1、 动点产生的等腰三角形动点产生的等腰三角形 例：如图 1，抛物线 yax2bxc 经过 A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线 l 是抛物线的对轴 （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标； （3）在直线 l 上是否存在点 M，使MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 图 1 图 2 （1）因为抛物线与 x 轴交于 A(1,0)、B(3, 0)两点，设 ya(x1)(x3)， 代入点 C(0 ,3)，得3a3解得 a1 所以抛物线的函数关系式是 y(x1)(
2、x3)x22x3 （2）如图 2，抛物线的对称轴是直线 x1 当点 P 落在线段 BC 上时，PAPC 最小，PAC 的周长最小 设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 H 由 BHPH BOCO ，BOCO，得 PHBH2 所以点 P 的坐标为(1, 2) （3）设点 M 的坐标为(1,m) 在MAC 中，AC210，MC21(m3)2，MA24m2 如图 3，当 MAMC 时，MA2MC2解方程 4m21(m3)2，得 m1 此时点 M 的坐标为(1, 1) 如图 4，当 AMAC 时，AM2AC2解方程 4m210，得6m 此时点 M 的坐标为(1,6)或(1,6) 如图 5，当 CMCA
3、时，CM2CA2解方程 1(m3)210，得 m0 或 6 当 M(1, 6)时，M、A、C 三点共线，所以此时符合条件的点 M 的坐标为(1,0) 图 3 图 4 图 5 强化训练： 1 （2012临沂）如图，点 A 在 x 轴上，OA=4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至 OB 的位置 （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若 存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由 2 （2012 秋文昌校级期末）如图，抛物线经过 A（4，0） ，B（1，0） ，C（0，2）三点 （3）x 轴上是否存在 P 点，使得以 A、P、C 为
4、顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所 有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 3如图所示，抛物线 y=x2与直线 y=2x 在第一象限内有一个交点 A （2） 在 x 轴上是否存在一点 P， 使 AOP 是以 OP 为底的等腰三角形？若存在， 请你求出点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由 4 （2014 秋安溪县期末）如图，直线 y=3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，抛物线 y=a（x2） 2+k 经过点 A、B求： （3）在抛物线对称轴上是否存在点 P，使得以 A、B、P 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 5 （
5、2015浠水县校级模拟）如图，已知抛物线与 x 轴交于 A（1，0） 、B（3，0）两点，与 y 轴交 于点 C（0，3） （2）设抛物线的顶点为 D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点 P，使得 PDC 是等腰三角形？ 若存在，求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由： 1.符合条件的点 P 只有一个，其坐标为（2，2） 2.符合条件的点 P 的坐标分别是：P1（4，0） 、P2（42，0） 、P3（4+2，0） 、P4（ ，0） 3. P 点坐标为（4，0） 4. 所求的点为 P1（2，3） ，P2（2，3+） ，P3（2，3） ，P4（2，2） 5.符合条件的点 P 坐标为（，） 或（2，3）
