1、 第第 二二 章章 离散型随机变量离散型随机变量 二二、离散型随机变量概念离散型随机变量概念一一、随机变量的概念随机变量的概念三、离散型随机变量的分布律三、离散型随机变量的分布律 2.1 一维随机变量及其分布四四、常见离散型随机变量的概率分布常见离散型随机变量的概率分布,.,(),(),().(var)Erv X randomiable 设是随机试验 它的样本空间是如果对于每一个有一个实数与之对应这样就得到一个定义在 上的单值实值函数称为随机变量 简记为定义定义2.1 2.1 随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z,或希腊字母或希腊字母,.等表示等表示.一、随机变量的概念一、随
2、机变量的概念随机变量随着试验的结果不同而取不同的值随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因因此随机变量的取值也有一定的概率规律此随机变量的取值也有一定的概率规律.(2)随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量随机变量 是一个函数是一个函数,但它与普通的函但它与普通的函数有着本质的差别数有着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上普通函数是定义在实数轴上的的,而随机变量是定义在样本空间上的而随机变量是定义在样本空间上的(每一个试每一个试验结果验结果 ,都由实数都由实数 对应对应).2.说明
3、说明(1)随机变量与普通的函数不同随机变量与普通的函数不同()ww()w实例实例 1 掷一个硬币掷一个硬币,观察出现的结果观察出现的结果,共有两种共有两种情况情况:),(1反面朝上反面朝上 e),(2正面朝上正面朝上 e若用若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数表示掷一个硬币出现正面的次数,则有则有)(eX)(1反面朝上反面朝上 e)(2正面朝上正面朝上 e100)(1 eX1)(2 eX即即 X(e)是一个随机变量是一个随机变量.2.随机变量的分类随机变量的分类离散型离散型(1)离散型离散型 定义在样本空间定义在样本空间 上，取值于实数上，取值于实数R,R,且只取有限个或可列个且只取有限个或
4、可列个值的随机变量值的随机变量 ,叫做一维离散型随机变量叫做一维离散型随机变量.观察掷一个骰子出现的点数观察掷一个骰子出现的点数.随机变量随机变量 X 的可能值是的可能值是:随机变量随机变量连续型连续型实例实例11,2,3,4,5,6.非离散型非离散型其它其它()w实例实例2 若随机变量若随机变量 X 记为记为“连续射击连续射击,直至命直至命中时的射击次数中时的射击次数”,则则 X 的可能值是的可能值是:.,3,2,1 (2)连续型连续型 随机变量所取的可能值可以连续地随机变量所取的可能值可以连续地充充满某个区间满某个区间,叫做连续型随机变量叫做连续型随机变量.实例实例1 随机变量随机变量 X
5、 为为“灯泡的寿命灯泡的寿命”.则则 X 的取值范围为的取值范围为).,0 实例实例2 随机变量随机变量 X 为为“测量某零件尺寸时的测误测量某零件尺寸时的测误差差”.则则 X 的取值范围为的取值范围为 (a,b)内的任一值内的任一值.3.1980 例 设某无线电厂年一季度出厂的12寸电视，对，令（）在一年中出现故障的次数。012（）的可能取值为，.01(0)(1.PP次次.）列成下表说明说明 (1)0,1,2,;kpk非负性 1(2)1.kkp规 范 性(1,2,),1,2,.kkkkxkxPxpk设离散型随机变量 所有可能取的值为取各个可能值的概率 即事件的概率 为称此式为离散型随机变量
6、的分布律二、离散型随机变量的分布律定义定义离散型随机变量的分布律也可表示离散型随机变量的分布律也可表示为为1212nnxxxpppkpnxxx21nppp21或或对于任意的实数ab,ab事件（）概率可由分布列求得：)()iia ababa由于（由概率的 可列可加性)()iiiia aba ababPapP()()()iii I Bi I BBPapP(三、常见离散型随机变量的概率分布 设随机变量设随机变量 只可能取只可能取0与与1两个值两个值,它的分它的分布律为布律为2.两点分布两点分布1.退化分布退化分布若随机变量若随机变量 取常数值取常数值C的概率为的概率为1,即即()1PC则称则称 服从
7、服从退化分布退化分布.实例实例1 “抛硬币抛硬币”试验试验,观察正、反两面情观察正、反两面情况况.随机变量随机变量 服从服从(0-1)分布分布.,1()e ,0,正面正面当当 e.反面反面当当 ekp012121其分布律为其分布律为则称则称 服从服从(0-1)分布分布或或两点分布两点分布.记为记为Xb(1,p)kp0p 11p 两点分布是最简单的一种分布两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有任何一个只有两种可能结果的随机现象两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点都属于两点分布分布.说明说明两
8、点分布随机数两点分布随机数演示演示3.二项分布二项分布若分布律为：若分布律为：,0,1,2,kkn knPkC p qkn则称随机变量称随机变量X X服从参数为服从参数为n,pn,p的的二项分布二项分布。记记:(k;,)bnp,其中其中q q1 1p p二项分布二项分布1 n两点分布两点分布(1)0,1,2,;kpk非性 00(2)()1.nknknkkknppqpqk规 范 性：二项分布的图形二项分布的图形二项分布随机数二项分布随机数演示演示例如例如 在相同条件下相互独立地进行在相同条件下相互独立地进行 5 次射击次射击,每每次射击时击中目标的概率为次射击时击中目标的概率为 p,则击中目标的
9、次则击中目标的次数数 X 服从服从 b(k;5,p)的二项分布的二项分布.5q451p q 2352pq3253pq 454p q 5pXkp012345二项分布随机数二项分布随机数演示演示?)20,1,0(20.20,2.0.1500,一级品的概率是多少一级品的概率是多少只只中恰有中恰有只元件只元件问问只只现在从中随机地抽查现在从中随机地抽查品率为品率为级级已知某一大批产品的一已知某一大批产品的一小时的为一级品小时的为一级品用寿命超过用寿命超过某种型号电子元件的使某种型号电子元件的使按规定按规定 kk分析分析 这是不放回抽样这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很但由于这批元件的总数很大大,且
10、抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.2020,重重伯伯努努利利试试验验只只元元件件相相当当于于做做检检查查试试验验否否为为一一级级品品看看成成是是一一次次把把检检查查一一只只元元件件看看它它是是例例2解解,20 只只元元件件中中一一级级品品的的只只数数记记以以 X),.,(2020BX则则因此所求概率为因此所求概率为.,).().(201080202020 kkkXPkk012.00 XP058.01 XP137.02 XP205.03 XP218.04 XP175.05 XP
11、109.06 XP055.07 XP022.08 XP007.09 XP002.010 XP时时当当11,001.0 kkXP图示概率分布图示概率分布4.普哇松分布普哇松分布(Poisson)(Poisson).(,!,PXX.kkekXPk记为记为布布的泊松分的泊松分服从参数为服从参数为则称则称是常数是常数其中其中值的概率为值的概率为而取各个而取各个的值为的值为设随机变量所有可能取设随机变量所有可能取0210210 泊松资料泊松资料00(2)1.!kkkkpek规范性(1)0,1,2,;kpk易证非负性 普哇松分布的图形普哇松分布的图形泊松分布随机数泊松分布随机数演示演示泊松分布的背景及应用
12、泊松分布的背景及应用二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时粒子个数的情况时,他们做了他们做了2608 2608 次观察次观察(每次时间为每次时间为7.5 7.5 秒秒)发现发现放射性物质在规定的一段时间内放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子其放射的粒子数数X X 服从泊松分布服从泊松分布.地震地震 在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地
13、震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤次数等,都服从泊松分布都服从泊松分布.火山爆发火山爆发特大洪水特大洪水电话呼唤次数电话呼唤次数交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数 在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤次数等,都服从泊松分布都服从泊松分布.普哇松定理普哇松定理lim0,lim(;.),0,1,2.!nnnknnnAPnpb k n pekk在 重贝努
14、里试验中，事件 在一次试验中出现的概率为,若则有证明证明nnn p记，则!(;,)()(1)!()!knknnnnb k n pknknn()121(1)(1).(1)(1)!kn knnkknnnnlimkknn对于任意固定的k,有121lim(1)(1).(1)1,lim(1)lim(1)nnnn n knn knnnnknnnnne又,lim!knnP Xkek 二项分布二项分布 普哇松分布普哇松分布n很大很大,p 很小很小上面我们提到上面我们提到单击图形播放单击图形播放/暂停暂停ESCESC键退出键退出 设设1000 辆车通过辆车通过,出事故的次数为出事故的次数为 X,则则可利用泊松定
15、理计可利用泊松定理计算算,1.00001.01000 所求概率所求概率为为9991000999900001011000999901.0047.0!11.0!011.01.0 ee解解2 XP1012 XPXPXP(1000,0.0001),Xb例例3 有一繁忙的汽车站有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过每天有大量汽车通过,设每辆汽车设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率在一天的某段时间内出事故的概率为为0.0001,在每天的该段时间内有在每天的该段时间内有1000 辆汽车通辆汽车通过过,问出事故的次数不小于问出事故的次数不小于2的概率是多少的概率是多少?例4：由该商店过去的销售记录知道，某
16、种商品某月的销售数可以用参数 的普哇松分布来描述，为了以95以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进该种商品多少？10解设该商店每月销售某种商品 件，月底的进货a件则当 时不脱销，因而由题意得：()a()0.95Pa又已知 服从 的普哇松分布，上式为10100100.95!kakek14100100.91660.95!kkek15100100.95130.95!kkek由附录的普哇松分布表知则这家商店只要在月底进货该种商品15件即可。6.几何分布几何分布 若随机变量若随机变量 的分布律为的分布律为则称则称 服从服从几何分布几何分布.实例实例 设某批产品的次品率为设某批产品的次品率为 p,对该
17、批产品做有对该批产品做有放回的抽样检查放回的抽样检查,直到第一次抽到一只次品为止直到第一次抽到一只次品为止(在此之前抽到的全是正品在此之前抽到的全是正品),那么所抽到的产品那么所抽到的产品数目数目 X 是一个随机变量是一个随机变量,求求 的分布律的分布律.,1,qpkpk21pqppqk 1 几何分布随机数几何分布随机数演示演示121()kkPkP A AAA)()()()(121kkAPAPAPAP ppppk )1()1()1)(1(.1pqk ),2,1(k所以所以 服从几何分布服从几何分布.说明说明 几何分布可作为描述某个试验几何分布可作为描述某个试验 “首次成功首次成功”的概率模型的
18、概率模型.解解1,2,3,.所取的可能值是,个个产产品品是是正正品品抽抽到到的的第第表表示示设设iAi7.超几何分布超几何分布设设X的分布律为的分布律为(0,1,2,min,)mn mMN MnNC CP XmmM nC.,服从超几何分布服从超几何分布则称则称这里这里XNMMmNn 超几何分布在关于废品率的计件检验中常用到。超几何分布在关于废品率的计件检验中常用到。.说明：说明：两点分布两点分布均匀分布均匀分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布几何分布几何分布二项分布二项分布普哇松分布普哇松分布1010.p,n 两点分布两点分布1 n三、小结超几何分布超几何分布退化分布退化分布离散随机变量 定义
19、分布列).,(,)10(),2,1(,0,1,)10(21pnXXXXniiiXpnni参数为参数为服从二项分布服从二项分布那末那末分布并且相互独立分布并且相互独立它们都服从它们都服从次试验失败次试验失败若第若第次试验成功次试验成功若第若第设设每次试验成功的概率为每次试验成功的概率为立重复伯努里试验立重复伯努里试验次独次独对于对于分布的推广分布的推广二项分布是二项分布是 .)10(.2泊泊松松分分布布之之间间的的关关系系分分布布二二项项分分布布与与、).,2,1,0(,!)()1(,)(,nkeknpppknkXPnnppnnpkknk 即即为参数的泊松分布为参数的泊松分布于以于以时趋时趋当当
20、为参数的二项分布为参数的二项分布以以 例例 从一批含有从一批含有10件正品及件正品及3件次品的产品中一件次品的产品中一件、一件地取产品件、一件地取产品.设每次抽取时设每次抽取时,所面对的各件所面对的各件产品被抽到的可能性相等产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下在下列三种情形下,分分别求出直到取得正品为止所需次数别求出直到取得正品为止所需次数 X 的分布律的分布律.(1)每次取出的产品经检定后又放回每次取出的产品经检定后又放回这批产品中去在取下一件产品这批产品中去在取下一件产品;(2)每每次取出的产品都不放回这批产品中次取出的产品都不放回这批产品中;(3)每次取出一件产品后总以一件正每次取出
21、一件产品后总以一件正品放回这批产品中品放回这批产品中.备份题,13101 XP,13101332 XP,131013332 XP13101331 k故故 X 的分布律为的分布律为Xpk32113101310133 13101332 解解,(1)X 所取的可能值是所取的可能值是,1,2,3,13101331 kkXP.,(2)若每次取出的产品都不放回这批产品中时若每次取出的产品都不放回这批产品中时,13101 XP,12101332 XP,11101221333 XP,10101111221334 XPXp故故 X 的分布律为的分布律为432113101210133 1110122133 111
22、122133 X 所取的可能值是所取的可能值是,1,2,3.4 (3)每次取出一件产品后总以一件正品放回这批每次取出一件产品后总以一件正品放回这批 产品中产品中.,13101 XP,12111332 XP,13121321333 XP,13131311321334 XP故故 X 的分布律为的分布律为Xp432113101311133 1312132133 131132133 X 所取的可能值是所取的可能值是,1,2,3.4例例 为了保证设备正常工作为了保证设备正常工作,需配备适量的维修需配备适量的维修工人工人(工人配备多了就浪费工人配备多了就浪费,配备少了又要影响生配备少了又要影响生产产),现
23、有同类型设备现有同类型设备300台台,各台工作是相互独立的各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况我们也只考虑这种情况),问至少需配备多少工人问至少需配备多少工人,才能保证设备发生故障才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于但不能及时维修的概率小于0.01?解解.人人设需配备设需配备 N设备设备记同一时刻发生故障的记同一时刻发生故障的,X台数为台数为).,(,010300BX那末那末所需解决的问题所需解决的问题,N是确定最小的是确定最小的使得使得合理配备维修
24、工人问题合理配备维修工人问题由泊松定理由泊松定理得得,!303 NkkkeNXP故有故有,99.0!303 Nkkke即即 Nkkke03!31 13!3Nkkke,01.0.8是是小的小的查表可求得满足此式最查表可求得满足此式最N个工人个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于概率小于0.01.故至少需配备故至少需配备8.99.0 NXP例例6 (人寿保险问题人寿保险问题)在保险公司里在保险公司里 有有2500个同年个同年龄同社会阶层的人参加了人寿保险龄同社会阶层的人参加了人寿保险,在每一年里在每一年里每个人死亡的概率为每个人死亡的概率为0.00
25、2,每个参加保险的人在每个参加保险的人在1月月1日付日付12元保险费元保险费,而在死亡时而在死亡时,家属可在公司里家属可在公司里领取领取200元元.问问(1)保险公司亏本的概率是多少保险公司亏本的概率是多少?(2)保险公司获利不少于一万元的概率是多少保险公司获利不少于一万元的概率是多少?保险公司在保险公司在1月月1日的收入是日的收入是 2500 12=30000元元解解 设设X表示这一年内的死亡人数表示这一年内的死亡人数,则则)002.0,2500(BX保险公司这一年里付出保险公司这一年里付出200X元元.假定假定 200X 30000,即即X 15人时公司亏本人时公司亏本.于是于是,P公司亏
26、本公司亏本=P X 15=1-PX 14由泊松定理得由泊松定理得,5002.02500P公司亏本公司亏本0002.0!511405kkke(2)获利不少于一万元获利不少于一万元,即即 30000-200X 10000即即X 10P获利不少于一万元获利不少于一万元=PX 109864.0!51005kkkeJacob BernoulliBorn:27 Dec 1654 in Basel,SwitzerlandDied:16 Aug 1705 in Basel,Switzerland伯努利资料普哇松资料Born:21 June 1781 in Pithiviers,FranceDied:25 April 1840 in Sceaux(near Paris),FranceSimon Poisson
