1、第五节第五节 微分方程应用微分方程应用一、微分方程应用实例一、微分方程应用实例二、微分方程模型二、微分方程模型微分方程应用的基本过程1.根据实际问题具体意义建立微分方程模型（1）分析所研究量之间的联系,找出其内在规律.（2）根据有关知识、定律、原理建立微分方程模型.2.根据微分方程模型的特征求解微分方程.3.由实际问题意义验证解的合理性.第五节第五节 微分方程应用微分方程应用一、微分方程应用实例例.)2,1(分，求这曲线的方程切线线段均被切点所平意，它在两坐标轴间的任一曲线通过点解，切线方程为处的切线斜率为点，则过曲线上任一设所求曲线的方程为yyxPxyy),()(,0yyxX截距为).(xX
2、yyY轴上的，得切线在令xY0，故得xyyx2，按题意xX2 0 xyy即，故得初值条件为由于曲线过点)2,1(2 1xy,dd xxyy将方程分离变量，得求解微分方程 通解).(是任意常数即得方程通解为CCxy，两端积分，得Cxylnlnln xyy.2 ,2 程这就是所要求的曲线方条件的特解为故得所求方程满足初值，得把初值条件代入通解中xyC.,)0(,时间的函数关系求降落伞下落的速度与速度为零并设降落伞离开飞机时空气阻力与速度成正比所受后的降落伞从飞机上落下设质量为tm例，其所受阻力为kvmgF 解，由题意知设降落伞下落速度为)(tv 由牛顿第二定律得 dd，kvmgtvm，mtkvmg
3、vdd 分离变量得两端积分，得，1ln1)ln(1Ckmtkvmgk ,e e 11 kCkmgvCkvmgtmktmk或即，所求通解为记 e1tmkCkmgvkCC).e1(00tmktkmgvkmgCv|所求特解为，代入通解又有 例 把温度为100的沸水注入杯中,放在室温为20的环境中自然冷却,经5min时测得水温为60.求(1)水温T()与时间t(min)之间的函数关系；(2)问水温自100降至30所需的时间.)(tTTTt之间的函数关系为与温度设时间解)20(ddTktT由冷却定律：物体的冷却速度与物体与周围温差成正)0(k常数 分离变量积分，得比，得微分方程，tkTTd20d)()e
4、ln(lnlne)20ln(为常数即CCCTkTkt.e20 ktCT 所求通解为，代入通解中，得将初值条件80 1000CTt.e8020ktT故得所求特解为：6 138.021ln51,605kTt得代入上式将条件的函数关系与时间故水温tT.e8020)(6 138.0ttT所需的时间降至求水温自30100.(min)151386.02ln3 t所以所用时间为tT6 138.0e802030,30,代入得令在上式中驶了多少路程？又在这段时间内火车行止过多少时间火车才能停，问开始制动后经时获得加速度刹车动，当制力擦假设不计空气阻力和摩的轨道上行驶的速度在平直设火车经提速后，以?sm6.0)(
5、)(sm30 2 例米秒行驶了设列车制动后St解.30 ;0 ;6.0dd0022 ttvStS由牛顿定律，得方程两端积分,d)6.0(ddd22tttS解得，16.0ddCttSv再积分，2123.0CtCtS ，tCtttSd)6.0(ddd1解得.30 06.030 30,011 CCvt，有时当，有时当0,003.00 0,02212 CCCSt306.0 tvtt.S30302 所以0 v式中令，)s(506.030 t在306.0 tv50 t式中令在tt.S30302 得停止后所需时间为得制动后所行驶路程为.)m(7505030503.02 S 例 如图所示，位于坐标原点处的军舰
6、，向位于x轴上从点A(1,y)处的敌舰发射制导鱼雷，鱼雷始终对准敌舰.设敌舰以常速v0沿平行于y轴的直线行驶，又设鱼雷的速率为2v0，求鱼雷的航行曲线方程.)(xyy 为设鱼雷航行的曲线方程解.),1(),(0处敌舰位于点处，鱼雷位于点在时刻tvQyxPt因为鱼雷始终对准敌舰，所以PQCAB.),()(处的切线在点是曲线直线yxPxyyPQ，xytvPCCQy 1tan0由导数几何意义知，的长度为又曲线弧tvxyOPx0022d1 .2)1(2d1 020yyxxytvx，得从上面两式消去，求导，得将上式两端对yyxyyx2)1(221 2.0)0(,0)0(yy依题意，有初值条件为.)()1
7、(21 2应满足的微分方程这就是曲线，即xyyxyy .)1(21dd )1(dd2xpxpxpypy 中，得代入方程，则令（1）.)1(满足初值条件的特解下面求方程，分离变量，得)1(2d1d 2xxpp，化简得2112)1(1 xCpp )1(1212，xpp，积分得12ln)1ln(21)1ln(Cxpp ，代入上式，得以10)0()0(1 Cpy，而212)1(11 xpp 所以（2）)1(1 212，即xpp ，即得，可解出和由21212121)1(21)1(21 )1(21)1(21 )3()2(xxyxxp （3）.)1(31)1(d)1(21d)1(21 223212121Cxxxxxxyx积分，得再对.32)1(31)1(.320)0(23212xxyCy鱼雷航行曲线方程为代入，即以
