1、第四章第四章 一元函数微分学应用一元函数微分学应用第一节 微分中值定理 第二节 洛必达法则 第三节 函数的单调性与极值 第四节 曲线的凹凸性与拐点 第五节 函数图形的描绘 第六节 泰勒公式一、罗尔中值定理一、罗尔中值定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理三、柯西中值定理第一节第一节 微分中值定理微分中值定理第一节 微分中值定理 导数在实际问题中具有广泛的应用，利用导数可以求解未定式的极限问题；利用导数可以研究函数的基本性态、函数图形的特征；利用导数可以解决实际生活中的优化问题.微分中值定理是利用导数研究函数在区间上整体性质的有力工具和桥梁，微分中值定理主要包括罗尔定理、拉
2、格朗日定理和柯西定理。几何特征：若曲线弧为a,b上连续弧段,在(a,b)内曲线弧上每点都有不平行于y 轴的切线,且曲线弧段在两个端点处的纵坐标相同,那么在曲线弧段上至少有一点,过该点的切线必定平行于x 轴.图形观察：设光滑曲线弧AB，将弦AB 平行移动，在曲线弧AB间存在点C，使直线与曲线在点C 处相切，且切线为水平.xabyy=f(x)ABC一、罗尔定理 罗尔定理 设函数 f(x)满足条件:(1)在闭区间a,b上连续，(2)在开区间(a,b)内可导,(3)f(a)=f(b),.0)(),(fba，使则至少存在一点 说明：(1)罗尔定理的条件是充分条件,但不是必要条件.也就是说,定理的结论成立
3、,函数未必满足定理中的三个条件.即定理的逆命题不成立.例 在0,3上不满足罗尔定理的条件 但是存在 使 .)3,0(12)1()(xxf),3()0(ff0)(f (2)罗尔定理的三个条件缺少其中任何一个条件定理将不成立.在下列函数中都有罗尔定理的一个条件不满足,相应的罗尔定理结论不成立.1010)(xxxxfxxf)(xxf)()11(x)10(x原点处不可导端点处值不等端点处不连续.88 30050)(24符合罗尔定理，在区间验证函数xxxf例显然多项式函数 f(x)为偶函数，且连续可导.满足罗尔定理条件)5)(5(41004)(3xxxxxxf0)5()0(ffy-55x30050)(2
4、4xxxf).()()1,0(,0)1(),(,)(fffbabaxf，使得证明存在内可导，且间上连续，在开区在闭区间设函数例证 ，取)()(xxfx.),(内可导上连续，在开区间ba,)(bax 在闭区间则函数0)1()0(且于是，存在 使得 )1,0(0)(0)()(ff即).()(ff也即二、拉格朗日定理 图形观察：设光滑曲线弧AB，将弦AB 平行移动，在曲线弧AB间存在点C，使直线与曲线在点C 处相切，且切线平行于弦AB.byay=f(x)几何特征：如果在a,b上的连续曲线,除端点外处处有不垂直于x轴的切线,那么在曲线弧上至少有一点使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线.也即有
5、相同的斜率.定理 设函数 f(x)满足:在闭区间a,b上连续,在开区间(a,b)内可导,则至少存在一点 使得),(ba)()()(abfafbf 分析 由拉格朗日定理的几何特征可知,若在定理中增加条件 f(a)=f(b),则化为罗尔定理.因此,如果能由f(x)构造一个新辅助函数 使其在a,b上满足罗尔定理条件,且由此能导出拉格朗日定理结论,则问题可解决.)(x 考虑到拉格朗日定理结论的几何特征是在曲线弧上至少有一点 使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线.即在该点曲线的切线斜率与弦线的斜率相等.也即在该点曲线与弦线的导数相等或二者之差导数为零.，)()()(abafbff辅助函数 的构
6、造：)(x),(,(fbyay=f(x).)()()()(axabafbfafy弦线的方程为作辅助函数)()()()()()(axabafbfafxfx 的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线弧两端点连线对应的纵坐标之差.)(x则有 也即0)(，)()()(abafbffbyay=f(x)证 令).()()()()()(axabafbfafxfx由于f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导.因此 在a,b上连续,在(a,b)内可导.且)(x)(0)(ba由罗尔定理知,至少存在一点 使 ),(ba0)(0)()()(abafbff即)()()(abafbff或写成).)()()(abfafbf 因此
7、又称拉格朗日中值定理为有限增量定理.如果f(x)在(a,b)内可导，则在以 为端点的区间上 f(x)也满足拉格朗日中值定理，即),(),(00baxxbaxxxx00与,)()()(00 xfxfxxf其中 为之间的点.也可以记为xxx00与为10 ,)()()(000 xxxfxfxxf或,10 ,)(0 xxxfy证 对于(a,b)内任意点 由拉格朗日定理得21xx 0)()()(1212xxfxfxf故有 f(x1)=f(x2).),(21xx推论1 若 则),(,0)(baxxf为常数）所以CCxf()(由推论1可知 f(x)g(x)=C证明 由已知条件及导数运算性质可得.0)()()
8、()(xgxfxgxf即 f(x)=g(x)+C.推论2 若 则),(),()(baxxgxfCxgxf)()(为常数）CCxf()(.|arctanarctan|abab例 试证证 设f(x)=arctan x,(a0时,试证不等式 证明 取 f(t)=ln(1+t),则 f(t)=ln(1+t)在区间0,x上满足拉格朗日中值定理,因此必有一点 使得),0(x.)()0()(xffxf,11)(11)()1ln()(fttfttf，,1 1)1(111ln)1ln(xxx说明 本例中若令y=ln t,a=1,b=1+x,亦可利用拉格朗日中值定理证明所给不等式.这表明证明不等式时,f(x)与a
9、,b的选取不是唯一的.,11111x即.)ln(11xxxx，因此由于x0,11xxxx进而知例 证明证 1,1,2arccosarcsinxxx,arccosarcsin)(xxxf设)1,1()(在区间则xf01111)(22xxxf内可导，且 .)1,1()(Cxf内恒等于一个常数在区间则)1,1(arccosarcsin xCxx即2)1(,2)0(,0fCfx时因为 1,1,2arccosarcsin xxx所以三、柯西中值定理.)()()()()()(agbgafbfgf 定理 设函数 f(x)与 g(x)满足：在闭区间a,b上都连续,在开区间(a,b)内都可导,在开区间(a,b)
10、内,且 则至少存在一点 使得,0)(xg),(bayf(a)t=)()(tgytfxf(b)若在拉格朗日定理的几何背景中曲线由参数方程表述由参数方程的导数公式可推出下述柯西定理.推广特例中值定理之间关系 在柯西定理中,若取 g(x)=x,则得到拉格朗日定理.因此柯西定理可以看成是拉格朗日定理的推广.在拉格朗日定理中,若取 f(a)=f(b),则得到罗尔定理.因此拉格朗日定理可以看成是罗尔定理的推广.罗尔定理拉格朗日定理柯西定理推广特例 拉格朗日 Joseph-Loouis Lagrange (1736-1813)拉格朗日 法国数学家、力学家、天文学家.拉格朗日在中学时代就感兴趣与数学与天文学，曾以自学方式钻研数学，成绩斐然.19岁被聘为教授，23岁被选为柏林科学院院士，30岁任柏林科学院主席.他在数学、力学、天文学等领域都取得了辉煌成就.
