1、1第第3章章 随机过程随机过程 3.3 高斯随机过程（正态随机过程）定义：高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为式中a 均值 2 方差曲线如右图：221()()exp22xaf 牛牛文库文档分享2第第3章章 随机过程随机过程重要性质由高斯过程的定义式可以看出,高斯过程的分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差。因因此，对于高斯过程，只需要研究它的数字特征就可此，对于高斯过程，只需要研究它的数字特征就可以了。以了。广义平稳的高斯过程也是严平稳的。因为，若高斯过程是广义平稳的，即其均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无
2、关，则它的分布也与时间起点无关，故它也是严平稳的。所以，高斯过程若是广义平稳的，则也严平稳。高斯过程若是广义平稳的，则也严平稳。 牛牛文库文档分享3第第3章章 随机过程随机过程如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的。也是统计独立的。高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。也可以说，若线性系统的输入为高斯过程，则系统输出也是高斯过程。 牛牛文库文档分享4第第3章章 随机过程随机过程 3.3.3 高斯随机变量定义：高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，也称高斯随机
3、变量，其一维概率密度函数为式中a 均值 2 方差曲线如右图：221()()exp22xaf 牛牛文库文档分享5第第3章章 随机过程随机过程性质f(x)对称于直线 x=a，即 a表示分布中心，称为标准偏差，表示集中程度，图形将随着 的减小而变高和变窄。当a=0和=1时，称为标准化的正态分布：xafxaf1)(dxxfaadxxfdxxf21)()(21()exp22xf 牛牛文库文档分享6第第3章章 随机过程随机过程正态分布函数这个积分的值无法用闭合形式计算，通常利用其他特殊函数，用查表的方法求出：用误差函数表示正态分布函数：令 则有 及 式中 误差函数，可以查表求出其值。221()()()ex
4、p22xzaF xPxdz2/)(aztdtdz22()/2()22121122xatF xedtxaerf202()xterf xedt一维概率密度函数01/ 牛牛文库文档分享7第第3章章 随机过程随机过程用互补误差函数erfc(x)表示正态分布函数：式中2211)(axerfcxF22()1()txerfc xerf xedt 202()xterf 牛牛文库文档分享8第第3章章 随机过程随机过程用Q函数表示正态分布函数：Q函数定义：Q函数和erfc函数的关系：Q函数和分布函数F(x)的关系：Q函数值也可以从查表得到。2/21()2txQ xedt221)(xerfcxQ)2(2)(xQxe
5、rfcaxQaxerfcxF12211)(引入她的原因？上述这几个函数在分析通信系统噪声特性时将会经常用到。 牛牛文库文档分享9第第3章章 随机过程随机过程 3.5 窄带随机过程 什么是窄带随机过程？若随机过程(t)的谱密度集中在中心频率fc附近相对窄的频带范围f 内，即满足f fc的条件，且 fc 远离零频率，则称该(t)为窄带随机过程。 牛牛文库文档分享10第第3章章 随机过程随机过程典型的窄带随机过程的谱密度和样本函数 牛牛文库文档分享11第第3章章 随机过程随机过程窄带随机过程的表示式式中，a(t)随机包络，(t)随机相位 c 中心角频率显然，a(t)和(t)的变化相对于载波cos c
6、t的变化要缓慢得多。0)(,)(cos)()( 牛牛文库文档分享12第第3章章 随机过程随机过程窄带随机过程表示式展开可以展开为式中 (t)的同相分量 (t)的正交分量可以看出：(t)的统计特性由a(t)和(t)或c(t)和s(t)的统计特性确定。若(t)的统计特性已知，则a(t)和(t)或c(t)和s(t)的统计特性也随之确定。0)(,)(cos)()(tatttatctttttcsccsin)(cos)()()(cos)()(ttatc)(sin)()( 牛牛文库文档分享 牛牛文库文档分享14第第3章章 随机过程随机过程3.5.1 c(t)和s(t)的统计特性结论：一个均值为零的窄带平稳高
7、斯过程(t)，它的同相分量c(t)和正交分量s(t)同样是平稳高斯过程，而且均值为零，方差也相同。此外，在同一时刻上得到的c和s是互不相关的或统计独立的。（1）其均值与t无关，为常数a；（2）自相关函数只与时间间隔有关 牛牛文库文档分享15第第3章章 随机过程随机过程3.5.2 a(t)和(t)的统计特性结论一个均值为零，方差为2的窄带平稳高斯过程(t)，其包络a(t)的一维分布是瑞利分布，相位(t)的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，a(t)与(t)是统计独立的，即有)()(),( 牛牛文库文档分享16第第3章章 随机过程随机过程a的一维概率密度函数可见，a服从瑞利(Rayleigh)
8、分布。202222exp2),()( 牛牛文库文档分享17第第3章章 随机过程随机过程的一维概率密度函数可见，服从均匀分布。20212exp21),()( 牛牛文库文档分享18第第3章章 随机过程随机过程 3.6 正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声的表示式式中 窄带高斯噪声 正弦波的随机相位，均匀分布在0 2间 A和c 确知振幅和角频率于是有式中)()cos()(tntAtrcttnttntncsccsin)(cos)()()(cos)(sin)(cos)(sin)(sincos)(cos)(tttzttzttzttnAttnAtrccScccscc)(cos)(tnAtzcc)(sin
9、)(tnA 牛牛文库文档分享19第第3章章 随机过程随机过程正弦波加窄带高斯噪声的包络和相位表示式包络：相位：0,)()()(22ztztztzsc)20(,)()()( 牛牛文库文档分享20第第3章章 随机过程随机过程正弦波加窄带高斯噪声的包络的统计特性包络的概率密度函数 f(z)利用上一节的结果，如果值已给定，则zc、zs是相互独立的高斯随机变量，且有所以，在给定相位 的条件下的zc和zs的联合概率密度函数为222sincosnscscAzEAzE2222)sin()cos(21exp21)/,(AzAzzzfscnnscn(t)均值为零，方差也相同二维高斯分布，见公式3.3.1(P45)
10、 牛牛文库文档分享21第第3章章 随机过程随机过程利用与上一节分析a和相似的方法，根据zc，zs与z，之间的随机变量关系可以求得在给定相位 的条件下的z与的联合概率密度函数然后求给定条件下的边际分布，即sincoszzzzsc)/,()/,(sczzfzf)()(z,zzsc,)/,(sczzfz)cos(221exp22222AzAzznndAzAzzdzfzfnnn)cos(exp2exp2)/,()/( 牛牛文库文档分享22第第3章章 随机过程随机过程由于故有式中I0(x)第一类零阶修正贝塞尔函数因此由上式可见，f(,z)与无关，故的包络z的概率密度函数为称为广义瑞利分布，又称莱斯（Ri
11、ce）分布。)(cosexp21020 xIdx20220)cos(exp21nnAzIdAz202222)(21exp)/(nnnAzIAzzzf0)(21exp)(202222zAzIA 牛牛文库文档分享23第第3章章 随机过程随机过程讨论当信号很小时，即A 0时，上式中(Az/n2)很小，I0(Az/n2)1，上式的莱斯分布退化为瑞利分布。当(Az/n2)很大时，有这时上式近似为高斯分布，即0)(21exp)(202222zAzIAzzzfnnnxexIx2)(0222)(exp21)(nnA 牛牛文库文档分享24第第3章章 随机过程随机过程包络概率密度函数 f(z)曲线 牛牛文库文档分
12、享25第第3章章 随机过程随机过程正弦波加窄带高斯噪声的相位的统计特性F() 牛牛文库文档分享26第第3章章 随机过程随机过程 3.7 高斯白噪声和带限白噪声白噪声n(t)定义：功率谱密度在所有频率上均为常数的噪声，即 双边功率谱密度或 单边功率谱密度式中 n0 正常数白噪声的自相关函数：对双边功率谱密度取傅里叶反变换，得到相关函数：2)(0nfPn)(f0)(nfPn)(0 f)(2)(0nR系统热噪声-白噪声取值服从高斯分布 牛牛文库文档分享27第第3章章 随机过程随机过程白噪声和其自相关函数的曲线： 牛牛文库文档分享28第第3章章 随机过程随机过程白噪声的功率由于白噪声的带宽无限，其平均
13、功率为无穷大，即或因此，真正“白”的噪声是不存在的，它只是构造的一种理想化的噪声形式。实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布，则称之为高斯白噪声。高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。f2n)0(0dR)0(2)0(0nR 牛牛文库文档分享29第第3章章 随机过程随机过程低通白噪声低通白噪声定义：如果白噪声通过理想矩形的低通滤波器或理想低通信道，则输出的噪声称为低通白噪声。功率谱密度由上式可见，白噪声的功率谱密度被限制在|f|fH内，通常把这样的噪声也称为
14、带限白噪声。自相关函数其它02)(0HnffnfPHHHfffnR22sin)( 牛牛文库文档分享30第第3章章 随机过程随机过程功率谱密度和自相关函数曲线由曲线看出，这种带限白噪声只有在上得到的随机变量才不相关。),3,2,1(2/kfkH 牛牛文库文档分享31第第3章章 随机过程随机过程带通白噪声带通白噪声定义：如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想带通信道，则其输出的噪声称为带通白噪声。功率谱密度设理想带通滤波器的传输特性为式中fc 中心频率，B 通带宽度则其输出噪声的功率谱密度为fBffBffHcc其他0221)(fBffBfnfPccn其它0222)( 牛牛文库文档分享32第第3章章 随机过程随机过程自相关函数dfendfefPRfjBfBffjncc222022)()(dfenfjBfBfcc22202cfBBB 牛牛文库文档分享33第第3章章 随机过程随机过程带通白噪声的功率谱和自相关函数曲线 牛牛文库文档分享34第第3章章 随机过程随机过程窄带高斯白噪声窄带高斯白噪声通常，带通滤波器的 B fc，因此称窄带滤波器，相应地把带通白高斯噪声称为窄带高斯白噪声。窄带高斯白噪声的表达式和统计特性见3.5节。平均功率BnN 牛牛文库文档分享
