1、 实例实例1 1 绘制梯形柱截切体的三面投影图绘制梯形柱截切体的三面投影图 实例实例2 2 绘制圆柱截切体的三面投影图绘制圆柱截切体的三面投影图 实例实例3 3 绘制桪头的三面投影图绘制桪头的三面投影图 图中的梯形柱截切体是由图中的梯形柱截切体是由一个横卧的梯形柱被一个一个横卧的梯形柱被一个截平面截切得到的形体截平面截切得到的形体 截平面与梯形柱表面的交截平面与梯形柱表面的交线叫截交线线叫截交线 截交线围成的平面叫截面截交线围成的平面叫截面 截平面与梯形柱棱线的交截平面与梯形柱棱线的交线叫截交点线叫截交点 体的截切问题本质上是求体的截切问题本质上是求直线与平面交点的问题直线与平面交点的问题实例
2、实例1 1 绘制梯形柱截切体的绘制梯形柱截切体的投影图投影图 截平面截平面截交线截交线截面截面截交点截交点直线和平面直线和平面的投影？的投影？!一、直线的投影一、直线的投影二、平面的投影二、平面的投影三、直线与平面相交三、直线与平面相交投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面）水平线（平行于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般位置直线一般位置直线与三
3、个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面一、直线的投影一、直线的投影各种位置直线的投影特性（三类七种线）：各种位置直线的投影特性（三类七种线）：b a aba b b aa b ba?1?、投影面平行线、投影面平行线 在平行投影面上反映实长以及在平行投影面上反映实长以及与另外两投影面的夹角。与另外两投影面的夹角。另两个投影面上的投影平行另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。于相应的投影轴。水平线水平线侧平线侧平线正平线正平线投影特性：投影特性：与与H面的夹角面的夹角:与与V面的角面的角:与与W面的夹角面的夹角:实长实长实长实
4、长实长实长ba aa b b BaHXVbOabbYAaW?2 2?、投影面垂直线、投影面垂直线铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线 在与其垂直的投影面上，在与其垂直的投影面上，投影有积聚性投影有积聚性。投影特性投影特性:c(d)cdd c a b a(b)a b e f efe(f)另外两个投影另外两个投影，反映线段反映线段实长；且垂直于相应的投影轴实长；且垂直于相应的投影轴。HbXV aWbOaBAabY?3 3?、一般位置直线、一般位置直线 投影特性：投影特性：三个投影都缩短了。三个投影都缩短了。即即:都不反映空间线都不反映空间线段的实长及与三个投段的实长及与三个投影面夹角，且与三根影面
5、夹角，且与三根投影轴都倾斜。投影轴都倾斜。HXVaWAaOaYBbbbb ba a 练习：已知立体上直线练习：已知立体上直线 ABAB、CD CD 的空间位置，的空间位置，在投影图中标注其投影位置，填。在投影图中标注其投影位置，填。a a b b c c d d a a b b c c （d d）(c(c )(d(d )铅垂铅垂 一般位置一般位置二、平面的投影二、平面的投影各种位置平面的投影特性（三类七种线）：各种位置平面的投影特性（三类七种线）：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投
6、影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 铅垂面铅垂面 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 水平面水平面 正平面正平面 侧平面侧平面（1 1）投影面垂直面）投影面垂直面abca c b c b a 积聚性积聚性投影特性：投影特性：在它垂直的投影面上的投影在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。积聚成直线。另外两个投影面上的投影具相似性。另外两个投影面上的投影具相似性。铅垂面铅垂面相似性相似性bHBbVaccOacACaYbW铅垂面铅垂面正垂正垂面面侧垂侧垂面面投影面垂直面投影面垂直面投影面垂直面铅垂面铅垂面正垂面正垂
7、面侧垂面侧垂面实形性实形性（2 2）投影面平行面）投影面平行面a b c a b c abc投影特性：投影特性：在它所平行的投影面上的投在它所平行的投影面上的投影反映实形。影反映实形。另两个面上的投影分别积聚另两个面上的投影分别积聚成与相应投影轴平行的直线。成与相应投影轴平行的直线。BbHbVccacAC aaOYWbZ积聚性积聚性水平面水平面正平面正平面侧平面侧平面投影面平行面投影面平行面投影面平行面水平面水平面正平面正平面侧平面侧平面（3 3）一般位置平面）一般位置平面a b c a c b abc三个投影都类似。三个投影都类似。投影特性：投影特性：XHVZabcAaBbcacbCY一般位
8、置平面判别下列平面与投影面的相对位置。判别下列平面与投影面的相对位置。例：求下列平面的第三投影，并判别它们例：求下列平面的第三投影，并判别它们与投影面的相对位置。与投影面的相对位置。dcbabcda0a(d)b(c)正垂面正垂面 例：求下列平面的第三投影，并判别他们例：求下列平面的第三投影，并判别他们与投影面的相对位置。与投影面的相对位置。例：求下列平面的第三投影，并判别他们例：求下列平面的第三投影，并判别他们与投影面的相对位置。与投影面的相对位置。例：求下列平面的第三投影，并判别他们例：求下列平面的第三投影，并判别他们与投影面的相对位置。与投影面的相对位置。例：求下列平面的第三投影，并判别他
9、们例：求下列平面的第三投影，并判别他们与投影面的相对位置。与投影面的相对位置。例：求下列平面的第三投影，并判别他们例：求下列平面的第三投影，并判别他们与投影面的相对位置。与投影面的相对位置。练习：求下列平面的第三投影，并判别他们练习：求下列平面的第三投影，并判别他们与投影面的相对位置。与投影面的相对位置。三、直线与平面相交三、直线与平面相交其交点是直线与平面的公共点。其交点是直线与平面的公共点。要讨论的问题：要讨论的问题：求直线与平面的交点求直线与平面的交点;判别可见性判别可见性,即判别两者即判别两者之间的相互遮挡关系。之间的相互遮挡关系。Pabcmnc n b a m 平面为特殊位置平面为特
10、殊位置例：求直线例：求直线MNMN与平面与平面ABCABC的交点的交点K K并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC是一铅垂面，是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直其水平投影积聚成一条直线，该直线与线，该直线与mn的交点即的交点即为为K点的水平投影点的水平投影 求交点求交点 判别可见性判别可见性由水平投影可知，由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投段在平面前，故正面投影上影上k n 为可见。为可见。还可通过重影点判别可见性。还可通过重影点判别可见性。k 1(2)作作 图图k21km(n)bm n c b a ac 直线为特殊位置直线为特殊位置空间及投影分析空间及
11、投影分析 直线直线MN为铅垂线，其水为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。的水平投影也积聚在该点上。求交点求交点 判别可见性判别可见性 点点位于平面上，在前；位于平面上，在前；点点位于位于MN上，在后。故上，在后。故k 2 为不可见。为不可见。1(2)k 21作图作图用面上取点法用面上取点法 例例 ：求梯形柱被平面截切后的三面图。：求梯形柱被平面截切后的三面图。解题思路：解题思路：（1 1）以基本体为基础，先画未切之前的原型；）以基本体为基础，先画未切之前的原型；（2 2）再逐刀截切，求出其截面。）再逐刀截切，求出其截面。绘制梯形柱的投影
12、图绘制梯形柱的投影图 例例 ：求梯形柱被平面截切后的三面图。：求梯形柱被平面截切后的三面图。解题思路：解题思路：（1 1）以基本体为基础，先画未切之前的原型；）以基本体为基础，先画未切之前的原型；（2 2）再逐刀截切，求出其截面。）再逐刀截切，求出其截面。在正面图中，根据截平面的位置绘制截在正面图中，根据截平面的位置绘制截平面的积聚线，并找出与截平面的积聚平面的积聚线，并找出与截平面的积聚线相交的棱线并给以编号线相交的棱线并给以编号 例例 ：求梯形柱被平面截切后的三面图。：求梯形柱被平面截切后的三面图。解题思路：解题思路：（1 1）以基本体为基础，先画未切之前的原型；）以基本体为基础，先画未切
13、之前的原型；（2 2）再逐刀截切，求出其截面。）再逐刀截切，求出其截面。被截棱线与截平面积聚线的交点即被截棱线与截平面积聚线的交点即为截交点的正面投影，再分别找出为截交点的正面投影，再分别找出每条棱线与截平面交点的三面投影每条棱线与截平面交点的三面投影 例例 ：求梯形柱被平面截切后的三面图。：求梯形柱被平面截切后的三面图。解题思路：解题思路：（1 1）以基本体为基础，先画未切之前的原型；）以基本体为基础，先画未切之前的原型；（2 2）再逐刀截切，求出其截面。）再逐刀截切，求出其截面。根据侧面图可知，按根据侧面图可知，按1-2-4-3顺序依次顺序依次用直线连接截交点投影，作出截交线用直线连接截交
14、点投影，作出截交线 例例 ：求梯形柱被平面截切后的三面图。：求梯形柱被平面截切后的三面图。解题思路：解题思路：（1 1）以基本体为基础，先画未切之前的原型；）以基本体为基础，先画未切之前的原型；（2 2）再逐刀截切，求出其截面。）再逐刀截切，求出其截面。判断被截去的棱线段在截交点的哪判断被截去的棱线段在截交点的哪一边，擦去被截去的部分棱线段一边，擦去被截去的部分棱线段例例 ：求八棱柱被平面：求八棱柱被平面P P截切后的平面图。截切后的平面图。P P 截交线的形状？截交线的形状？1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 8 8 7 7 6 6 截交线的投影截交线的投影特性？特性？2 2 3 3 6
15、 6 7 7 1 1 8 8 4 4 5 5 求截交线求截交线1 15 54 47 76 63 32 28 8分析棱线的分析棱线的投影投影检查截交检查截交线的投影线的投影 例例 ：求八棱柱被平面：求八棱柱被平面P P截切后的平面图。截切后的平面图。l平面投影的平面投影的类似性类似性:边数相等；边数相等；平行边在所平行边在所有视图上保有视图上保持平行；持平行；三等。三等。练习：补出六棱柱截切后的侧面投影练习：补出六棱柱截切后的侧面投影123456112233445（5）6（6）123456 作图步骤：作图步骤：空间分析找截面；空间分析找截面；先画原型再截断；先画原型再截断；逐点对应类似现；逐点对
16、应类似现；最后检查去留变。最后检查去留变。斜边投影为直角边、房屋铅垂面、线、自由落体一、多个截平面截切梯形柱的投影图一、多个截平面截切梯形柱的投影图 图图5-7b 在梯形柱的三面图中，绘制在梯形柱的三面图中，绘制三个截平面的积聚线三个截平面的积聚线一、多个截平面截切梯形柱的投影图一、多个截平面截切梯形柱的投影图 图图5-7c 在侧面图中，过梯形柱前后两个侧面积聚线与截在侧面图中，过梯形柱前后两个侧面积聚线与截平面平面P3积聚线的交点作侧垂线积聚线的交点作侧垂线1、2作为辅助线，并作出作为辅助线，并作出辅助线辅助线1、2在其它二投影面上的投影在其它二投影面上的投影一、多个截平面截切梯形柱的投影图
17、一、多个截平面截切梯形柱的投影图 图图5-7d 找出被截平面找出被截平面P1、P2截断的梯形柱侧棱截断的梯形柱侧棱3、4的三面投影的三面投影 一、多个截平面截切梯形柱的投影图一、多个截平面截切梯形柱的投影图 图图5-7e 分别作出直线分别作出直线1、2、3、4与截平面与截平面P2交交点的三面投影，并按点的三面投影，并按1-2-4-3的顺序连接成截交线的顺序连接成截交线一、多个截平面截切梯形柱的投影图一、多个截平面截切梯形柱的投影图 图图5-7f 分别作出直线分别作出直线1、2、3、4与截平面与截平面P1交点交点的三面投影，并按的三面投影，并按1-2-4-3的顺序连接成截交线的顺序连接成截交线一
18、、多个截平面截切梯形柱的投影图一、多个截平面截切梯形柱的投影图 图图5-7g 依次连接线依次连接线1、2与截平面与截平面P1、P2交点的三面投影，作出截平面交点的三面投影，作出截平面P3的截交线的截交线一、多个截平面截切梯形柱的投影图一、多个截平面截切梯形柱的投影图 图图5-7h 擦去辅助线、被截去的棱线部分擦去辅助线、被截去的棱线部分二、截切体投影图的另一种作法走刀法“走刀法走刀法”的分析思路是将体的截切问题理解的分析思路是将体的截切问题理解为为是被刀切一个过程是被刀切一个过程“走刀法走刀法”的具体作图方法：依次作出几条关键刀口线的具体作图方法：依次作出几条关键刀口线A1-B1A1-B1、A
19、2-B2A2-B2、A3-A3-B3B3、A4-B4A4-B4的投影，然后连接刀口线的对应端点，得到截交线的投影。其实的投影，然后连接刀口线的对应端点，得到截交线的投影。其实质上是利用投影面垂直线与投影面垂直面的积聚性求直线与平面的交点投质上是利用投影面垂直线与投影面垂直面的积聚性求直线与平面的交点投影。影。确定走刀过程，刀口线沿截平面确定走刀过程，刀口线沿截平面P1由由a1b1a2b2a3b3，再沿截平面，再沿截平面P2由由a3b3a4b4每条刀口线为一条正垂线，根据每条刀口线为一条正垂线，根据“长对正长对正”定定出平面图中刀口线的左右位置，根据出平面图中刀口线的左右位置，根据“高平齐高平齐
20、”在侧面图中定出刀口线的长度和前后位置在侧面图中定出刀口线的长度和前后位置依次作出几条关键刀口线依次作出几条关键刀口线A1-B1、A2-B2、A3-B3、A4-B4的投影的投影连接刀口线的对应端点连接刀口线的对应端点a1-a2-a3-a4、b1-b2-b3-b4得到截交线的投影得到截交线的投影分析整理：分析整理：A2-B2为截平面为截平面P1内的一条线，不是棱线，内的一条线，不是棱线，故擦去；故擦去；A2-B2为截平面为截平面P1与与P2的交线，故保留；擦去的交线，故保留；擦去被截取的棱线被截取的棱线 示例示例：补全六棱柱截切后的侧面投影补全六棱柱截切后的侧面投影柱体柱体3 3种切法种切法当截
21、切多刀时，可以先当截切多刀时，可以先假设该刀切通，然后仅假设该刀切通，然后仅取其切到的部分。取其切到的部分。练习：补全六棱柱截切后的水平、侧面投影练习：补全六棱柱截切后的水平、侧面投影3 3 2 2 1 1(4(4)1 1 2 2 4 4 3 3 1 12 24 4 空间分析空间分析交线的形状？交线的形状？3 3 投影分析投影分析求截交线求截交线 分析棱线的投影分析棱线的投影检查检查 尤其注意检查截尤其注意检查截 交线投影的类似性交线投影的类似性 例：求四棱锥被截切后的平面图和侧面图。例：求四棱锥被截切后的平面图和侧面图。实例实例2 2 绘制圆柱截切体的绘制圆柱截切体的投影图投影图 如图所示圆
22、柱截切体是由如图所示圆柱截切体是由一个横卧的圆柱被一个截一个横卧的圆柱被一个截平面（正垂面）截切得到平面（正垂面）截切得到的形体。圆柱的截切问题的形体。圆柱的截切问题本质上是求圆柱的素线与本质上是求圆柱的素线与截平面交点的问题。截平面交点的问题。动线（即动线（即母线母线）绕定直线（即轴线）旋转所形成的曲面叫）绕定直线（即轴线）旋转所形成的曲面叫回转面回转面 由回转面与平面或回转面与回转面组成的形体叫由回转面与平面或回转面与回转面组成的形体叫回转体回转体 母线在回转面上的任意位置称为母线在回转面上的任意位置称为素线素线 母线上任意一点的轨迹是一个圆，称为母线上任意一点的轨迹是一个圆，称为纬圆纬圆
23、回转体的截切回转体的截切截面的形状归类为截面的形状归类为：直线、圆、曲线直线、圆、曲线 求作截面的方法求作截面的方法：1 1 当截面为当截面为直线直线：找两点，连结为直线。：找两点，连结为直线。2 2 当截面为当截面为圆圆：用圆的半径直接作圆。：用圆的半径直接作圆。3 3 当截面为当截面为曲线曲线：求足够点，光滑连接。：求足够点，光滑连接。例：求斜切圆柱的截交线例：求斜切圆柱的截交线1114322265433(4)5656解题步骤解题步骤1 分析：分析：截交线的水平投影为截交线的水平投影为椭圆，侧面投影为圆；椭圆，侧面投影为圆；2 求出截交线上的特殊点求出截交线上的特殊点、；3 求出若干个一般
24、点求出若干个一般点、；4 光滑且顺次地连接各点，作光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；出截交线，并且判别可见性；5 整理轮廓线。整理轮廓线。877878注意注意:当截平面与圆柱轴线交角为当截平面与圆柱轴线交角为4545时时,截面的投影为圆截面的投影为圆.一、圆柱截切的一般规律一、圆柱截切的一般规律 截平面平行于截平面平行于轴线，截面为轴线，截面为矩形矩形截平面倾斜于截平面倾斜于轴线，截面为轴线，截面为 椭圆椭圆截平面垂直于截平面垂直于轴线，截面为轴线，截面为 圆圆平面截切圆柱平面截切圆柱矩形矩形圆圆椭椭 圆圆 圆圆三角形三角形双曲线双曲线抛物线抛物线椭圆椭圆二、圆锥截切的一般规律
25、二、圆锥截切的一般规律截平面垂直于圆锥截平面垂直于圆锥轴线，截交线为轴线，截交线为圆。圆。截平面平过锥顶，截平面平过锥顶，截交线为截交线为三角形三角形。平面截圆锥（平面截圆锥（1 1）截平面平行于圆截平面平行于圆锥轴线，截交线锥轴线，截交线为为双曲线。双曲线。截平面倾斜于圆锥轴截平面倾斜于圆锥轴线，与素线，与素线线都相交都相交，截交线为截交线为椭圆椭圆。截平面平行于圆截平面平行于圆锥一条素线，截锥一条素线，截交线为交线为抛物线。抛物线。平面截圆锥（平面截圆锥（2）解题步骤解题步骤例：已知圆锥与正垂面例：已知圆锥与正垂面P P相交，求截交线的投影。相交，求截交线的投影。1 1 分析分析 截交线的
26、水平投影和截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；侧面投影均为椭圆；2 2 求出截交线上的特殊点求出截交线上的特殊点、；3 3 求出一般点求出一般点；4 4 光滑且顺次地连接各点，作光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；出截交线，并且判别可见性；5 5 整理轮廓线。整理轮廓线。aaammsss求圆锥表面上的点求圆锥表面上的点方法一方法一:辅助素线法辅助素线法b(b)(b)方法二方法二:辅助圆法辅助圆法三三 、多个平面截切圆柱、多个平面截切圆柱当截切多刀时，可以先当截切多刀时，可以先假设该刀切通，然后仅假设该刀切通，然后仅取其切到的部分。取其切到的部分。练习：补全截切圆柱的水平及侧面投影
27、练习：补全截切圆柱的水平及侧面投影实例实例3 3 绘制桪头的三面投影图绘制桪头的三面投影图桪头的形状为挖切式组桪头的形状为挖切式组合体，由分析图可知它合体，由分析图可知它是由横卧的六棱柱经过是由横卧的六棱柱经过两次挖切得到的。两次挖切得到的。第一次被一个正垂面作第一次被一个正垂面作为截平面截去为截平面截去“挖挖1”部部分；分；第二次再在剩余形体中第二次再在剩余形体中挖去一个纵卧的小六棱挖去一个纵卧的小六棱柱柱“挖挖2”部分。部分。例：绘制桪头的三面投影图例：绘制桪头的三面投影图 例：绘制桪头的三面投影图例：绘制桪头的三面投影图 例：绘制桪头的三面投影图例：绘制桪头的三面投影图一、组合体的不同分
28、析方案 在绘制组合体的投影在绘制组合体的投影图，首先进行形体分图，首先进行形体分析，有的形体既可以析，有的形体既可以按叠加式组合体分析，按叠加式组合体分析，也可以按挖切式组合也可以按挖切式组合体分析，同一个形体体分析，同一个形体可以有多种分析方案，可以有多种分析方案，从中选择较为简化实从中选择较为简化实用的方案用的方案切割式组合体的画图举例切割式组合体的画图举例1.1.形体分形体分析析2.2.选择主视方向选择主视方向3.打底稿：先画原始体的三打底稿：先画原始体的三面图，再逐一画出被切割面图，再逐一画出被切割部分的三面图。部分的三面图。4.检查、描深检查、描深 当平面当平面倾斜倾斜于投于投影面时，它在该投影影面时，它在该投影面内的投影为与平面面内的投影为与平面实际形状相类似的图实际形状相类似的图形形,平面投影的这种平面投影的这种性质称为性质称为类似性。类似性。作图时充分利用作图时充分利用类似性类似性对平面的投影对平面的投影进行分析和检查有助进行分析和检查有助于正确画图和审图。于正确画图和审图。切割式组合体的画图举例切割式组合体的画图举例具体步骤如下：具体步骤如下：
