1、附录附录22 22 不动点法求数列的通项公式不动点法求数列的通项公式 二、常见题型二、常见题型一、有关概念一、有关概念1.不动点2.特征方程与特征值1.递推式形如 的数列01CBaAann2.递推式形如 的数列DCaBAaannn13.递推式形如 的数列012nnnCaBaAa方程 的根称为函数 的不动点)(xfxxf)(xxxf2)(2例1：函数 的不动点是_0 x3x或注：函数 的不动点，也可以理解成：)(xf故其根为xxf)(解：因方程 等价于032 xx0 x3x或是其于直线 交点的横坐标xy 1.1.不动点不动点：xy)(xfy 2.2.特征方程与特征方程与特征值特征值01CBaAa
2、nn称 为 的特征方程0CBxAx称 为 的特征方程02CBxAx012nnnCaBaAa称 为 的特征方程DCaBAaannn1DCxBAxx特征方程的根称为特征值方程 的根称为函数 的不动点)(xfxxf)(1.1.不动点不动点：一、有关概念一、有关概念二、常见题型二、常见题型1.递推式形如 的数列：01CBaAanndqaann1)()(1nnaqa一定可写成其中 是 的特征值dqaann1特别的有：na则 是等比数列，是其特征值若数列 满足：na01CBaAanndqaann1)()(1nnaqa1.递推式形如 的数列01CBaAann111,23(1)nnaaan例2.(2006年重
3、庆)在数列 中,若na则该数列的通项公式 _na析：因 的特征方程为111,23(1)nnaaan32 xx即特征值为-3，故)3(2)3(1nnaa即解：解：因所以111,23(1)nnaaan故)3(2)3(1nnaa是以4为首项,2为公比的等比数列3nana123n1243nna故鸳鸯绣出凭君看 不把金针度与人dqaann1)()(1nnaqa31练习练习1.1.型型dqaann1)31(4)31(1nnaa14 xx课本P：33 A组 Ex4（1）析：特征方程为故特征值为 故01231nnaa10123 xx)1()1(1nnaa析：特征方程为故特征值为？31321nnaa法1：法2：
4、令n=1，立得？=故32dqaann1)()(1nnaqa析：特征方程为故特征值为 135311nnxx151nnaa令 31nnxa析：4115 xx)41(5)41(1nnaa故则151nnaa下同)4131(5)4131(1nnxx解：解：因 135311nnxx故03211nnnaa3析：由01323111nnnnaa1321nnbb析：特征方程为故特征值为 故132xx)3(32)3(1nnbb03211nnnaa得令nnnab3则下同)33(32)33(11nnnnaa1321nnbb课本P:30 例2131nnaa)21(3)21(1nnaa解：解：因 即谢宾斯基三角形谢宾斯基三
5、角形波兰数学家谢尔宾斯基在波兰数学家谢尔宾斯基在19151915年提出年提出:能否找到一个图形,当它的面积无限减小时,它的周长则无限增大213 nna故谢宾斯基谢宾斯基“金字金字塔塔”课本P:34 B组 Ex1数列的前五项:1,9,181nnaa)71(8)71(1nnaa187871nna718 nna故即73，4681，585,？谢宾斯基谢宾斯基“地毯地毯”2.递推式形如 的数列DCaBAaannn1当特征值 是实数且不等时,为等比数列,当特征值 是实数且相等时,为等差数列当特征值 是复数时,个别数列 具有周期性nnaana1 na(2012年大纲版简化)练习2.型DCaBAaannn1(
6、)求数列 满足：nx()证明：234,211nnnxxxx123nnxxnx析：()因 的特征方程为即特征值为-1和3，故2341nnnxxx234ttt13nnxx为等比数列即1311nnxx故153431nnx3113nnxx()易得 为递增数列，nx02nnaxax（20062006年全国年全国）设数列 的前n项和为且方程有一根为求数列 的通项公式nanS1nSna解：解：依题意有 0)1()1(2nnnnaSaS将1nnnSSa代入*式得.当n=1时，易得2111 aS.当n2时,*121nnSS特征值为1 特征方程为xx21当特征值 是实数且相等时,为等差数列na1,解：解：依题意有
7、 0)1()1(2nnnnaSaS将1nnnSSa代入*式得.当n=1时，易得211a.当n2时,121nnSS故111111nnSS是首项为-2,公差为-1的等差数列11nS111nSn即1nnSn*所以综上将其代入*式得 11nan1nnSn故11析：因 的特征方程为其特征值为虚根，故为周期数列na1331nnnaaa133xxx01a3133,112aaa3133,223aaa0133334aaa周期为3也，故3220 aa当特征值 是实数且不等时,一定有,当特征值 是实数且相等时,当特征值 是复数时,个别数列 具有周期性 na3.递推式形如 的数列012nnnCaBaAannnannn
8、a)(一定有练习练习3.3.型型012nnnCaBaAa12 课本P:69 B组 Ex6析：因 的特征方程为故其特征值为-1和3，所以21132nnnaaa322 xxnnna)1(34)1(133711nnna特值法求出,当特征值 是实数且不等时,一定有,nnna13 课本P:32 下方析：因 的特征方程为故其特征值为所以12 xxnnnF)251()251(特值法求出,当特征值 是实数且不等时,一定有,nnna斐波那契数列的递推公式:nnnFFF12nnnFFF12251)251()251(55nnnF附加作业：附加作业：1.在数列 中,若na则该数列的通项公式 _na2.在数列 中,若na则该数列的通项公式 _na11212,3nnaaa11423,1nnnaaaa
