1、 2.1 信号表示法信号表示法 2.2 信号频谱分析概述信号频谱分析概述 2.3 随机变量的统计特征随机变量的统计特征 2.4 随机过程随机过程 2.5高斯高斯过程过程 2.6窄带随机过程窄带随机过程 2.7正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程 2.8 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统 第第 2 2 章章 随机信号分析随机信号分析v 信号的时频域基本分析方法信号的时频域基本分析方法v 随机变量、随机过程统计特征及重要关系随机变量、随机过程统计特征及重要关系v 自相关函数与功率谱分析自相关函数与功率谱分析v 白噪声与限带、窄带高斯噪声特点白噪声与限带、窄带高斯噪声特点 v 随机过程通
2、过线性系统随机过程通过线性系统学习要点学习要点第2章 随机信号分析32.1 2.1 信号表示法信号表示法 v周期与非周期信号 周期信号f(t)满足下列条件：非周期信号没有周期性，一般多为有限持续时间的特定时间波形通信系统所指的信号一般指随时间变化通信系统所指的信号一般指随时间变化的信号的信号()()1,2,f tf tnTn 第2章 随机信号分析42.1 信号表示法信号表示法v确知和随机信号 确知信号的特征是：对于指定的某一时刻，可确定一相应的参量取值。随机信号：信号的某一个或更多参量具有不确定取值。第2章 随机信号分析52.1 信号表示法信号表示法v能量与功率信号 能量信号：能量有限的信号。
3、功率信号：平均功率有限的信号。能量信号的总平均功率等于0。功率信号的能量趋于无限大。第2章 随机信号分析62.1 信号表示法信号表示法v模拟与数字信号 模拟信号：连续波，主要参量的取值有无限个可能。数字信号：参量取值可数且有限。第2章 随机信号分析7v基带与频带信号 基带信号：从信源发出的信号，未经调制。主要能量在低频段。又称为低通信号。频带信号：调制后的信号。又称为带通信号。2.1 信号表示法信号表示法第2章 随机信号分析82.2 信号频谱分析概述信号频谱分析概述v傅里叶级数三角级数形式余弦函数形式指数级数形式v傅里叶变换()()1()()2jwtjwtF wf t edtf tF w ed
4、w第2章 随机信号分析92.3 卷积与相关卷积与相关v卷积 12121212()()()()()()*()()()()()()*()g tf thdh tfdf tf tF w F wf tf tF wF w卷积定理调制定理第2章 随机信号分析10卷积与相关卷积与相关v相关 1212122121212112()()()()()()()()()()()()()()()Rf t f tdRf t f tdtf tf t dtRRf t f tdtf tf t dtR自相关函数互相关函数周期信号利用/2/21()TTRT第2章 随机信号分析11卷积与相关卷积与相关v卷积与相关关系 12122121(
5、)()*()()()*()RffRff第2章 随机信号分析12能量谱、功率谱及帕氏定理能量谱、功率谱及帕氏定理v能量谱密度()(),()f tF wf t若存在傅里叶变换对为能量信号，则其能量谱与其自相关函数是一对傅立叶变换，即22()|()|,|()|RF wF w是能量谱，或称能量谱密度。它表示能量信号每单位频带所持有的能量第2章 随机信号分析13能量谱、功率谱及帕氏定理能量谱、功率谱及帕氏定理v功率谱密度()(),()f tF wf t若存在傅里叶变换对为功率信号，则其功率谱与其自相关函数是一对傅立叶变换，即2/2/22|()|1()lim()()lim()()|()|TTTTTTTF
6、wRf t f tdtS wTTF wF w是信号f(t)以时段T截短后的频谱函数是其相应的能量谱第2章 随机信号分析14能量谱、功率谱及帕氏定理能量谱、功率谱及帕氏定理v帕氏定理(Parseval)信号能量与功率的计算信号能量与功率的计算22()|()|Pft dtPf tdt或E=亦即 或E=（1）时域（2）频域2/22/2|()|()1lim|()|TTTEF wdfPS w dfPF wdfT或第2章 随机信号分析15能量谱、功率谱及帕氏定理能量谱、功率谱及帕氏定理（3）相关域0(0)()1(0)lim()|TERPRRT能量信号（随机信号）（4）帕氏定理能量谱或功率谱在其频率范围内，
7、对频率的积分等于信号的能量或功率，并且在时域、频域积分，以及自相关函数 时，三者计算结果是一致的。0第2章 随机信号分析162.3 随机变量的统计特征随机变量的统计特征v随机变量（一维、二维、多维）概率分布函数概率密度函数数字特征v常用的随机变量类型均匀分布高斯分布第2章 随机信号分析172.4 随机过程v 概念 随机信号和噪声统称为随机过程。v 定义 含有某一个参数的随机变量之和。设 是一实验的样本空间。若对于每个 有一时间函数 与之对应，于是对于所有 有一簇时间t的函数存在，则称该簇时间函数为随机过程。v 特点 若 都取定值，是一固定值 若 取定，t不定，是样本函数 若 不定，t定，是随机
8、变量 若 都不定，是随机过程S(,)X tTttX);,(S,tS(,)X t(,)X t(,)X t,t第2章 随机信号分析18第2章 随机信号分析19随机过程的统计特征v随机过程的概率分布函数与概率密度函数 一维 二维 多维 概率密度函数 是随机变量。，有时刻为随机过程，则在任一设ttt1111121212112212212112211111112212122121212(,)()(,;,)(),()(,.,;,.,)(),(),.,()(,)(,)(,;,)(,;,)nnnnF x tPtxF x x t tPtxtxF x xx t ttPtxtxtxF x tf x txF x x
9、t tfx x t tx x 第2章 随机信号分析20随机过程随机过程 随机过程通过随机过程通过概率密度函数概率密度函数和和分布函数分布函数来表述其来表述其统计特性。统计特性。设设(t)为一随机过程，它在任一时刻为一随机过程，它在任一时刻t1的取值的取值(t1)为一随机变量。为一随机变量。其统计特性可用：其统计特性可用：分布函数分布函数 F1(x1,t t1 1)=P(t(t1 1)x1 或概率密度函数概率密度函数 来描述。来描述。），（，1111111txfxtxF随机过程随机过程(t)的的一维概一维概率密度函数率密度函数 仅仅用时刻t1随机变量(t1)的统计特性来描述随机过程。随机过程随机
10、过程(t)的的一维分布函一维分布函数数 仅仅用时刻t1随机变量(t1)的统计特性来描述随机过程。第2章 随机信号分析21随机过程的随机过程的n维分布维分布n维概率密度函数维概率密度函数和和n维分布函数维分布函数:n维维分布函数分布函数 F Fn n(x x1 1,x,x2 2,x,xn n;t;t1 1,t t2 2,t tn n)=PP(t(t1 1)x x1 1,(t,(t2 2)x x2 2,(t(tn n)x xn n n维维概率密度函数概率密度函数 多维分布多维分布可以更可以更“精确精确”的描述随机过程的统计特性的描述随机过程的统计特性。），（，nnnnnnntttxxxfxxxtt
11、txxxF,.,;,.,.,.,;,.,2121212121第2章 随机信号分析22随机过程的一般表述随机过程的一般表述概率密度函数概率密度函数和和分布函数分布函数随机过程随机过程概率密度函数概率密度函数和和分布函数分布函数举例举例正态分布随机过程正态分布随机过程xx10 2exp2122xxf dzzdzzfxFxx2exp2122F()=P(t)(t)=1F(x1)=P(t)(t)x1 (阴影面积）阴影面积）第2章 随机信号分析23随机过程随机过程概率密度函数概率密度函数和和分布函数分布函数实用意义举例实用意义举例xVT0A 2exp21221）（Axxf 2exp21220 xxf判决时
12、钟二进制数字信号A0Pe1Pe0第2章 随机信号分析24随机过程的统计特征v随机过程的统计特征 期望 方差 自协方差 自相关函数2222222212112212121221212()(,)()()()()()()()()(,)()()(,)()()()()(,)()()(,;,Etxf x t dxa tDtEtEtEtEtEta tx f x t dxa ttB t tEta tta tR t tEttx x fx x t t 12)dx dx第2章 随机信号分析25随机过程的统计特征第2章 随机信号分析26随机过程的统计特征v结论:v1 数学期望 和方差 描述了随机过程在各个孤立时刻的特征
13、，但没有反映随机过程不同时刻之间的内在联系。v2 自相关函数 和自协方差函数 是用来衡量同一随机过程在任意两个时刻上的随机变量的相关程度。第2章 随机信号分析27平稳随机过程v定义 n维概率密度函数不随时间变化而变化，则称严平稳或窄平稳。),.,;,.,(),.,;,.,(21212121nnnnnntttxxxftttxxxfv平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而不同，它的一维分布与t无关，二维分布只与时间间隔有关v宽平稳（满足 一维和二维平稳条件）数学期望与t无关，为常数 自相关函数只与时间间隔有关，=t2-t1第2章 随机信号分析28平稳随机过程第2章 随机信号分析29遍历性平稳随机
14、过程v遍历性各态历经性（它的一个实现遍历了它所有过程）v定义 如果一个平稳随机过程，其任何一个样本函数的时间平均等于相应的统计平均，则称为遍历性平稳随机过程。dtTETTT2/2/1lim时间平均时间平均统计平均统计平均第2章 随机信号分析30v均值v方差v自相关函数2/2/2/2/222/2/)()(lim)()()()()(lim)()(lim)(TTTTTTTTTdttxtxRRttEdttxtDdttxtE遍历性平稳随机过程第2章 随机信号分析n“各态历经”的含义是：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，在求解各种统计平均（均值或自相关函数等）时，无需作无限多次的
15、考察，只要获得一次考察，用一次实现的“时间平均”值代替过程的“统计平均”值即可，从而使测量和计算的问题大为简化。n具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。31遍历性平稳随机过程第2章 随机信号分析32遍历性平稳随机过程v广义平稳 均值为常数 自相关函数与时间起止无关，而与时间间隔有关v遍历平稳 时间均值 时间自相关函数 第2章 随机信号分析33n 例例3-1 设一个随机相位的正弦波为其中，A和c均为常数；是在(0,2)内均匀分布的随机变量。试讨论(t)是否具有各态历经性。【解解】(1)先求(t)的统计平均值：数学期望)
16、cos()(tAtc2021)cos()()(dtAtEtac20)sinsincos(cos2dttAcc0sinsincoscos22020dtdtAcc遍历性平稳随机过程第2章 随机信号分析34自相关函数令t2 t1=，得到可见，(t)的数学期望为常数，而自相关函数与t 无关，只与时间间隔 有关，所以(t)是广义平稳过程。0)(cos2212)(cos2)(cos22)(cos)(cos2)cos()cos()()(),(1222012212212122212121ttAdttAttAttttEAtAtAEttEttRccccccc)(cos2),(221RAttRc遍历性平稳随机过程第
17、2章 随机信号分析35(2)求(t)的时间平均值比较统计平均与时间平均，有因此，随机相位余弦波是各态历经的。220)cos(1limTTcTdttATa22)(cos)cos(1lim)(TTccTdttAtATR22222)22cos(cos2limTTTTcccTdttdtTAcAcos22)()(,RRaa遍历性平稳随机过程第2章 随机信号分析36平稳随机过程的相关函数性质v设(t)为宽平稳随机过程(t)的平均功率(t)的直流功率(t)的交流功率 自相关函数是偶函数 自相关函数是双边非增函数 自相关、自协方差和均值之间的关系 2)0(RR)()(2tER)()0(2tER RR)0(RR
18、)(2)()(aBR第2章 随机信号分析37平稳随机过程的功率谱v自相关函数与功率谱的关系 平稳随机过程的自相关函数与功率谱是一对傅里叶变换。()RPwv功率谱的性质 非负性 实偶性 平均功率=R(0)具有微分特性 2()()dtPww Pwtdt第2章 随机信号分析38v设(t)的功率谱密度为P()v(t)的某一实现的截短函数T(t)vT(t)与FT()是一对傅立叶变换对v则TFEPEPTTs2)(lim)()(第2章 随机信号分析39 222221)(212222221)(2122222221122211221212121)(1)()()(1)()()(1)()()(1)(TTTTttjT
19、TTTTttjTTTTTtjtjTtjTtjTTdtdtettRTTFEdtdtetftfETTFEdtetfdtetfTETFEdtetfdtetfETTFE第2章 随机信号分析40v令 t=t2,则dt=dt2;=t1-t2,dt1=d 222221)(21221)(1)(TTTTttjTdtdtettRTTFEtTtTTTjTTTdtdeRTTFEP2222)(2)(1lim)(lim)(tTtTTTjTdtdeRTTFE2222)(2)(1)(第2章 随机信号分析41v积分区间可以分为0，0v所以 deRPdeRTPdeRTdeRTTPdtdeRdtdeRTPjjTTTTjjTTTTT
20、TTjjT)()(000)()(022022)()()()()()1(lim)()()()()(1lim)()()(1lim)()()(PR第2章 随机信号分析42平稳随机过程习题：总功率是平稳随机过程。并求证明：程。含随机变量，是随机过均匀分布的随机变量。wPtttwt2,0)sin()(0第2章 随机信号分析43 2.5 高斯过程v高斯过程又称正态随机过程，它是一种普遍存在和重要的随机过程。在通信信道中的噪声，通常是一种告诉过程，故又称为高斯噪声。v高斯过程的n维概率密度函数用下式表示:第2章 随机信号分析44第2章 随机信号分析45高斯随机过程的一维正态分布高斯随机过程的一维正态分布 v
21、高斯随机过程的一维正态分布高斯随机过程的一维正态分布 v若随机变量 的概率密度函数为:v v则称 为服从正态分布的随机变量。其中:为数学期望，为方差，第2章 随机信号分析46一维分布一维分布 概率密度函数概率密度函数 f(x)对称于直线对称于直线x=f(x)在在(-，)单调升单调升,在在(，)单单调降调降,在在x=处取最大值处取最大值,当当x时，时，f(x)0.x0 2exp2122）（xxf21f(x)曲线下面积：曲线下面积：在在x=左右侧各左右侧各1/2。1)(dxxf对于不同对于不同值，表现为值，表现为f(x)曲线左曲线左右平移；对于不同右平移；对于不同值，值，f(x)曲线曲线图形随图形
22、随的减小而变高和变窄，的减小而变高和变窄，曲线下面积不变。曲线下面积不变。1)(dxxf高斯随机过程的一维正态分布高斯随机过程的一维正态分布 第2章 随机信号分析47高斯随机过程的一维正态分布高斯随机过程的一维正态分布 第2章 随机信号分析48正态分布正态分布 第2章 随机信号分析49zx0 2exp2122）（zzf dzzdzzdzzxFxx2)(exp21212)(exp212)(exp21222222When x(2.5-12)dzzdzzdzzxFxx2)(exp2112)(exp212)(exp21222222When x(2.5-13)第2章 随机信号分析50When xWhen
23、 x)2(211)()2(2121xerfcxFxerfxF高斯过程高斯过程正态分布随机过程正态分布随机过程第2章 随机信号分析51几个有用的公式第2章 随机信号分析52几个有用的公式第2章 随机信号分析53高斯白噪声v理想的宽带过程 白噪声：功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声。对电子通信系统影响最大而无法根除的热噪声，其统计特性符合告诉过程特性。在任何电子通信系统中，将不再具体区分白或热噪声，可将加性热噪声说成加性高斯白噪声（AWGN）。002()2nPwnR 白噪声的自相关函数为第2章 随机信号分析54高斯白噪声v严格地说，白噪声只是一种理想化模型，因为实际噪声的功率谱密度不可能具有
24、无限宽的带宽，否则它的平均功率将是无限大，是物理上不可实现的。然而，白噪声在数学处理上比较方便，因此它是系统分析的有力工具。一般，只要一个噪声过程所具有的频谱宽度远远大于它所作用系统的带宽，并且在该带宽中其频谱密度基本上可以作为常数来考虑，就可以把它作为白噪声来处理。例如，热噪声和散弹噪声在很宽的频率范围内具有均匀的功率谱密度，通常可以认为它们是白噪声 第2章 随机信号分析55 白噪声白噪声(宽带过程宽带过程)与带限白噪声与带限白噪声白噪声：白噪声：带限白噪声带限白噪声:,2)(noP)(2)(nRoooonP,2)(oooofjffonfdfnReoosin2)(2fP()R()(2no2n
25、o00fP()R()2no00-fOfO-1/2fO1/2fOoooonfsin第2章 随机信号分析56高斯过程与高斯白噪声特征v高斯过程的一维统计特征只取决于均值与方差；二维统计特征主要取决于自协方差或自相关函数v高斯过程若广义平稳，则同时也等效于严平稳v高斯过程内部不同时刻的随机变量间若存在不相关，也同时等效于统计独立；或两个高斯过程间若不相关，也等效于统计独立v高斯过程通过线性系统的响应或高斯过程的线性组合均仍为高斯随机过程。第2章 随机信号分析57v对于高斯白噪声，除上述特征外，还有其他特征v高斯白噪声对通信信号的干扰为加性，较乘性干扰处理相对简便v高斯白噪声各时刻随机变量间不相关，且
26、统计独立v窄带高斯噪声特点高斯过程与高斯白噪声特征第2章 随机信号分析582.6 窄带高斯过程v窄带是指频谱均被限制在载波或某中心频率附近一个窄的频带上,而这个中心频率离开零频率又相当远。v如果这时的信号或噪声是一个随机过程,则称它们为窄带随机过程。v在通信系统中,许多实际信号和噪声都满足窄带的假设。第2章 随机信号分析59v 大多噪声的频带是很宽的。例如：v 热噪声：01013Hzv 散弹噪声：0108Hz v 然而，许多通信系统的传输信道具有窄带特性，例如：无线电通信中的移动电话、语音广播、电视、数据传输系统中，信号频谱被限制在某一“载频”附近的一个窄带范围内。例如：v 某FM语音广播信号
27、：95.9MHz25kHzv 某电视台综合频道信号：865MHz4MHzv 由于通信接收机的输入端都有和接收信号相适应的选频电路（滤波器），用于去除带外杂波和干扰。原本宽带的噪声，只有落入信号频带的部分对通信系统的性能（失真或误码）产生影响。因此我们说通信信号和噪声都满足“窄带”假设。这种对通信性能形成影响的“窄带噪声”就被称为窄带随机过程。2.6 窄带高斯过程第2章 随机信号分析600f0-f0f(Hz)单频正弦波频谱单频正弦波频谱0t(s)单频正弦波波形单频正弦波波形0f0-f0f(Hz)窄带信号或噪声频谱窄带信号或噪声频谱0t(s)窄带信号或噪声波形窄带信号或噪声波形 窄带信号可视为包络
28、和相位不断变化的“正弦波”，变化的越缓慢，占用频带就越窄。2.6 窄带高斯过程第2章 随机信号分析612.6 窄带高斯过程窄带波形的频谱及示意波形第2章 随机信号分析62v窄带随机过程可表示：v 是窄带随机过程(t)的包络函数、随机相位函数，其变化比载波缓慢的多。)(cos)()(ttttc)(t)(t2.6 窄带随机过程第2章 随机信号分析63v窄带随机过程也可表示为同相分量与正交分量的形式v同相分量v正交分量tttttcsccsin)(cos)()()(cos)()(tttc)(sin)()(ttts2.6 窄带随机过程第2章 随机信号分析642.6 窄带随机过程窄带随机过程 零均值平稳高
29、斯窄带随机过程零均值平稳高斯窄带随机过程设窄带随机过程设窄带随机过程(t)是平稳、零均值高斯分布，则：是平稳、零均值高斯分布，则：我们将分析确定：我们将分析确定：随机包络和随机相位随机包络和随机相位 的统计特性；的统计特性；同相分量和正交分量同相分量和正交分量 的统计特性。的统计特性。0)(tE2)(tD 222exp21f)()(tta，)()(ttsc，第2章 随机信号分析652.6 窄带随机过程窄带随机过程 零均值平稳高斯窄带随机过程零均值平稳高斯窄带随机过程设窄带随机过程设窄带随机过程(t)是平稳、零均值高斯分布，则：是平稳、零均值高斯分布，则：同相分量和正交分量同相分量和正交分量 的
30、统计特性：的统计特性：0)(tE2)(tD 222exp21f)()(ttsc，0)()()(tEtEtEsC2)()()(tDtDtDSC 22exp212CCf 22exp212SSf(2.6-16)(2.6-17)第2章 随机信号分析66结论结论A：设设(t)是零均值的窄带平稳高斯随机过程：是零均值的窄带平稳高斯随机过程：则其则其同相分量和正交分量同相分量和正交分量 分别同样是平分别同样是平稳高斯随机过程稳高斯随机过程,且均值都为零、方差也相同。且均值都为零、方差也相同。另外在同一时刻，二者是不相关的（统计独立）。另外在同一时刻，二者是不相关的（统计独立）。222exp21f)()(tt
31、sc，22exp212CCf22exp212SSf2.6 窄带随机过程窄带随机过程 零均值平稳高斯窄带随机过程零均值平稳高斯窄带随机过程222exp2122SCSCf，(2.6-18)第2章 随机信号分析672.6 窄带随机过程窄带随机过程 零均值平稳高斯窄带随机过程零均值平稳高斯窄带随机过程假设窄带随机过程假设窄带随机过程是平稳、零均值高斯分布，则：是平稳、零均值高斯分布，则：随机包络和随机相位随机包络和随机相位 的一维分布：的一维分布：0)(tE2)(tD 222exp21f)()(tta，0)(,)(cos)()(tttttaac(2.6-20)(2.6-21)0,2exp222aaaa
32、f 20,21f瑞利分布均匀分布第2章 随机信号分析682.6 窄带随机过程窄带随机过程 零均值平稳高斯窄带随机过程零均值平稳高斯窄带随机过程结论结论B：设设(t)是零均值的窄带平稳高斯随机过程：是零均值的窄带平稳高斯随机过程：则其则其随机包络和随机相位随机包络和随机相位 的一维分布分的一维分布分别服从别服从瑞利分布瑞利分布和和-,间的间的均匀分布均匀分布。且二者是不。且二者是不相关相关(统计独立统计独立)的。的。222exp21f)()(tta，0,2exp2),(222aaafafaf(2.6-19)第2章 随机信号分析692.7 正弦波加窄带高斯过程v正弦波加窄带高斯过程是通信中常遇到的
33、又一种情况v混合信号的形式:ttyttxtntntAtrcccsin)(cos)()()()cos()(第2章 随机信号分析70v正弦波加窄带高斯过程的包络概率密度函数 是瑞利分布v相位概率密度函数是莱斯分布)()(21exp)(202222AzIAzzzf20),()(dff2.7 正弦波加窄带高斯过程第2章 随机信号分析71v正弦波加窄带高斯过程的包络和相位分布2.7 正弦波加窄带高斯过程第2章 随机信号分析722.8平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统方框图 第2章 随机信号分析73确知信号通过线性系统：线性系统vi(t)vo(t)Vi()Vo()h(t)H()时域：频域：其
34、中：，dthvtvio)()()()()()(HVVoo)()(Vtvii)()(Vtvoo)()(Hth2.8平稳随机过程通过线性系统第2章 随机信号分析74随机过程通过线性系统：线性系统i(t)、Ri()o(t)、Ro()Pi()Po()h(t)H()假设(t)是平稳随机过程时域：频域：其中：，此外)()(HthddRhhRio）（）（）（）（00)()()(2PHPio)()(PRii)()(PRoo（2.8-8)（2.8-7)0()0()()(HHtEtEioio或（2.8-6)2.8平稳随机过程通过线性系统第2章 随机信号分析752.8平稳随机过程通过线性系统v假定输入 是平稳随机过程，通过线性系统的输出过程 也是平稳随机过程。期望 自相关函数 功率谱密度 it 0t 000002(0)()()()()()()()iiEtaHRhhRd dPwH wP w
