1、几何体与几何体与球球切接切接专题专题B3,25222RR363343433RV答案答案题题1求四面体的最大体积其中上的四个点球是半径为,3,2ACBCABOABCD439233321ABCSABCOOABCO平面的外心，为11132,33sin23222111OOOAORtAO中，积最大三点共线时，四面体体当1,OOD439)12(43931ABCDV四面体题题2三角形的外接圆：圆心为各边中垂线的交点。圆心为各边中垂线的交点。rOCOBOA性质外接圆圆心到各顶点距离相等Aarsin2 求解方式：正弦定理正弦定理几何体与几何体与球球切接切接专题专题等腰三角形等边三角形直角三角形Aarsin2 中
2、线上在BCO在中心Oar33O为斜边的中点三角形的外接圆：外接圆圆心到各顶点距离相等。2ar 定义：如果有一个定点，与简单多面体的所以顶点距离相等，那么这个定点为多定义：如果有一个定点，与简单多面体的所以顶点距离相等，那么这个定点为多面体面体外接球外接球的球心。的球心。1 1、正长体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点、正长体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点2 2、正棱柱、正棱柱外接球的球心是上下底面中心连线的中点。外接球的球心是上下底面中心连线的中点。直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点。直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点。直棱柱外接球直棱柱外接
3、球特征：特征：一条棱垂直于底面，一条棱垂直于底面，422hrR几何体与几何体与球球切接切接专题专题特点：一条棱垂直于一个平面，平面有直角特点：一条棱垂直于一个平面，平面有直角方法：补形方法：补形几何体与几何体与球球切接切接专题专题例：例：已知各顶点都在同一球面上的正四棱住的高为已知各顶点都在同一球面上的正四棱住的高为4，体积为，体积为16，则这个球的表面积是（则这个球的表面积是（）16.A20.B24.C32.D162haV2a222244 4 1624Raah 24S【解析】【解析】，C答案答案题：三棱锥三个侧面两两垂直，各棱长都是题：三棱锥三个侧面两两垂直，各棱长都是 ，求其外接球的表，求
4、其外接球的表面积是多少？面积是多少？39S29,33342RR9S答案答案方法：补形方法：补形特点：特点：线面垂直线面垂直方法：补形理解方法：补形理解几何体与几何体与球球切接切接专题专题为 外接圆直径2、正棱柱外接球的球心是上下底面中心连线的中点。置求球半径，球心在圆锥的高线上题：设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且其面积为 ,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()也为 外接圆直径如左图，作 外接圆直径 ，连故圆锥的轴截面三角形 的外接圆是大圆，于是正四面体的外接球和内切球的半径是多少？题：在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.故球心在正方形
5、的中心处直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点。题：正四棱锥 的底面边长和各侧棱长都为 ,各顶点都在同一球面上，则此球体积为 对棱相等，补形为长方体，如图，设长宽高分别为正四面体的外接球和内切球的半径是多少？若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之题：三棱锥 中，,和 均为边长为2的正三角形,则三棱锥 外接球的半径为 解析:由题意可知球心即为圆柱体的中心,画出圆柱的轴截面如图所示,法二：(大圆法求外接球直径)如图，球心在圆锥的高线上，3404328)2()2(222SArR34042RS例：
6、例：在四面体在四面体 中，中，ABCS 1,2,120,ABACSABACABCSA平面则求该四面体则求该四面体 外接球外接球 的表面积。的表面积。ABCS 340答案答案120cos2222ABACABACBC在在 中，由余弦定理中，由余弦定理 ABC7120cos12212222BC7BCABC外接圆直径为外接圆直径为37,237sin2rBACBCrB 题：题：设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且其面积为 ,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()39答案答案题：题：在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,A
7、A1=3,则V的最大值是()分析推理当球的体积最大时当球的体积最大时,它与直三棱柱的若干个面相切它与直三棱柱的若干个面相切,根据底面根据底面直角三角形及三棱柱的高直角三角形及三棱柱的高,进而确定球的体积的最大值进而确定球的体积的最大值B 解析:由题意知要使球的体积最大由题意知要使球的体积最大,则它与直三棱柱的若干个面相切则它与直三棱柱的若干个面相切.例例：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）3.A2.B316.C都不是.D法一法一：直观图是圆锥，(勾股定理)利用球心的位置求球半径，球心在圆锥的高线上221)3(RR32R21643SR选选C法二：法二：(大圆法求外接球直径
8、)如图，球心在圆锥的高线上，故圆锥的轴截面三角形 的外接圆是大圆，于是242sin603R 32R21643SR选选C特点：面特点：面面垂直面垂直方法：分析理解方法：分析理解几何体与几何体与球球切接切接专题专题特点：特点：线面垂直线面垂直方法：分析理解方法：分析理解题题：正四棱锥 的底面边长和各侧棱长都为 ,各顶点都在同一球面上，则此球体积为 234rhhr,1,1方法一：找球心的位置，易知故球心在正方形的中心处34,1VRABCDE 方法二：大圆是轴截面所截的外接圆，即大圆是 的外接圆，此处特殊，的斜边是球直径。EACAECRt34,1,22VRR答案答案特点：特点：直棱柱直棱柱方法：分析理
9、解方法：分析理解几何体与几何体与球球切接切接专题专题2、正棱柱外接球的球心是上下底面中心连线的中点。法二：(大圆法求外接球直径)如图，球心在圆锥的高线上，法二：(大圆法求外接球直径)如图，球心在圆锥的高线上，设点 是内切球的球心，正四面体棱长为 。特点：一条棱垂直于一个平面，平面有直角分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之题：已知三棱锥 所有顶点都在半径为2的球面上，三角形的外接圆：外接圆圆心到各顶点距离相等。解析:由题意可知球心即为圆柱体的中心,画出圆柱的轴截面如图所示,若侧棱 ,求正三棱锥 外接球的表面积？对棱相等，补形为长方体，如图，设长宽高分别为分析推理当
10、球的体积最大时,它与直三棱柱的若干个面相切,根据底面直角三角形及三棱柱的高,进而确定球的体积的最大值故圆锥的轴截面三角形 的外接圆是大圆，于是沿将 折起得到四棱锥 ,点P为四棱锥 的外接球球题：设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且其面积为 ,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()题：在正三棱锥 中，分别是 棱的中点，且解析:由题意可知球心即为圆柱体的中心,画出圆柱的轴截面如图所示,若侧棱 ,求正三棱锥 外接球的表面积？题：题：一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长为 ，则这个球的体积为
11、89334a设正六边形边长为 ，正六棱柱的高为 ，底面外接圆的半径为 ，hr21,36aa833232121216s由 ，正六边形面积为 3,83389hhshV六棱柱则由 ,有 1,43)212()2()2(22222RhrR34V球体积题：题：分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。22222221125633333aaaRaRaR125123)2(2211aaaEAaEADA33321111211116331RaEAED1:5:222121RRSS1:55:21VV题：已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()B 解析:由题意可知球
12、心即为圆柱体的中心由题意可知球心即为圆柱体的中心,画出圆柱的轴截面如图所示画出圆柱的轴截面如图所示,答案答案特点：特点：直两个平面图形全等直两个平面图形全等方法：分析理解方法：分析理解几何体与几何体与球球切接切接专题专题题：题：三棱锥 中，,和 均为边长为2的正三角形,则三棱锥 外接球的半径为 ABCPABCPAB平面平面ABCPABABCP153特点：特点：对棱相等对棱相等方法：补形长方体方法：补形长方体几何体与几何体与球球切接切接专题专题例例:如下图所示三棱锥如下图所示三棱锥 ，其中其中 ，则该三棱锥外接球的表面积为则该三棱锥外接球的表面积为 BCDA5 CDAB554,45522RSR7
13、 BCAD6 BDAC55对棱相等，补形为长方体，如图，设长宽高分别为cba,110493625)(2222cba55222cba5542R题：题：在正三棱锥在正三棱锥 中，中，分别是分别是 棱的中点，且棱的中点，且ABCS BCSC,NM,MNAM ABCS 若侧棱若侧棱 ,求正三棱锥求正三棱锥 外接球的表面积？外接球的表面积？32SA结论：正三棱锥的对棱互相垂直。证明见右图结论：正三棱锥的对棱互相垂直。证明见右图3,36)32()32()32()2(2222RR3642RS补形补形36答案答案方法：相似成比例方法：相似成比例几何体与几何体与球球切接切接专题专题方法：相似成比例方法：相似成比
14、例方法：体积法方法：体积法以正三棱锥为例正弦定理正弦定理借由定义（中垂线）借由定义（中垂线）球心在过外心的垂线上球心在过外心的垂线上球心在过外心的垂线上球心在过外心的垂线上正四面体的外接球和内切球的半径是多少？正四面体的外接球和内切球的半径是多少？正四面体正四面体正四面体的外接球和内切球的半径是多少？正四面体的外接球和内切球的半径是多少？分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之线、面关系解之中BEORtar126r设点 是内切球的球心，正四面体棱长为 。由图形的对称性知，点也是外接球的球心设内切球半径为 ，外接球
15、半径为 OaRO222OEBEBO222)33(arRrRaaaOEAOAE36)33(,22又aaR461263rR3344Rrh特殊的一个锥体特殊的一个锥体正四面体正四面体正四面体外接球半径是其内切半径的三倍。正四面体外接球半径是其内切半径的三倍。ABPAPBABPA有,222ACPAPCACPA有,222ABCPA平面锥补成一个直三棱柱为侧棱，把三棱为底面，以PAABC可得又则该三棱锥的高,7,5,3,3BCACABh120,21cosBACBAC37sin21BACBCrABC外接圆半径12223)37()23()2(22222rhR322312223442RS222222222,21
16、62cbaacbcabacbcabScbaRcba8S8几何体与几何体与球球切接切接专题专题面的可能有一条棱垂直于一个平发现,DCBDABBD直棱柱那么可以得到一个新的点，点平移到平移，将BDDC联想到补形联想到补形32ABC2rABC 外接圆半径20S32,2,2,ACCBABCAB中由正弦定理2,22126sinrrAB512)2(2222DBrR题：题：已知三棱锥已知三棱锥 所有顶点都在半径为所有顶点都在半径为2的球面上，的球面上，BCDAABCAD面32242222DADEAE2,90ADBACBCDA求三棱锥求三棱锥 的体积最大值。的体积最大值。如左图，作如左图，作 外接圆直径外接圆
17、直径 ，连，连 AEABCDEDE为三棱锥外接圆直径，为三棱锥外接圆直径，4DEABC为为 外接圆直径外接圆直径90BACABC也为也为 外接圆直径外接圆直径BC32BC6,212222ACABACABBCACAB222131213131ACABADACABShVBCDAABCOFFABC平面，那么的外心取三角形35242RS33212322CFCFABC为其外接圆半径，中，22322213131hhSVABCABCD32h321hOF313)332()3(2222CFOFROCOFCRt中，选选A题：题：已知等边三角形已知等边三角形 的边长为的边长为 分别为边分别为边 的中点，将的中点，将A
18、BCNM,32ACAB,沿将沿将 折起得到四棱锥折起得到四棱锥 ,点点P为四棱锥为四棱锥 的外接球球的外接球球面上任意一点，当四棱锥面上任意一点，当四棱锥 的体积最大时，点的体积最大时，点 P 到平面到平面 距离的距离的最大值为（最大值为（）MNCBAAMNMNMNCBAMNCBAMNCB2113.A1213.B13.C2113.D213)21(3222BFOFRNCBNBMCM,中点为BCF1、找到等边三角形、找到等边三角形AMN的外心的外心G5.0,1,EGAGMNAE2、找到等腰梯形、找到等腰梯形MBCN外心外心FAMNOGMBCNOFO平面平面然有为外接球球心，那么必,5.0EGOFOFEG为矩形，21213maxOFRd选选A A梯形外接圆半径长32BC难题
