1、第八章二阶电路8-1 LC电路中的正弦振荡8-2 RLC电路的零输入响应过阻尼情况8-3 RLC电路的零输入响应临界阻尼情况8-4 RLC电路的零输入响应欠阻尼情况8-5 直流RLC电路的完全响应8-6 GLC并联电路的分析8-7 一般二阶电路1.什么是二阶电路?q 变量用二阶微分方程描述的电路；q 从结构上看，含有两个独立初始状 态动态元件的电路。引言 2.二阶电路的分析方法：q 根据两类约束，列写二阶电路微分方程；根据两类约束，列写二阶电路微分方程；q 求特征方程的根，即固有频率；求特征方程的根，即固有频率；q 根据根的性质确定解答形式（公式）。根据根的性质确定解答形式（公式）。q 初始状
2、态求解与一阶电路方法相同。初始状态求解与一阶电路方法相同。81 LC 电路中的正弦振荡CL+_uLiLuC+_已知：uC(0)=U0，iL(0)=0。求：uC(t),iL(t),t 0。一、定量分析CLiLuC+_已知 uC(0)=1V iL(0)=0L=1 H C=1 FdtdudtduCiidtdidtdiLuuCCCLLLLC022CCudtud得到二阶微分方程：ttittuLCsin)(cos)(解答形式：JCuLitw212121)(22储能：二、LC 振荡 电路波形CL+_uLiLuC+_已知 uC(0)=U0iL(0)=0t1t1t2t2t3t3t4t4t5t5t6t6t7t7t
3、8t8t9t9t10t10t11t11t12t124T4T2T2T4T34T3TTuC(t)iL(t)U0U0ooImImttt1t1t2t2t3t3t4t4t5t5t6t6t7t7t8t8t9t9t10t10t11t11t12t12三、LC 电路振荡的物理过程：1、0,1/4T :C放电，L充电，电场能向磁场能 转化；2、1/4T,1/2T：L放电，C反向充电，磁场能向电场 能转化；3、1/2T,3/4T：C放电，L反向充电，电场能向磁场 能转化；4、3/4T,T ：L放电，C充电，磁场能向电场能转 化。四、结论：q 纯纯LCLC电路电路，储能在电场和磁场之间往返转移，储能在电场和磁场之间往
4、返转移，产生振荡的电压和电流。振荡是等幅的。产生振荡的电压和电流。振荡是等幅的。若回路中含有电阻，还是等幅振荡吗？82 RLC串联电路的零输入响应过阻尼情况t=0uRLCiL+_uC已知 uC(0)=U0iL(0)=0求 uC(t),iL(t),t 0解：0CRLuuu 由KVL：0uLC1dtduLRdtudCC2C2得二阶微分方程：uL由元件约束：dtdiCudtdiLuRiuLCLLLR,特征方程012LCsLRs令L2R201LC01LC2022,1ss 固有频率（特征根）衰减系数0 谐振(角)频率LCLRLRs1)2(222,1特征根讨论：1.当 2 02时，s1、s2为不相等的负实
5、数 响应属于过阻尼(非振荡)情况2.当 2=02 时，s1=s2 为相等的负实数 响应属于临界阻尼(非振荡)情况3.当 2 02 时，s1、s2为共轭复数 响应属于欠阻尼(衰减振荡)情况4.当 2=0 时，R=0,s1、s2为共轭虚数 响应属于无阻尼(等幅振荡)情况特征根2022,1s齐次方程解：tstsCeKeKtu2121)(ttLttCCeeCieeutu2121121212)0()0()(CiusssKLC)0()0(12121CiusssKLC)0()0(11212解得：21)0(KKuCCiKSKSdtduLC)0(22110K1、K2由初始条件确定令：11s22s其中 2 1 0
6、 ttCCeeutu211212)0()(（1）当 uC(0)=U0 iL(0)=0ttCCLeeCudtduCti211221)0()(touC iLU0iLuC物义：iL(t)0，电容始终放电,uC单调下降，属非振荡。O f(t)te1te2t12（2）当 uC(0)=0 iL(0)=I0ttLLeeiti121212)0()(touC iLI0iLuC物义：iL=I0,C充电,iL=0,C放电,电阻消耗大,属非振荡。ttLCeeCitu2112)0()(O f(t)te2te1t21（3）当 uC(0)=U0 iL(0)=I0例 8-2：C=1/4F,L=1/2H,R=3 uC(0)=2
7、V,iL(0)=1A131)2(222,1LCLRLRs4221sstttstsCeeeKeKtu422146)(212)0(21KKuC4)0(22110CiKSKSdtduLC4621KKttCLeedtduCti2434)(tOuC(t)2te44te26toiL(t)1te23te44tttstsCeeeKeKtu422146)(21ttCLeedtduCti2434)(当 0 时，根 s 为不相等的负实数，t2t1C21eKeK)t(u或解答形式为：响应属于过阻尼(非振荡)情况LCLR122结论：当 =0时,即LCLR122或CL2R 时21ss02UKt00Ce)tUU()t(u0
8、t,e)t1(Ut083 RLC串联电路的零输入响应临界阻尼情况01)0(UKuCK1、K2由初始条件确定0)0(200CiKUdtduCtCt21Ce)tKK()t(u齐次方程解：ttCteUeUtu00)(tuC(t)Uoo说明：电路是非振荡，处于临界状态，称为临界阻尼。84 RLC串联电路的零输入响应欠阻尼情况1.当 0 时，是过阻尼(非振荡)2.当 =0 时，是临界阻尼(非振荡)3.当 0 时，是欠阻尼(衰减振荡)4.当 =0 时，是无阻尼(等幅振荡)LCLRLRs1)2(222,1特征根二阶电路零输入响应取决于特征根。有四种解答形式：t2t1C21eKeK)t(ut21Ce)tKK(
9、)t(u)tsinKtcosK(e)t(ud2d1tCtKtKtu0201Csincos)(说明1：能 量 解 释RLC0udtdiLRiCLLRLC+_uCiL说明2：二阶电路中任一变量的固有频率都是相同的。0CLRuuu列方程：0LC1sLRs2LCLRLRs1)2(222,1发现：iL与 uC 的固有频率相同。0idtdiRCdtidLCLL2L20iLC1dtdiLRdtidLL2L2或：解：1、列微分方程SCCCUudtduRCdtudLC228 5 直流RLC 串联电路的完全响应已知 uC(0)=U0,iL(0)=I0,求 uC(t),t 0US+_uCiLt=0一、一般直流RLC
10、 串联电路的完全响应uR uL2、解微分方程012 RCsLCsCpChCuuuSCpUu与固有频率有关，有四种解答Chu全解：特解：通解：0LC1sLRs2LCLRLRs1)2(222,11.过阻尼SttCUeKeKtu2121)(2.临界阻尼3.欠阻尼4.无阻尼StCUetKKtu)()(21SddtCUtKtKetu)sincos()(21SCUtKtKtu0201sincos)(CidtduLtC)0(0)0(CuK1、K2由初始条件确定四种解答形式的全响应：例 1：已知：RLC 串联电路，R=0,C=12F,L=3H,uC(0)=-5V,iL(0)=0US=10V,求：uC(t),t
11、 0510)0(1 KuC0)0(020CiKdtduLtC01521KK解：6112,1jLCjs6110LC10sincos)(0201tKtKtuC0106cos15)(tVttuC例2：若 0，uc(t)有极小值。.5,3,dddmtuc(tm)0时电容电压的零状态响应。时电容电压的零状态响应。解：解：t0时，时，(t)=1V，可作为直流激励处理。，可作为直流激励处理。1）先计算电路的固有频率）先计算电路的固有频率 j4353312222221LCLRLRs，2）得到全响应的表达式）得到全响应的表达式)0(V1)4sin()4cos(e)(213CttKtKtut 3）利用初始值确定）
12、利用初始值确定K1、K2 uC(0)=0，iL(0)=0043d)(d01)0(210C1CKKttuKut4）零状态响应）零状态响应)0(V 1)1.1434cos(e25.1 V1)4sin(75.0)4cos(e)(33Ctttttutt32LR4220dstdm7854.00948.11)(mtsmCeUtu超调量9.48例4：已知C，L的初值为0，t=0时开关闭合，R50，L0.06H，C1F。计算加工器的：1）加工频率；2）电容的最高充电电压。R-+300vLCt=0解：1）R25022500，4L/C40.06/10-6=240000 R2 4L/C，所以电路处于欠阻尼状态。uc
13、(t)为 零电路的零状态响应。开关闭合时，电容开始充电；充电到最高电压，空隙击穿放电，产生104度高温，加工工件。tm2tm3tmuc(t)t2）求tm:sradLRLCd/4060)2(12mstdm4.7740603）求工作频率：Hztfm129214）求峰值：V5161)(mtsmCeUtu4172LR结论：二阶电路一般分析步骤：1.1.列电路方程：列电路方程：根据两个约束，确定未知量。根据两个约束，确定未知量。2.2.由特征方程求特征根由特征方程求特征根;3.3.根据根的性质确定解答形式：根据根的性质确定解答形式：有四种有四种4.4.由由初始条件初始条件确定确定 K K1 1、K K2
14、 2 ：CidtduLtC)0(0,)0(Cu若 uC(0)和 iL(0)未知，与一阶电路求法相同：画t=0-，0+时的等效电路，求uC(0+)和 iL(0+)5.5.全响应：全响应：CpChCuuuSLpSCpIiUu特解与一阶电路求法相同：直流：阶跃：8 6 GCL 并联电路的分析t=0ISiGiLiCGL+uL uC C+解：iG+iL+iC=IS 022tIidtdiGLdtidLCSLLLdtdiGLGuiLLG22dtidLCdtduCiLCC根据对偶性质RLC：uC L C R US RLC二阶方程解答GLC：iL C L G IS GLC二阶方程解答GLC并联电路的分析方法完全
15、同RLC串联电路。例：1、要求右图的u0(t)为等幅振荡，A应取何值？已知初始状态为零。2、求这时的u0(t)。RRAu1-+-+UsCLu1u0t=0解：1）电路变换；2）布列微分方程：CLR/2Au1/RUs/Ru1iRiCiL由KCL：RAuRUiiisLCR1CLR/2Au1/RUs/Ru1iRiCiL由VAR：duLidtduCiRuitLCR)(1,2111所以：RAuRUduLdtduCRust11112)(12两边微分并整理得：0)(1)()(21 11tuLtCutuRA特征方程：0122LCsRCAs要使u1(t)为等幅振荡，必须：02RCA2A即：3）求u0(t)：02,
16、1jstKtKtu02011sincos)(由初始条件：0)0(11 KuCiKtKtKtuCtt)0(cossin)(02000200101CLR/2Au1/R=0Us/Ru1iR(0)iC(0+)iL如右图，RUisC)0(RCUKs02所以：RLURCUKss02所以：tRLUtus01sin)(tRALUtAutus010sin)()(LC10本题的要点：1）如何布列微分方程；2）如何求初始条件ic(0+)。本 章 小 结1 1 掌握二阶电路微分方程、特征方程的建立掌握二阶电路微分方程、特征方程的建立；2 2 会求固有频率，判断电路响应的性质；会求固有频率，判断电路响应的性质；3 3 掌握掌握RLCRLC串联电路的零输入响应；串联电路的零输入响应；4 4 了解全响应及了解全响应及 GCL GCL 并联电路全响应。并联电路全响应。章节练习题习题八周8-48-2138-58-3134过135137欠132113
