨论而错错因分析错因分析：这个结果虽然正确，但解答过程不：这个结果虽然正确，但解答过程不正确，未对正确，未对m0和和m0分别讨论分别讨论1补集与全集是两个密不可分的概念，同一个补集与全集是两个密不可分的概念，同一个集合在不同的全集中补集是不同的，不同的集合在集合在不同的全集中补集是不同的，不同的集合在同一个全集中的补集也不同另外全集是一个相对同一个全集中的补集也不同另外全集是一个相对概念概念2符号符号 UA存在的前提是存在的前提是AU，这也是解有，这也是解有关补集问题的一个隐含条件，充分利用题目中的隐关补集问题的一个隐含条件，充分利用题目中的隐含条件是我们解题的一个突破口含条件是我们解题的一个突破口3补集的几个性质：补集的几个性质：UU ，U U，U(UA)A.课堂总结课堂总结
