1、第一章第一章 函数与极限函数与极限基本要求基本要求：1.理解理解函数、极限、连续函数、极限、连续等基本概念。等基本概念。2.熟练掌握熟练掌握求极限求极限的计算方法的计算方法。3.了解了解无穷小无穷小的概念。的概念。4.了解了解闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质。一、变量与函数一、变量与函数二、初等函数二、初等函数三、函数的特性三、函数的特性第一节第一节 函数函数一、变量与函数一、变量与函数1.区间与邻域区间与邻域bxax (,)a b开区间：bxax ,a b闭区间：oxaboxabbxax bxax ,)a b半开区间：(,a b：有限区间有限区间,)ax ax+=(,)bx xb
2、-=oxaoxb无限区间无限区间实数集实数集 R=(-,+)邻域邻域:.0,且且是两个实数是两个实数与与设设a).,(aU记作记作,a点：中心数：半径。.),(axaxaUxa a a ,邻邻域域的的去去心心的的点点 a.0),(axxaU,邻域邻域的的称为点称为点数集数集 aaxx 。右邻域左邻域2.函数的定义函数的定义 yf xxD记为：=(),f按照一定的法则，y变量总有唯一确定的值与之对应，fD则称是定义在上的函数，,x y设是两个变量，xD若对变量在其变化域中的每一个值，变量之间的相互依赖关系，就是函数关系。：因变量。：自变量；：定义域；yxD函数概念的两要素：定义域定义域与与对应法
3、则对应法则。定义域和对应法则都一样的函数，称为定义域和对应法则都一样的函数，称为相同的相同的。例例是相同的。与2)()(xxgxxf 是不同的。与xxgxxflog2)(log)(2 ()(),f Dy yf x xD,xyfx所对应的数称为函数 在 处的函数值，函数值的全体，称为函数值的全体，称为值域值域。(1)(1)函数的函数的定义域定义域D D:自变量的取值范围。自变量的取值范围。约定约定:定义域是自变量所能取的定义域是自变量所能取的 使算式有意义的一切实数值。使算式有意义的一切实数值。21yx例，如1,1:D31arcsin)32lg(1252 xxxy4,1()1,23(:D(,)(
4、),().x y yf x xDyf x点称为函数的图形集oxy),(yxxy()f DD(2)对应法则对应法则f：由自变量决定因变量取值的法则。由自变量决定因变量取值的法则。常用的常用的表现形式表现形式：公式法、图形法、表格法。：公式法、图形法、表格法。0y 如果限定，得到单值函数：(3)多值函数多值函数：比如比如：由一个圆所确定的关系：由一个圆所确定的关系在实际问题中，存在在实际问题中，存在一个自变量所对应的函数值一个自变量所对应的函数值不总唯一的不总唯一的对应关系，称为对应关系，称为多值函数多值函数。221xy21yx称为多值函数的一个称为多值函数的一个单值分支单值分支。例例1设设0 x
5、，函函数数值值21)1(xxxf ，求求函函数数)0()(xxfy的的解解析析表表达达式式.解设设ux 1则则 2111uuuf ,112uu 故故)0(.11)(2 xxxxf 0,10,12)(,2xxxxxf例如例如12 xy12 xy在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.3.分段函数分段函数不能看成两个函数！不能看成两个函数！在分段点两侧，在分段点两侧，函数的表达式不同函数的表达式不同!例例2 2脉冲发生器产生一个单三角脉冲脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图其波形如图所示所示,
6、写出电压写出电压U与时间与时间 的函数关系式的函数关系式.)0(tt解解Uto1(1,1)(2,0)10,1,t当时11Ut;t(1,2,t当时100(2),12Ut(2)Ut 即(2,),t当时.0 U其表达式为其表达式为是一个分段函数是一个分段函数,)(tUU ,0,1()(2),(1,20,(2,)ttU tttt Uto1(1,1)(2,0)1 (1)符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当函数举例函数举例1-1xyoxxx sgn(2)取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最的最大整数大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1
7、-1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线x 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3)狄利克雷函数狄利克雷函数(4)取最值函数取最值函数)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg4.反函数反函数0 x0y0 x0yxyDf(D)(xfy 函数函数oxyDf(D)1()xfy反函数oyx将 作自变量，作因变量，得到的函数称为反函数。1()xfy记为。()yf x称为直接函数。x与与y是是一一对应一一对应的的)(xfy 函数xyo),(abQ),(baP)(1xfy 反函数直接函数
8、与反函数的图形关于直线 对称.xy )(1xfy 记为：习惯上反函数互为反函数。与显然)()(1yfxxfy 例例3 312x-xy=(a-a)求函数 的反函数。解解12x-xy=(a-a)x从中解出20 x-xa-ay2210 xxa-ya 21xayy2log(1)axyy2log(1)ayxx再换成习惯记法：再换成习惯记法：二、二、初等函数初等函数(1)幂函数幂函数)(是常数是常数 xyoxy)1,1(112xy xy xy1 xy 1.基本初等函数基本初等函数(2)指数函数指数函数)1,0(aaayxxay xay)1()1(a)1,0(xey (3)对数函数对数函数)1,0(log
9、aaxyaxyln xyalog xya1log)1(a)0,1(4)三角函数三角函数正弦函数正弦函数xysin;sin xy xycos;cos xy 余弦函数余弦函数正切函数正切函数;cot xy 余切函数余切函数;tan xy xytan xycot(5)反三角函数反三角函数xyarcsin;sin xy 反反正正弦弦函函数数Arc定义域：定义域：-1,+1，值域：，值域：-/2,+/2xyarccos;cosxy 反余弦函数反余弦函数Arc定义域：定义域：-1,+1，值域：，值域：0,xyarctan;tan xy 反反正正切切函函数数Arc值域：值域：(-/2,+/2)xarcyco
10、t 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.;cot xy 反反余余切切函函数数Arc值域：值域：(0,)2.复合函数复合函数,uy 设,12xu 21xy ,x 自变量,u 中间变量,y 因变量例如：例如：()yf g x()()ug xyf u为由和构成的复合函数。注意注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的;,arcsinuy 例如例如;22xu 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构成.,2cotxy
11、例如例如,uy ,cotvu .2xv 3.常见的函数一般是复合函数，可以常见的函数一般是复合函数，可以分解分解成一系列简单函数成一系列简单函数.例例4 42()arcsin,()2().f xxxxfx设,求解解2arcsin(2)x2()2fxfx2121x 由解：213x1,33,1x 故：由常数和基本初等函数，由常数和基本初等函数，经过有限次四则运算及复合运算所得，经过有限次四则运算及复合运算所得，且能用一个解析式表示的函数且能用一个解析式表示的函数,称为称为初等函数初等函数.yxlnxxe（幂指函数）（幂指函数）以下是初等函数吗？以下是初等函数吗？3.初等函数初等函数2xxyx分段函
12、数？分段函数？正割函数正割函数cscyx余割函数余割函数secyxxysec xycsc sh2xxeex双曲正弦chyxshyx),(:D奇函数奇函数.ch2xxeex双曲余弦),(:D偶函数偶函数.xey21 xey 21双曲函数双曲函数shthchxxxxxeexxee双曲正切奇函数奇函数,),(:D有界函数有界函数,双曲函数常用公式双曲函数常用公式sh()sh chch sh;xyxyxych()ch chsh sh;xyxyxy22chsh1;xxsh22sh ch;xxx22ch2chsh.xxxM-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX0 x,)(成立都有：Mxf（
13、1）有界性）有界性.)(否则称无界上有界在数集则称函数Dxf,xD 使得三、函数的特性三、函数的特性如果存在一个正数M，说明：说明：有界的定义等价于：()Af xB1()(0,1)fxx 函数，在例上无界，.)1,10(2上有界在(下界下界)(上界上界),ABxD 存在常数、使得，都有：（2）函数的单调性）函数的单调性:,)(上有定义在区间设函数Ixf若恒有：且及上任取两点在,2121xxxxI();f xI则称在 上是单调增加的12()()(),a f xf x()f xI则称在 上是单调减少的。12()()(),b f xf x)(xfy)(1xf)(2xfxyoI)(xfy)(1xf)(
14、2xfxyoI1()(,0)()f xf xx设，在上单例调下降。()f x但在整个定义域内没有单调性。(0,)()fx在上单 调 下 降。（3）函数的奇偶性）函数的奇偶性:偶函数图形关于偶函数图形关于y轴对称轴对称(),f xII设在区间 上有定义，关于原点对称)()(xfxf yx)(xf )(xfy ox-x)(xf()f x称为偶函数cosyx比如：,xI 如果都有：,xI 如果有：)()(xfxf ()f x称为奇函数奇函数图形关于原点对称。奇函数图形关于原点对称。)(xf yx)(xfox-x)(xfy xysin 比如：比如：（4）函数的周期性）函数的周期性通常说的周期，通常说的
15、周期，是指其是指其最小正周期最小正周期),lx 如果存在正数，使得(-,+()()f xlf x成立，()f xl则称为周期函数，是周期。-10-5510-1-0.50.51sin,cos,tan,cotxxxxf x设()的定义域(-,+)例例5 5解解1(),0 xD xx有理数集设无理数集7(),(12).().5DDD x求并讨论的性质,1)57(D,0)21(D有界函数有界函数,偶函数偶函数,周期函数周期函数(无最小正周期无最小正周期)不是单调函数不是单调函数,四、小结四、小结理解函数概念：对应法则、定义域理解函数概念：对应法则、定义域掌握基本初等函数特性：掌握基本初等函数特性：有界性有界性,单调性单调性,奇偶性奇偶性,周期性周期性.理解函数：理解函数：复合函数复合函数,反函数反函数,分段函数分段函数.
