1、11.3 行列式按行行列式按行(列列)展开定理展开定理一一.按一行按一行(列列)展开行列式展开行列式 二二.行列式按某行列式按某 k 行行(列列)展开展开三三.小结与思考题小结与思考题2111213212223313233aaaaaaaaa22232123111232333133aaaaaaaaaa可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式来来计算计算.问题：问题：一个一个n 阶行列式是否可以转化为若干个阶行列式是否可以转化为若干个 n-1阶行列式来计算？阶行列式来计算？一一.按一行按一行(列列)展开行列式展开行列式2122133132aaaaa 3定
2、义定义1.5 在在 n 阶行列式中阶行列式中,把元素把元素ija所在的第所在的第i行和行和 余子式余子式.记为记为.ijM称称 1ijijijAM 为元素为元素的代数余子式的代数余子式.例如例如11121314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa 第第 j 列划去后列划去后,余下的余下的 n-1-1 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素ija 的的ija11121423313234414244aaaMaaaaaa 4 2 323231AM 23M 11121314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa 的余子
3、式的余子式.23a的代数余子式的代数余子式.23a521232412313334414344aaaMaaaaaa 1 212121AM 12M 11121344212223313233aaaMaaaaaa 4 44444441AMM 注注 行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式一个代数余子式.6 引理引理 若在若在 n 阶行列式阶行列式 D 的第的第 i 行中有一个元素行中有一个元素aij 0,其余元素全为零其余元素全为零,则则D=aij Aij.定理定理1.4 设设 n 阶阶行列式行列式111212122212nnnnnnaaaaaaD
4、aaa 则则 n 阶行列式阶行列式 D 的值等于它的任意一行的值等于它的任意一行(列列)的各元素的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和与其对应的代数余子式的乘积之和.即即71122iiiiininDa AaAa A 1,2,in 证证(只证按行展开第一式只证按行展开第一式)将行列式将行列式D改写为改写为111211212000000niiinnnnnaaaaaaDaaa D=a1jA1j+a2jA2j+anjAnj (j=1,2,n)或或8由行列式性质由行列式性质2及引理，得及引理，得11121111211112112121212000000nnniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaa
5、aaaaaDaaaaaaaaa =ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin.(i=1,2,n)同理可证按列展开式成立同理可证按列展开式成立.91 11 41003102(1)0104(1)501232023D 解解 按第一行展开按第一行展开,得得()22461588 例例1 计算行列式计算行列式20043100.50100232D 10 推论推论 n 阶行列式阶行列式 D 的任意一行的任意一行(列列)的元素与另一行的元素与另一行(列列)对应元素的代数余子式乘积的和等于零对应元素的代数余子式乘积的和等于零.即即11220,.kikiknina AaAa Aki 11220,.kikinkniaA
6、aAaAki 证证由定理由定理1,1,行列式等于某一行的元素分别与它们行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和代数余子式的乘积之和.1111121121212niiinkkknnnnnaaaaaaDaaaaaa 在行列式在行列式中中,如果令第如果令第 i 行的元素等于另外一行行的元素等于另外一行,譬如第譬如第 k 行行的元素的元素11121121212nkkknkkknnnnnaaaaaaaaaaaa 12则则1122kikiknina AaAa A行列式含有两个行列式含有两个相同的行相同的行,值为值为 0.13综上所述综上所述,得公式得公式1122kikiknina AaAa A
7、,0Dkiki （当当），（当当）1122ljljnlnja Aa Aa A ,0Dljlj （当当），（当当）注注 在计算数字行列式时在计算数字行列式时,直接应用行列式展开公式直接应用行列式展开公式并不一定简化计算并不一定简化计算,因为把一个因为把一个n阶行列式换成阶行列式换成n个个(n1)阶行列式的计算并不减少计算量阶行列式的计算并不减少计算量,只是在行列式中只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时某一行或某一列含有较多的零时,应用展开定理才有应用展开定理才有意义意义，但展开定理在理论上是重要的但展开定理在理论上是重要的14利用行列式按行按列展开定理利用行列式按行按列展开定理,并结合行列
8、式性质并结合行列式性质,可简化行列式计算：可简化行列式计算：计算行列式时计算行列式时,可先用行列式的性质将某一行可先用行列式的性质将某一行(列列)化化为仅含为仅含1个非零元素个非零元素,再按此行再按此行(列列)展开展开,变为低一阶的变为低一阶的行列式行列式,如此继续下去如此继续下去,直到化为三阶或二阶行列式直到化为三阶或二阶行列式.例例2 计算行列式计算行列式31125134.20111533D 15解解 3112513420111533D 51111113100105530 132cc 43cc 163 3511(1)1111550 511620550 1 362(1)55 8205 40
9、21rr 17例例3计算计算 n 阶行列式阶行列式1221100001000000.0001nnnxxxDxaaaaxa 18解解 将将Dn 按第一列展开按第一列展开1221100000001nnnxxDxxaaaax 11000100(1)000001nnxaxx 于是于是,得递推公式得递推公式1nnnDxDa 而由递推公式而由递推公式,得得121nnnDxDa继续递推公式继续递推公式,得得11Dxa故故22121()nnnnnnnDx xDaax Daxa192341234()nnnnxxDaa xa xa1212nnnnxa xa xa例例4证明范德蒙证明范德蒙(Vandermonde)
10、(Vandermonde)行列式行列式1()(5)ijn ijxx 122221211112111nnnnnnnxxxxxxDxxx 20 证证 用数学归纳法用数学归纳法21211Dxx 21xx21()ijijxx (1)当当n=2时时,结论成立结论成立.(2)设设n-1-1阶范德蒙行列式成立阶范德蒙行列式成立,证明证明n阶也成立阶也成立.122221211112111nnnnnnnxxxDxxxxxx 11nnrx r 112nnrx r 21 1rx r 212131122133112222213311111100()()()0()()()nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxx
11、xxxxxxxx 11(),ixx 按按第第 列列展展开开,再再把把每每列列的的公公因因子子提提出出232131122223111()()()nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1 1阶范德蒙行列式阶范德蒙行列式22213112()()()()nijn ijxxxxxxxx 1().ijn ijxx 证毕证毕.用降阶法计算行列式的值用降阶法计算行列式的值.（按行按列展开）（按行按列展开）1112114124611242D =57练习题练习题23例例5 利用性质及展开定理计算行列式的值利用性质及展开定理计算行列式的值.解解14142143423113092 124rr 322rr 7017
12、8214300553092 24按第二列展开按第二列展开2 271781(1)055392 23cc 72580053112按第二行展开按第二行展开2 37255(1)311 5(7775)1025例例6 计算行列式计算行列式xaaaaaxaaaDaaxaaaaaxa 26(2)Dxna1111aaaxaaaaxaaaaxa 解解 将行列式每一列加到第一列，则将行列式每一列加到第一列，则2721311 nrrrrrr (2)xna1020000200002aaaxaxaxa 1(2)(2)nxnaxa 28例例7 计算行列式计算行列式111112001030100Dn 解解 我们称行列式我们称
13、行列式D为箭形行列式为箭形行列式解决的目标：化为上三角形行列式解决的目标：化为上三角形行列式.2912311123nccccn 21111102000030000niin 21!(1)nini D30例例8 计算行列式计算行列式123123123123nnnnabaaaaabaaaaabaDaaaab 3121311 nrrrrrr 123000000nabaaabbbbbb 12nc cc 箭形行列式箭形行列式D321223()000000000nnaaabaaabbb 112()()nnaaabb 33例例91234xaaaaxaaDaaxaaaax(,1,2,3,4)ixa i（可以化为
14、箭形行列式）可以化为箭形行列式）213141rrrrrr 1121314000000 xaaaaxxaaxxaaxxa 3411234110010101001xaaaxaxaxaxa 41()iixa 4121234010000100001iixaaaaxaxaxaxaxa 351234c c c c 41()iixa 441211)()iiiixaxaxaxa (36二二.行列式按某行列式按某k行行(列列)展开展开定义定义1.6 在在n阶行列式阶行列式D中任取中任取k行行k列列(1k n),称称位于这些行与列的交叉点处的位于这些行与列的交叉点处的k2个元素按照其在个元素按照其在D 中中的相对
15、位置所组成的的相对位置所组成的k阶行列式阶行列式N为为D的一个的一个k阶子式阶子式.111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa 2122112nnaaNaa 37称划去称划去 N 所在的行与列后剩下的元素按照其在所在的行与列后剩下的元素按照其在 D中的中的相对位置所组成的相对位置所组成的 n-k 阶行列式阶行列式 M 为为 N 的余子式的余子式.13141333431,31,41,(2)nnnnnnnaaaaaaMaaa 若若 N 所在的行与列的行标与列标分别为所在的行与列的行标与列标分别为12,ki ii38例例10 设设14142143423113092D 则则D的位于第的位
16、于第1、3行行,第第2、3列的列的2阶子式为阶子式为及及12,kj jj则称则称1212()()(1)kkiiijjjM 为为N的代数余子式的代数余子式,记作记作A.即即1212()()(1)kkiiijjjAM 3914123N ，N1的代数余子式为的代数余子式为(13)(23)123(1)32A D的位于第的位于第1、3、4行行,第第2、3、4列的列的3阶子式为阶子式为24142311092N ，N2的代数余子式为的代数余子式为(134)(234)2(1)22A 40显然显然,n 阶行列式阶行列式D位于某位于某k行的行的k阶子式有阶子式有knC个个,从而从而D共有共有2()knC个个k阶子
17、式阶子式.定理定理1.5n 阶行列式阶行列式 D 等于其位于某等于其位于某 k 行的所有行的所有k 阶阶12,tNNN子子式式与其对应的代数余子式与其对应的代数余子式A1,A2,.,At 的乘积之和的乘积之和,即即1 ()tkiiniDN AtC 其其中中 显然显然,定理定理1.4是定理是定理1.5 中中k=1 时的特例时的特例.按照定理按照定理1.5展开行列式似乎很繁展开行列式似乎很繁,但当行列式的某些行中有众但当行列式的某些行中有众41多的零时多的零时,定理定理1.5的实用价值立即展现出来的实用价值立即展现出来.例例11 计算行列式计算行列式12340210.56780030D 解解 因为
18、因为D中第中第2、4 行的行的246C 个个2阶子式中只有阶子式中只有 一个是非零的一个是非零的.故将故将D按第按第2、4 行展开得行展开得2103D (2 4)(2 3)1 4(1)725 8 42例例12计算计算 m+n 阶行列式阶行列式1111111111110000mnmmmmmnnnnnaaccaaccDbbbb 43解解 按前按前m列展开列展开,得得1111mmmmaaDaa 111(1 2)(1 2)1(1)nmmnnnbbbb 1111mmmmaaaa 1111nnnnbbbb44例例13 计算计算 2n 阶行列式阶行列式2nababDbaba(其中未写出的元素皆其中未写出的元
19、素皆为零）为零）解解 按按第第1、2n行展开行展开,因位于这两行的全部因位于这两行的全部 2阶子阶子式中只有式中只有1个个(即位于第即位于第1、2n列的列的2阶子式阶子式)可能非零可能非零且且其余子式恰为其余子式恰为0,相应的代数余子式为相应的代数余子式为4522(2)nDn 故得故得2nabDba(1 2)(1 2)22(1)nnnD 于是于是,得递推公式得递推公式22222()nnDabD 从而从而222224()nnDabD 2212()nabD 22()nab 46三三.小结与思考题小结与思考题2.行列式按某行行列式按某行(列列)展开降阶方法求行列式展开降阶方法求行列式.1.行列式的余
20、子式与代数余子式的概念和计算方法行列式的余子式与代数余子式的概念和计算方法.1122iiiiininDa AaAa A 1,2,in 思考题思考题100010001000000001nxxyxyxyxyDxyxyxy 4710010000001nyxyxyDxxyxyxy 思考题思考题1解答解答10000000001yxxyxxyxyxy 21121nnnnxDx DxDx 48思考题思考题2n设设 阶阶行行列列式式12312001030100nnDn 求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和11121?nAAA49思考题思考题2解答解答第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成11121nAAA111112001030100n 21!1njnj
